《机械传动》2022年  第47卷   第2期

引用格式：彭继友，杭鲁滨，刘安心，等. 基于同伦连续法的飞机舱门提升机构轨迹综合[J]. 机械传动,  2022, 47(2）:53-59.

PENG Jiyou，HANG Lubin，LIU Anxin，et al.Trajectory synthesis of aircraft cabin door lifting mechanism based on the homotopy continuation method[J]. Journal of Mechanical Transmission,  2022, 47(2）:53-59.

基于同伦连续法的飞机舱门提升机构轨迹综合

彭继友¹   杭鲁滨^1,2   刘安心³   吴柏锐¹   黄晓波¹   吴扬⁴

（1  上海工程技术大学 机械与汽车工程学院， 上海 201620）

（2  上海市大型构件智能制造机器人技术协同创新中心， 上海 201620）

（3  解放军理工大学 工程兵工程学院， 江苏 南京 210007）

摘要  飞机舱门是进出机舱的通道，其机身导向槽中心线与提升机构末端导向轮运动轨迹重合，保证了舱门开启/锁止可靠。以有序单开链方法建立提升机构2个单开链单元轨迹综合运动学方程组；方程组变量齐次化分组，其Bezout数仅为320，减少同伦跟踪路径；分别进行初始方程组构造和同伦方程组求解，求得了6组杆长非负实数构形解，绘制了单开链单元组合的对应构形。以机构运动空间和提升机构力传递效率进行构形筛选，得到了可实现飞机舱门按期望轨迹运动的舱门提升机构。

关键词  飞机舱门 提升机构 轨迹综合 同伦方程组 机构构形

0 引言

飞机舱门是进出机舱的通道，其开/闭功能是否稳定可靠将直接关系到飞机的飞行安全性[1]。飞机舱门关闭时，由舱门导向轮与机身导向槽相互配合完成锁定，舱门提升机构运动轨迹将决定机身导向槽和舱门导向轮间的配合，保证在飞行过程中闭锁可靠，保证舱门与机身间的密封圈各部分被均匀压缩，并保持增压客舱密封[2]。Kurt P 等[3]使用特殊测量工具与远程视觉检测（RVI）孔径光学工具结合测量，调整门闩销相对于门闩配件位置，完成门闩销相对于门闩配件位置和调整精度于公差范围内，保证了舱门与机身锁止。

飞机舱门关闭锁止时，提升机构使舱门导向轮进入机身导向槽，均匀压紧密封圈；飞机舱门开启时，需要提升机构将舱门提升至开锁位置。为保证飞机舱门提升开启时的可靠性和关闭时的密封性，对飞机舱门提升机构连杆运动轨迹的研究很有必要。

针对飞机舱门提升机构连杆轨迹研究，王楠[4]在对某型飞机舱门机构的优化研究中提出设定机构某一特征点，追踪其在运动仿真过程中的空间路线，获得舱门运动轨迹，并分析了其开/闭过程中的运动轨迹，仿真结果符合实际情况。吴扬等[5]基于软件Simcenter 3D 对舱门进行刚柔耦合动力学仿真分析，仿真结果验证了舱门运动路径的准确性。王健[6]提出根据舱门挡块布置设计舱门提升曲线及提升机构，在使用设计后的提升机构运动轨迹重新比对、拟合提升曲线。

通过仿真模拟机构运动匹配舱门运动轨迹本质上是一种试凑法，通常需要进行大量迭代逐渐逼近期望轨迹，耗时量较大。

在机构近似和精确轨迹综合研究方面，褚金奎等[7]将傅里叶级数法推广到RCCC 机构轨迹综合问题，建立相应数值图谱，利用计算机快速准确地从数值图谱库中找到多组满足要求的机构基本尺寸，并计算出相应机构的实际尺寸参数和安装参数。孙建伟等[8]建立了大量基本尺寸的刚体转角和位置输出特征参数数据库，推导了利用位置输出谐波参数计算RCCC机构实际安装尺寸和机构安装尺寸参数的理论公式。王德伦等[9]将实现给定位置、轨迹和函数的多种类型平面四杆机构的近似尺度综合全部归结为寻求相对运动平面上的近似圆点、近似滑点和近似束点及其组合问题，并在理论上阐明了平面四杆机构运动综合问题存在最优近似解。于红英等[10]提出基于数值比较的刚体导引机构综合的标线旋转法，解决了多位置刚体导引机构综合的难题，编制了计算与仿真软件，对刚体导引机构进行了综合与仿真。

采用图谱和微分几何进行轨迹综合属于近似求解机构，是有效的轨迹综合求解方法。在机构精确轨迹综合方面，Plecnik M 等[11]基于同伦方法，提出了一种可以实现11 个精确位置的Stephenson Ⅲ型六杆机构综合方程求解算法，并得出多种综合方案；其将机构点运动轨迹与机构杆长角度等未知量抽象为非线性方程组，通过方程组求解，得到多种机构构形。夏林林等[12]提出指数同伦法是一种较好的求解非线性方程组的数值解法，但其参数与非线性方程组的关系有待进一步研究。雍龙泉[13]依次给出了2阶至9 阶非线性方程的牛顿迭代法，展示了3种牛顿迭代法的收敛过程，结果表明，高阶牛顿迭代法也需要在初始点与根靠近时才能很好地体现出高阶收敛；其收敛性仍依赖于初始值的选取，初始值选取不当会造成迭代过程发散。Omar H A[14]提出将遗传算法和同伦分析方法相结合求解非线性方程组的新算法，利用遗传算法的并行性来计算所需解。

刘安心等[15]将连续法与优化理论相结合，研究定轨迹的四杆机构综合问题，以初始方程组根作为初值进行路径跟踪，得到了能近似实现所有给定轨迹点的全部机构方案。

针对飞机对舱门开启可靠和关闭密封的要求，本文中以机身导向槽轮廓中心线为期望轨迹，基于单开链方法，对提升机构ABP 和DCBP 两条单开链分别建立轨迹综合多项式方程组，基于同伦算法进行同伦路径预测校正、迭代跟踪，综合出多种舱门提升机构构形，以运动空间、力传递效率进行了构形筛选。

1 飞机舱门提升机构及机构轨迹综合

在舱门开启解锁过程中，飞机舱门提升机构末端导向轮中心点轨迹需与导向槽轮廓中心线匹配，方能保证舱门关闭的可靠性及密封性，即需对飞机舱门提升机构进行运动学轨迹综合。

1.1 飞机舱门提升机构及运动

舱门导向轮和机身导向槽配合如图1（a）所示，其中，舱门导向轮安装于舱门纵梁上；舱门提升时，导向轮在机身导向槽中的运动轨迹如图1（b）所示，其轨迹可分为提升段和推出段，舱门提升段轨迹由提升机构决定；在提升机构作用下，舱门提升时，其导向轮沿导向槽轮廓中心曲线在导向槽内的向上运动如图1（c）所示；导向轮中心点向提升连杆机构平面投影，得到提升机构的机构简图，如图1（d）所示。

图1 飞机舱门及提升机构示意图
Fig. 1 Schematic diagram of the aircraft cabin door and the lifting mechanism

1.2 舱门提升机构轨迹综合参数及变量

如图2所示，提升机构连杆及末端需实现的期望轨迹，可转化为平面四杆机构ABCD及连杆末端输出点P 的轨迹综合问题，即：已知轨迹点P_j 的坐标（P_jx ，P_jy ），对应轨迹点P_j 连架杆AB 的关节转角为Φ_j ，其中，j ∈N⁺。

图2 飞机舱门提升机构及期望轨迹示意图
Fig. 2 Schematic diagram of the aircraft door lifting mechanism and expected trajectory

求舱门提升机构10 个变量：提升机构连杆AB、BC、CD、BP 的长度，提升机构机架点A（A_x ，A_y ）与点D（D_x ，D_y ）的坐标值，提升机构上连杆BC 与BP 间的夹角γ 和提升机构初始位置连架杆AB 对应角度Φ₀ 。

2 轨迹综合运动学方程组

以舱门机构连杆末端点P 轨迹为设计目标，基于有序单开链方法，将提升连杆机构运动链分解为单开链ABP 和单开链DCBP，如图3 所示，分别进行机构轨迹生成的运动学建模。

图3 舱门提升机构运动链
Fig. 3 Door lifting mechanism motion chains

2.1 单开链ABP 轨迹综合

为了求解A、B 位置及AB、BP 杆长等参数，将单开链ABP 向x 轴、y 轴投影，P 点轨迹坐标可以表示为

根据任意角正弦余弦平方和等于1，消去角度变量θ_j ，整理得

2.2 单开链DCBP轨迹综合

P 点轨迹坐标在单开链DCBP 表示为

式中，θ_j 由单开链ABP 求出，代入式（4）消去角度变量ψ_j ，整理得

同理，其需要建立5 个方程组才能求解单开链DCBP 的5个设计变量D_x 、D_y 、l_CD 、l_BC 和γ 。

类似用换元法将式（5）变换成多项式式（6），令x₇ = D_x ，x₈ =D_y ，x₉ = l_BC ，x₁₀ = l_CD ，x₁₁ = cos γ，x₁₂ =sin γ，其中，x₁₁ 和x₁₂ 分别为角γ的余弦和正弦函数，平方和等于1。整理得到单开链DCBP 运动学方程组为

以运动学综合方程组式（3）和式（6），已知连杆末端P 点的期望轨迹坐标及连架杆AB 初始位置对应角度Φ₀ ，可求出机构10 个待定变量，即长度变量l_AB 、l_BC 、l_CD 和l_BP ，角度变量γ 和Φ₀ ，坐标变量A_x 、A_y 、D_x 和D_y ；进而得到提升机构尺寸构形。

相比回路法建立舱门提升机构及轨迹综合联立方程组，本文中将舱门提升连杆机构分解为两条单开链，分别建立方程组，降低方程组规模。

3 多项式方程组同伦连续法求解

现有的多项式数值求解方法主要有牛顿迭代法、最优化方法和区间法等，都需要提供较好的初值。本文中采用同伦连续法求解方程组，不依赖于初值进行迭代求解，其求解思路：

（1）根据待解方程组齐次结构特性，确定解数目上限Bezout数BN [16]25-27。

（2）构造与待解方程组具有相同齐次结构特征的初始方程组。

（3）将待解方程组与初始方程组构建为同伦方程组。

（4）以初始方程组的解为同伦路径起始点，用欧拉法预估，牛顿迭代法校正，进行迭代求解。

3.1 单开链ABP轨迹综合同伦方程组构造与求解

根据ABP 单开链方程组（3）各方程结构，其总次数TD = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 486。

为排除发散跟踪路径，对方程组（3）进行变元齐次化分组。3 阶多项式ABP 单开链方程组（3）的变量可 分 为3 组，分别为(x₃ )、(x₆ )和(x₁ ，x₂ ，x₄ ，x₅ )，

由式（7）可知，方程组（3）的Bezout 数BN 等于式（7）中λ₁λ₂λ⁴₃ 项的系数，经计算BN = 320，满足BN ＜TD，初始方程组G_A(x)可构造为

建立方程组（3）的同伦方程组H_ABP(t，x)为

同伦方程组求解迭代方法如式（10）所示

当k = 1，t₀ = 1，得到方程组（8）一组解x^(0,t0)，以(t₀，x^(0,t0))为迭代起始点，进行同伦方程组H_ABP(t，x)同伦路径跟踪，用欧拉法预估式（10a），得出同伦路径上的下一个近似点(t1，x^ˉ(1,t1))，用式（10b）所示牛顿迭代法公式进行校正(t₁，x^ˉ(1,t1))。

k 和t_k 以式（10c）和式（10d）进行运算，按照式（10）进行迭代，可得到同伦路径上的精确点(t_k，x^ˉ(k,tk))；然后，以(t_k，x^ˉ(k,tk))为起始点，以式（10a）和式（10b）进行下一轮预估校正，直到t = 0 时得到待解方程组（3）的解。

以式（8）方程组的320 组解分别为初始点，对式（9）同伦方程组320 条同伦路径进行跟踪，可求出方程组（3）的解。

3.2 单开链DCBP轨迹综合同伦方程组构造与求解

同理，DCBP 单开链方程组（6）为含6 个方程和6 个变量的多项式方程组，将变量分为(x₁₁)、(x₁₂)和(x₇，x₈，x₉，x₁₀)等3 组，同理，式（6）方程组Bezout 数BN = 320，满足BN ＜TD，初始方程组G_D(x)可构造为

建立同伦方程组H_DCBP(t，x)为

以式（11）方程组的320组解为初始点，对式（12）同伦方程组320 条同伦路径跟踪迭代，可求出方程组（6）的解。

4 飞机舱门提升机构构形求解及结果分析

4.1 基于轨迹综合的飞机舱门提升机构构形

已知提升机构转角Φ_j 与其连杆末端点P_j 轨迹如图4 所示。提升机构P 坐标和转动角度Φ_j 如表1所示。

图4 提升机构转角与其连杆末端点Pj轨迹示意图
Fig. 4 Schematic diagram of the lifting mechanism rotation angle and the end point Pj of the connecting rod

表1 输入角和对应点Pj 轨迹坐标
Tab. 1 Input angles and corresponding Pj point trajectory coordinates

根据表1中数据，基于式（10）同伦迭代求解方程组（3），利用文献[16]^21-22的多项式同伦算法，求解得到A_x 、A_y 、l_AB 、l_BP 和Φ₀ 全部解，根据杆长不为负数筛选出合适的3组单开链ABP 解。

将3 组单开链ABP 解分别代入方程组（12）求解单开链DCBP 解。共得到提升机构6 组构形解，如表2所示。

根据表2中解的结果，以A点为坐标原点进行作图，构造出6组机构构形，如图5所示。

表2 单开链ABP与DCBP变量解
Tab. 2 Variable solutions of the single open chain ABP and DCBP

图5 6种构形图
Fig. 5 Six configuration diagrams

4.2 基于运动空间及传动效率的构形筛选

4.2.1 提升机构构形筛选

舱门提升机构的构形需满足机构占用空间小和机构力传递效率高的要求。比较6种构形：

（1）构形1 最长杆AD 尺寸为1 290.22 mm，构形6 最长杆CD 尺寸为1 650.44 mm，构形2 最长杆BC 尺寸为514 mm；构形1、构形6 占用空间比构形2大。

（2）构形3 的AD 杆长为0.34 mm、BC 杆长为0.33 mm，连架杆约为152 mm，杆长比为450，机构构形常处于运动奇异及附近，该机构稳定性差，较难成为实用的舱门提升机构。

（3）构形4 和构形5 的上提升臂CD 和下提升臂AB 交叉，力传递效率不高，布置时要增加宽度厚度，相对于构形2传递效率低。

由于飞机舱门空间狭小[18]，综合考虑飞机舱门按期望轨迹运动、力传动特征和运动空间，构形2尺寸适宜于舱门提升机构尺寸，有利于提高舱门空间利用率和舱门提升时力传递效率。

4.2.2 仿真验证

以构形2 作为飞机舱门提升机构进行模拟仿真，提升机构模型如图6（a）所示。

图6 以构形2尺寸为提升机构仿真轨迹图
Fig. 6 Simulation trajectory diagram of the lifting mechanism with configuration 2 dimensions

5 结论

面向飞机舱门提升机构连杆末端点最优轨迹匹配目标，完成了提升机构的尺度综合，主要创新工作包括：

（1）将提升机构连杆末端需沿导向槽运动的飞机舱门提升机构设计问题转化为机构运动学轨迹综合问题；基于有序单开链方法，将舱门提升机构分解为2个单开链单元，分别建立了轨迹综合运动学方程组、构造初始方程组、建立同伦方程组；求得6个非负实数构形解。

（2）给出的两维角标形式同伦方程组迭代求解表达式更严密清晰表达了同伦方程组预测校正迭代过程。

（3）将提升机构分解为2个单开链并分别建立方程组，降低了单个方程组规模；齐次化分组减少了同伦连续法跟踪路径，提高了求解效率。

（4）在满足飞机舱门导轮沿导向槽轮廓轨迹线运动期望轨迹前提下，以运动空间、力传递效率进行构形筛选，得到飞机舱门提升机构实用构形，为飞机舱门提升机构进一步设计奠定了基础。

收稿日期：2021-12-31

基金项目：

国家自然科学基金（51475050）

上海汽车工业科技发展基金会资助项目（1617）

上海市大型构件智能制造机器人技术协同创新中心开放基金（ZXY20211101）

专家点评：     

论文建立了提升机构综合运动学方程组，利用同伦连续法求解多项式方程组，以机构运动空间和提升机构力传递效率进行构形筛选，最终得到了能实现期望轨迹的舱门提升机构。论述较为充分，逻辑清晰、分析计算正确、创新性明显。

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