《机械传动》2022年 第46卷 第1期
引用格式：倪德，钟团结，魏静，等. 某直升机传动系统旋翼轴扭振计算及优化设计[J]. 机械传动, 2022, 46(1）:80-86.
NI De，ZHONG Tuanjie，WEI Jing，et al.Calculation and optimal design of rotor shaft torsional vibration of a helicopter transmission system[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2022, 46(1）:80-86.
某直升机传动系统旋翼轴扭振计算及优化设计
（1 中国航发湖南动力机械研究所， 湖南 株洲 412000）
0 引言
共轴反转双旋翼直升机传动系统轴系在正常工作时，会发生较为复杂的振动，其影响因素有很多，比如激励方向（即发动机、自身由于重力导致的变形）、输出方向受到的阻力矩和干扰等[1]，如果传动轴系的固有频率与系统激励频率在额定转速附近较为接近甚至相同，传动系统就会发生较大的振动，也就是共振，从而产生严重的交变载荷，导致系统发生提前的疲劳失效与破坏，对直升机的正常运转与安全航行会产生极大影响[2-3]。因此，如何计算和优化直升机传动系统轴系的扭转振动，是直升机传动系统动力学分析中要解决的关键问题之一。
在传动系统轴系研究早期，为了简化计算，一般会把轴系设为刚性体，且在工作过程中转速不变[4]。19世纪后期，研究人员引入弹性体的概念，提出扭转振动对轴系的破坏有严重影响。1907 年，霍尔茨为了研究扭转振动的固有频率与振型，设计出Holzer 表，为后来人们进行扭振计算做出了巨大贡献[5]。发展到现在，周生通等[6]采用刚度影响系数法建立了轴系集总模型的无阻尼自由振动方程。Hong等[7]采用拉格朗日方法，建立了修正的不平衡转子系统的控制方程。虞汉文等[8]利用模型修正法，进行了直升机系统扭振模态的计算。许兆棠[9]分析了传动比对直升机尾传动系统固有频率的影响。刘兰兰[10]应用AVL Excite Designer 软件建立轴系扭振分析模型，得到扭振振型、临界转速、自由端振幅和关键结点处剪切力等结果。Chen 等[11]提出了一种基于拉普拉斯变换和傅里叶变换以及逆变换的方法，可以精确解决轴系在多种情况下的强迫扭转振动。孙晓东等[12]基于刚柔耦合多体动力学理论，分析了飞轮的转动惯量、联轴器的转动惯量及其扭转刚度对轴系扭振特性的影响。
本文中利用有限元法对某共轴反转直升机传动系统旋翼输出轴系进行有约束与无约束扭振模态分析，计算出两种情况下各阶扭振模态振型及其固有频率，得到扭转共振安全裕度；然后，对该轴系进行扭振优化设计，获得各个参数对扭转振动的敏感度，使得该轴系扭振频率达到足够安全裕度，从而提高传动系统的稳定性与安全性。
1 共轴反转直升机传动系统简介
Fig.1 Transmission principle diagram of the main reducer of a coaxial reverse helicopter
内旋翼输出轴系与上旋翼相连，是传动系统中最长的轴系。由于双旋翼的结构特性，该轴系的振动对传动系统的影响较大。该直升机传动系统共有7种典型工况，不同工况下，该轴系对应的额定转速如表1所示。在实际飞行过程中，该轴系工作转速范围为160～444.8 r/min（（0.5～1.39）n，n为正常工况下的额定转速）。
表1 轴系不同工况对应转速
Tab.1 Corresponding speed for different working conditions of shafting
2 轴系扭转振动分析
2.1 轴系自由模态扭转振动分析
采用有限元分析软件，对内旋翼输出轴轴系进行自由模态分析，得到各阶扭转振动模态振型及其固有频率，并以此作出扭振分析坎贝尔图，得到扭转共振安全裕度。其计算公式为
式中，S 为共振安全裕度；nc 为共振转速；n 为额定转速。
Fig.2 Shafting model
图3 所示为轴系自由模态扭振分析坎贝尔图。图3 中，各水平线表示轴系各阶扭振固有频率，右侧为对应模态振型，竖直虚线表示轴系在不同工况下的转速，过原点直线f4m 、2f4m 和3f4m 分别表示共轴级齿轮副啮合频率的1～3 倍频，下标m 指啮合。其中，扭振固有频率与激振频率曲线的交点为可能发生扭转共振的共振点。工作转速范围内各阶共振转速如表2 所示。
图3 轴系无约束扭振分析坎贝尔图
Fig.3 Campbell diagram of unconstrained torsional vibration analysis of shafting
表2 轴系扭振共振转速及共振模态
Tab.2 Shafting torsional vibration resonance speed and resonance mode
由图3 与表2 中可见，在无约束扭转振动分析计算中，该轴系在工作转速范围内共有3阶扭转共振模态，在额定转速附近存在1 个潜在共振点；对应第3阶扭振模态，其共振安全裕度为2.30%。因此，该轴系需提高其共振安全裕度。
2.2 轴系约束模态扭转振动分析
Fig.4 Shafting constraint model
经计算，7 种工况中仅有第4 阶固有频率有变化，最大差值为0.2 Hz，该波动量对共振点的甄别没有影响。以正常前飞/侧飞为例的轴承刚度如表3所示，轴系约束扭振分析坎贝尔图如图5所示。
表3 轴系正常前飞工况轴承刚度
Tab.3 Bearing stiffness in normal forward flight condition of shafting
Fig.5 Campbell diagram of shafting contrained torsional vibration analysis
由图5中可见，在约束扭转振动分析计算中，轴系在工作转速范围内共有4阶扭转共振模态，在额定转速附近存在2 个潜在共振点；对应第3 阶、第4 阶扭振模态，其共振安全裕度分别为2.60%和8.20%。因此，该轴系需提高其共振安全裕度。
3 轴系扭振优化设计
3.1 轴系扭振优化方法
由上述扭转振动分析可知，该共轴反转直升机传动系统有多个飞行工况输入转速会激起传动系统共振。对轴系扭转振动影响较大的有系统的转动惯量、扭转刚度、阻尼等[15]。
系统轴系减振优化过程中，在进行结构参数改变前，需要先对系统固有特性对转动惯量、扭转刚度和阻尼等因素的灵敏度进行分析，来预测改变参数产生的相应影响，以减少不必要的计算[16]。系统无阻尼振动固有频率ωi 和振型φi 满足
采用直接求导法对式（2）进行求导，结合式（3）可得系统固有频率对结构参数的灵敏度公式，即
ωi 对第j（j=1，2，…，l ）质量点转动惯量Ji 的灵敏度为
ωi 对第j（ j=1，2，…，l -1）轴段刚度Kj 的灵敏度为
从式（5）中可知，转动惯量对固有频率影响最大的位置是在模态振型图中振幅绝对值最大的质量点。从式（6）中可知，就扭转刚度而言，对固有频率最为敏感的是所连接的两个质量振幅值差的绝对值最大的刚度。因此，主要有以下几种优化方法：
（1）改变系统的扭转刚度或转动惯量，可以改变固有频率。可以改变轴系系统中齿轮的转动惯量，或改变各个轴段内外径尺寸以改变轴系刚度。
（2）改变轴系相对阻尼或绝对阻尼。共轴反转直升机传动系统中，可以安装阻尼型减振器。
（3）在传动系统中增加自由度，避开轴系扭振固有频率，提高系统安全裕度。增加自由度的方法有安装扭振减振器、局部增加惯量或轴段等。
（4）通过改变激振频率来避开共振点。激振频率包括轴频率及其倍频和啮合频率及其倍频。轴频率的计算公式为
啮合频率的计算公式为
式中，z 为齿数；N 为转速，r/min。
齿轮传动系统中占主导作用的激励频率主要以啮合频率为主，若要改变其激励频率，可以改变齿数和转速。在工作转速一定的情况下，可以通过改变齿轮的齿数来改变激励频率，从而避开共振点。
图6 轴系扭振参数优化设计
Fig.6 Optimized design of torsional vibration parameters of shafting
3.2 直径尺寸优化
图7 轴系7轴段划分
Fig.7 Shafting shaft seven segments division
以轴系各轴段的内外径10%为限定范围，改变轴系各轴段的尺寸，如表4所示。
表4 轴系轴段尺寸变化
Tab.4 Shafting shaft segment size changes
对轴系各个轴段的转动惯量参数改变后再进行模态分析，分析各轴段对固有频率及安全裕度的影响，最终得知，轴系中的轴段4直径对扭转安全裕度敏感性较大。
轴段4 参数改进对应的轴系模型如图8 所示。求得轴系轴段4 不同内外径各阶的扭转振动固有频率如表5 所示，对应的安全裕度改变以及质量变化如图9 所示。
表5 轴段4优化后扭转振动固有频率
Tab.5 Natural frequency of torsional vibration after optimization of shaft section 4 Hz
图8 轴段4不同内外径
Fig.8 Different inner and outer diameters of shaft section 4
Fig.9 Safety margin and quality change of shafting（shaft section 4）
在内径由150～168 mm变化范围内，轴系总体安全裕度曲线与第3阶扭振频率对应的安全裕度曲线重合，由7.86%减少至2.60%。
当轴段4 外径变化时，总体安全裕度曲线在198～210 mm 范围内与第3 阶扭振频率对应的安全裕度重合，在210～216 mm 范围内与第4 阶扭振频率对应的安全裕度重合，总体安全裕度随轴段4外径增大呈增加趋势，在外径由198～216 mm 变化范围内，安全裕度由2.60%增加至11.4%。
3.3 激励频率优化
该轴系齿轮原齿数为156，工作转速为320 r/min，通过啮合频率的计算公式zN/ 60=fm，其啮合频率为832 Hz。通过改变齿数可以改变轴系的啮合频率激励，从而避开共振危险区域。
Fig.10 Campbell diagram of shafting torsional vibration analysis（176 teeth）
（2）减少齿数。当z=146时，工作转速为320 r/min，其啮合频率激励为778.6 Hz。轴系优化后的坎贝尔图如图11 所示。由图11可知，随着齿数的减少，啮合频率激励减小，啮合频率线斜率减小，当f3 避开额定转速安全裕度10%范围时，f4 会进入该范围内，成为潜在危险共振频率。所以，通过改变齿数难以满足安全裕度要求。
Fig.11 Campbell diagram of torsional vibration analysis of shafting（146 teeth）
3.4 轴系优化方案确定
图12 轴系尺寸优化示意图
Fig.12 Schematic diagram of size optimization of shafting
将轴系优化后的固有频率与激振频率绘制成坎贝尔图，如图13所示。由图13可知，扭振安全裕度为10.89%，无潜在共振区域，达到优化目标。
图13 轴系（优化后）扭振分析坎贝尔图
Fig.13 Campbell diagram of torsional vibration analysis of shafting（after optimization）
4 结论
以某型共轴反转直升机传动系统内旋翼输出轴系为研究对象，在不改变轴系总体结构的前提下，以轴段直径和轴系齿数为设计变量，对其扭振计算与调频优化方法进行了研究，结论如下：
（1）对工况敏感性较弱的模态多为纯扭转模态；对工况敏感性较大的模态为非纯扭转模态。该类模态振型通常以扭转为主，并伴随有弯曲、径向扩张等局部振型。考虑轴承约束后，模态频率变化较大。
（2）轴系中不同位置轴段对轴系扭振模态敏感性各不相同。通过改变各轴段直径尺寸，得到各轴段的直径尺寸变化对该轴系的扭转振动固有频率以及安全裕度影响规律；通过修改轴系的齿数来改变轴系的激振频率，激振频率曲线斜率变化使得潜在共振点转移，力求轴系潜在共振点消失或远离正常工作转速区域。对于高转速的轴系，齿数对轴系激振频率的影响大。对于转速较低的轴系，不宜通过修改齿数来改变轴系的激振频率。
（3）改变各轴系中各轴段的直径尺寸或改变激励频率，使得扭振固有频率与激励频率错开，可达到避免共振的目的。优化后，轴系扭振安全裕度从2.60%提升到了10.89%，满足设计要求，提高了系统可靠性，为传动系统轴系优化设计提供了理论指导。此外，为获得更好的效果，需要进一步建立优化模型，实现优化设计。
收稿日期：2021-01-14
基金项目：国家自然科学基金（51775058)
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