《机械传动》2022年  第46卷   第1期

引用格式：陈永鹏，刘鸿梁，杨勇. 车齿工艺刀具工作角度演变过程建模及分析[J]. 机械传动,  2022, 46(1）:27-32.

CHEN Yongpeng，LIU Hongliang，YANG Yong.Modeling and analysis on the evolution process of tool working angle in gear skiving process[J]. Journal of Mechanical Transmission,  2022, 46(1）:27-32.

车齿工艺刀具工作角度演变过程建模及分析

陈永鹏^1,2   刘鸿梁¹   杨勇²

（1  重庆交通大学 机电与车辆工程学院， 重庆 400074）

（2  重庆机床（集团）有限责任公司， 重庆 401336）

摘 要  车齿工艺是一种高效齿轮切削加工工艺，刀具工作角度是影响切削加工性能的重要参量。车齿工艺由于运动关系和刀具几何形状复杂，导致刀具工作角度在切削过程中不断变化，并受多因素影响。首先基于车齿工艺原理和坐标变换方法建立其运动学模型，并根据车齿刀几何构型建立产形后刀面、前刀面和切削刃的数学模型，结合斜角切削的刀具工作角度定义推导出车齿刀工作前角和后角的计算公式，实现车齿刀工作角度演变过程的解析表示，最后分析了车齿刀设计前角和螺旋角对工作角度的影响。结果表明较大的刀具设计前角主要影响工作前角，而车齿刀螺旋角主要影响工作后角。相关结果可以为刀具结构优化提供理论支撑。

关键词  车齿工艺 刀具几何 工作角度 角度演变

0 引言

车齿工艺是一种加工效率高、工艺范围广的齿轮切削加工工艺，与滚齿、插齿等传统工艺相比，具有材料去除率高、成形精度好、对内齿轮与非贯穿齿轮具有突出适应性等优点[1-4]，因此，在20 世纪初被提出后即受到广泛关注。但由于机床和刀具技术的限制，车齿工艺存在加工精度低、表面质量差和刀具寿命短等问题，其产业化应用在很长一段时期内未能实现突破[5-6]。近年来，随着新型高刚性机床结构及材料技术、数控技术、先进刀具材料及涂层技术等关键技术的突破，该工艺已具备了产业化应用的条件[7]，提升其工艺性能也成为学术界和产业界的研究热点。

作为研究该工艺性能的重要内容，车齿加工切削载荷和刀具磨损及寿命等问题受到了国内外学者的重点关注。Moriwaki I 等研究了不同工作角度下的切削载荷和刀具磨损[8]。Guo Z 等为提高车齿刀切削性能，在分析其工作角度的基础上，对刀具所受载荷以及磨损进行了进一步的分析[9]302-313。Li J 等运用能量法分析了车齿切削过程中的切削载荷[10]。McCloskey P等分析了切削载荷并创建了切削载荷模型对切削力进行预测[11]。Bruno V 等在考虑局部前角的数值模型中，分析了切削载荷，并提出前角会影响切削力模型的精度[12]。以上研究表明，车齿工艺切削载荷及切削性能与刀具工作角度密切相关；同时，车齿工艺涉及复杂的运动学关系和刀具几何，刀具工作角度连续变化，且受多参数影响。鉴于上述原因，深入研究和分析车齿工艺刀具工作角度演变过程及其影响因素，对于优化刀具几何结构和工艺参数，改善切削性能具有重要意义。

本文中基于车齿刀具的空间解析几何数学建模，首先，完成了车齿刀切削刃曲线及刀具静态几何角度特征矢量的数学表达；其次，根据车齿工艺运动学提出车齿工艺刀具工作角度计算模型，实现了切削刃曲线上任意点工作角度动态演变过程的精确描述；最后，围绕车齿刀螺旋角及其设计前角对刀具工作角度的影响进行了分析。

1 车齿工艺的运动学原理

车齿是基于空间交错轴圆柱齿轮啮合原理的齿轮加工工艺。如图1 所示，S₁（O₁-x₁y₁z₁）为车齿刀的静止参考坐标系；S_c（O_c-x_cy_cz_c）与车齿刀固联，并绕z₁轴回转，其初始位置与S₁重合。坐标系S₂（O₂-x₂y₂z₂）为工件的静止参考坐标系；S_w（O_w-x_wy_wz_w）与齿轮工件固联，绕z2轴旋转并轴向移动，其初始位置与S₂ 重合。车齿刀与齿轮工件中心距为a，轴交角为Σ。a与工件分度圆半径r_w 和车齿刀分度圆半径r_c 相关，即a= r_w ± r_c，加工外齿轮时取“+”，加工内齿轮时取“-”。Σ 须保证车齿刀与工件的节圆柱面螺旋线相切，其值与工件螺旋角β_w 和车齿刀螺旋角β_c 相关，即Σ= β_w ± β_c，加工外齿轮时，刀具和工件螺旋方向相同取 “+”，方向相反取 “-”，加工内齿轮时符件号选取规则与加工外齿轮相反。

齿轮工件和车齿刀分别以角速度ω_w 和ω_c 按给定传动比同步回转，同时，工件以给定速度F 轴向进给。设工件与车齿刀的回转运动传动比为i_wc，即有ω_w= i_wcω_c；轴向进给与车齿刀回转运动传动比为i^′，即有F= i^′ω_c 。但对于斜齿轮加工，齿轮工件须附加一个差动回转运动Δω_w，即Δω_w= F tan β_w/r_w 。以上运动关系为

式（1）也确定了工件回转角φ_w 和轴向进给位移s两个参数与车齿刀回转角φ_c 的关系，即

2 车齿刀几何数学建模

图2 切削刃模型
Fig.2 Cutting edge modle

在车齿刀固联坐标系S_c 中建立车齿刀几何数学模型。产形齿面是空间曲线绕z_c 轴做等升距螺旋运动生成的螺旋面。若已知产形齿面在x_c -y_c 平面上的端截形Γ，设Γ 上任意点的位置矢量为则由曲线Γ 做螺旋运动所形成产形面上任意点的位置矢量为其参数方程为

车齿刀前刀面是布置于产形齿面横断方向的平面。建立如图3 所示的前刀面局部坐标系S_r（O_rx_ry_rz_r），原点O_r 位于车齿刀产形面分度圆上，轴y_r 同时垂直于轴x_c 和车齿刀分度圆螺旋线，x_c-y_r 平面是垂直于螺旋线的基准面，它与零前角前刀面重合。轴x_r 与轴x_c 夹角即为设计前角γ_o 。

设前刀面上任意点在局部坐标系S_r 中的位置矢量为=(r cos ς)i ^r +(r sin ς)j ^r，其中，参数r 为径矢的模，参数ς 为径矢与轴x_r 的夹角。根据前刀面与车齿刀之间的位置关系，建立坐标变换矩阵M_cr，前刀面位置矢量经坐标变换即得前刀面在车齿刀坐标系中的位置矢量，有

其中，

则前刀面在车齿刀坐标系S_c 中的位置矢量参数方程为

由于车齿刀切削刃是基本产形面与前刀面的交线，即要求，联立式（3）和式（5），可得产形面坐标参数u 和θ 的隐式关系，有

式（6）表示车齿刀产形面坐标点满足切削刃曲线时，坐标参数u和θ存在函数关系θ=θ（u），将其代入产形面矢量方程可得切削刃的空间位置矢量方程它表示切削刃是以u 为单参数变量的一条空间曲线，为

3 车齿刀工作角度演变过程计算模型

如图4所示，车齿刀切削刃为空间曲线，车齿刀相对齿轮工件运动，其运动轨迹形成轨迹扫掠面。选取切削过程中任一时刻的车齿刀切削刃，切削刃上任意切削点的邻域可近似采用斜角切削模型分析其工作角度。根据工作角度的定义，刀具工作前角γ 为前刀面与基面的夹角，即前刀面法矢量和基面法矢量的夹角；同时，刀具工作后角α 为后刀面与切削平面的夹角，即后刀面法矢量和切削平面的夹角。在斜角切削刀具工作角度计算模型中，切削速度矢量和切削刃切矢量确定了切削平面，垂直于切削速度的平面为基面，正交平面同时垂直于切削平面和基面，所以，关于基面的法向量为切削速度矢量。因此，建立车齿刀工作角度计算模型首先需要在工件坐标系S_w 中确定如下矢量：切削速度矢量v ^w、前刀面法矢量后刀面的法矢量切削刃切矢量和切削平面法矢量。

图4 工作角度计算模型的定义
Fig.4 Definition of working angle calculation model

车齿切削过程中，车齿刀相对齿轮工件运动，根据车齿工艺运动学原理，切削刃在齿轮工件坐标系中的运动轨迹形成切削刃空间轨迹曲面。因此，切削速度矢量v ^w表现为对切削刃相对于工件运动形成的运动轨迹关于时间求导所得结果。车齿刀切削刃空间轨迹曲面由切削刃曲线经齐次坐标变换，由坐标系S_c 变换至S_w 得到。由于车齿刀回转角φ_c 是唯一连续运动变量，基于车齿工艺运动学原理，根据式（2）和齐次坐标变换原理建立由车齿刀坐标系S_c 到工件坐标系S_w 的齐次坐标变换矩阵M_wc（φ_c ）。因此，根据齐次坐标原理，车齿刀切削刃在S_w 中形成的切削刃空间轨迹曲面方程为

其中，

式（9）中的齐次坐标变换矩阵为

切削刃运动轨迹曲面G ^w（u，φ_c ）中的参数u 对应切削刃不同点，参数φ_c 对应车齿刀在一定时间t 内的回转角度，是切削刃轨迹曲面关于时间的运动参数。若给定一个u 值，并求该点关于运动参数φ_c 的偏导，可得到切削刃上关于点u 的切削速度v ^w（u，φ_c ）。因此，切削刃上任意点的切削速度v^w 可表示为

如前所述，前刀面为垂直于车齿刀螺旋线且带有前角的平面，对关于前刀面的两个参变量（r，ς）分别求偏导得到的矢量求叉积，即可得到前刀面法向量，且其法矢量在S_c 中为常矢量但随着车齿刀的运动，其经自由矢量变换至工件坐标系S_w 后变换为计算式为

车齿刀后刀面为基本产形面，对关于基本产形面的两个参变量（u，θ）分别求偏导得到的矢量求叉积，即可得到后刀面法向量，且其法向量在S_c 中为常矢量其经自由矢量变换至工件坐标系S_w 后变换为计算式为

对车齿刀切削刃曲线求关于参变量u 的导数，即可得到切削刃曲线上某一个切削点的切矢量。因此，切削刃在任意切削点u 处的切矢量在S_c 中可表示为，经自由矢量变换至工件坐标系S_w 后即得计算式为

在斜角切削刀具工作角度计算模型中，切削速度矢量和切削刃切矢量确定了切削平面，垂直于切削速度的平面为基面，正交平面同时垂直于切削平面和基面。因此，切削平面的法矢量 可由vw与之间的叉积表示为

因此，联立式（11）与式（12）、式（14）与式（16），可分别得到刀具工作前角γ 和后角α 的计算式。

文献[9]306采用相对运动速度求解工作角度的方式得到类似结果。将不同的参数值（u，φ_c）代入该式，可以求得切削刃上任意点在任意时刻的刀具实际工作角度，进而分析其在切削过程中的演变过程。

4 工作角度影响因素分析

由于齿轮加工工艺的特殊性，齿轮工件和刀具的部分几何参数之间存在相互约束。在针对特定齿轮工件对象开展车齿刀设计时，前刀面设计前角γ_o 和产形轮的螺旋角β_c 可由设计给定。分析以上两个参数对车齿刀实际工作角度的影响，对于优化车齿刀几何结构，改善刀具工作角度和切削条件具有十分重要的意义。根据式（17）可计算车齿刀切削刃上所有切削点在整个运动过程中的理论工作角度。但车齿工艺齿面成形是工件每回转1周，刀具相对工件轴向进给，并由刀齿在齿槽处切除一层材料的过程。在该过程中，车齿刀切削刃并非一直处于切削状态，因此，只考虑切削刃实际切除材料时的工作角度。以表1所列基本参数车齿刀和齿轮工件为例，分析车齿刀设计前角γ_o 和产形轮螺旋角β_c 对刀具工作角度（包括车齿刀工作前角γ 和工作后角α）的影响。

表1 车齿刀与齿轮工件基本参数
Tab.1 Basic Parameters of skiving cutter and work-piece

4.1 车齿刀设计前角γ_o 对工作角度的影响

以车齿刀设计前角γ_o 为控制变量，设计前角分别为5°、10°和15°时，车齿刀实际参与切削部分的工作角度演变过程，如图5所示。

随着车齿刀设计前角γ₀ 增加，在切削过程中，最大工作前角与最小工作前角的代数值同步增加，并且车齿刀具在更大切削范围内处于“+”工作前角的状态；而车齿刀设计前角对实际工作后角几乎不产生影响。

综上所述，刀具设计前角主要影响车齿刀实际工作前角在整个切削过程中的变化范围，对工作后角产生的影响较小。并且根据切削理论，增加刀具设计前角，更有利于车齿刀具切削，但是，过大的刀具前角会降低切削刃的强度，同时会减小刀具的导热面积和容热体积，会对刀具产生不利影响。

4.2 车齿刀螺旋角β_c 对工作角度的影响

由图6中可知，随着车齿刀螺旋角β_c 增加，在车齿切削过程中，缩短了实际工作前角的变化范围，减缓了车齿刀工作前角在切削过程中的变化速率；同时，工作后角具有与工作前角相同的变化趋势。更进一步分析发现，随着车齿刀螺旋角β_c 增加，最大工作前角的代数值减小，最小工作前角的代数值增加，工作后角的变化与工作前角的变化具有相同规律。

图6 不同刀具螺旋角βc下的工作角度
Fig.6 Working angle with different cutter helix angle βc

综上所述，刀具螺旋角主要改变车齿刀实际工作角度在切削过程中的变化速率。增大车齿刀螺旋角会减缓工作角度在切削过程中变化的速率，使得车齿刀处于更加稳定的切削状态。因此，较大的车齿刀螺旋 角更有利于车齿刀切削。

5 结论

由于车齿工艺加工过程的复杂性，刀具工作角度是影响车齿工艺切削加工性能的重要参量。建立了一种计算车齿工艺空间几何成形过程中工作角度的数学模型，该模型能够精确分析车齿加工刀具工作角度的演变过程，为车齿工艺分析和优化提供快速有效的方法。基于此模型，分析了刀具前角、刀具螺旋角对工作角度的影响，得出如下结论：

（1）车齿刀工作角度在切削过程中时刻变化，车齿刀在切入阶段的切削性能优于切出阶段，车齿刀后刀面在切出阶段的磨损情况优于切入阶段。

（2）刀具设计前角主要影响工作前角的变化范围，较大刀具设计前角更利于切削。

（3）刀具螺旋角主要影响工作角度的变化范围及变化速率。增大螺旋角会使车齿刀处于更加稳定的切削状态，更有利于切削。

收稿日期：2021-01-15

基金项目：重庆市基础与前沿研究计划资助项目（cstc2016jcyjA0109）

                重庆市教委科学技术研究项目（KJ1705134）

作者简介：陈永鹏（1987— ），男，重庆人，博士研究生，副教授；研究方向为绿色制造、绿色制造工艺与装备。

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