《机械传动》2022年  第46卷   第3期

引用格式：张爱强，于广滨，曹苗飞，等. 基础运动下行星轮系动应力非惯性系效应研究[J]. 机械传动,  2022, 46(3）:1-9.

ZHANG Aiqiang，YU Guangbin，CAO Miaofei，et al.Research on Non-inertial system effect of dynamic stress of planetary gear system under basic motion[J]. Journal of Mechanical Transmission,  2022, 46(3）:1-9.

基础运动下行星轮系动应力非惯性系效应研究

（1 重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆  400044）

摘要  考虑行星轮系内部非惯性系和机体时变位姿外部非惯性系的综合影响，建立了非惯性系下行星齿轮传动系统动力学模型；结合修正Heywood 公式与Hertz公式构建了基础运动非惯性系下行星齿轮传动系统齿根弯曲动应力和接触动应力计算模型，定义了描述基础运动下附加效应对动应力影响的应力非惯性系系数；研究了变速平飞、滚转运动和筋斗运动等3 种典型机动条件下应力非惯性系系数变化规律。结果表明，应力非惯性系系数与基础运动形式及运动参数紧密相关，总体上应力非惯性系系数随机体机动性增加呈非线性增大趋势，高机动条件下基础运动影响不可忽略。

关键词  行星齿轮传动 基础运动 动应力 非惯性系系数

0 引言

传动系统随飞行器、船舶等载体运动，基础运动环境下所处的力学条件称为非惯性系[1]。处于非惯性系中的传动系统一般做变速运动或曲线运动，不符合牛顿运动定律。对于高速、重载、高振动等极端工况下工作的齿轮传动系统，非惯性系对其支撑、机匣变形与齿轮啮合等动态行为产生严重影响，尤其在机体快速变换运行状态等高机动时变位姿下。这对齿轮传动系统设计、运行与控制等提出了巨大挑战。齿轮齿根弯曲动应力和齿轮副接触动应力是齿轮承载能力的直接反映，也是造成轮齿折断、齿面点蚀、齿面剥落等疲劳失效的直接原因。分析变速平飞和筋斗运动等典型非惯性系环境下行星轮系动应力的附加效应变化规律，对提高非惯性系下行星齿轮传动的承载能力具有重要意义。

现有文献中，非惯性系下动力学研究主要集中在发动机转子-轴承系统中，Soni T等[2]研究了基础俯仰、滚转、偏航时磁悬浮转子系统振动响应，并通过对比基础运动时系统的稳定性，证明了提出的新控制规律在基础运动条件下磁悬浮转子系统稳定性控制方面的优越性。Dakel M 等[3]基于Timoshenko 梁单元建立了单转子轴系有限元模型，由Lagrange 运动方程推导表明，基础转动不仅引起系统参数变化，还会产生附加外力矢量，而基础平移运动只会衍生附加力矢；并通过转子稳定性图、坎贝尔图、稳态响应及运动轨迹等，研究了对称和非对称两种不同转子构型动态特性。李杰等[4-5]计及陀螺力矩影响，利用Lagrange 方程建立了机动飞行条件下双转子-滚动轴承支承耦合系统动力学模型，并建立了基础运动双转子模拟实验台，获得横滚、跃升等两种飞行姿态下转子动态响应，结果表明，不同的机动飞行条件对航空发动机双转子的动力学响应影响不同。Han B等[6]建立了航空发动机单转子轴系-球轴承系统动力学模型，将飞行机动状态模拟为附加阻尼矩阵、刚度矩阵及载荷向量，研究了转子系统多周期非规则瞬态振动，结果表明，机动飞行开始和结束均可引起瞬态响应。齿轮传动系统作为一种具有自激励特性的非线性系统，其动力学行为与发动机转子系统具有明显的差异，而目前针对非惯性系下齿轮传动系统动力学与振动控制的研究仅处于初步阶段。Han Q 等[7]根据能量定理和Lagrange 原理推导了横滚、俯仰、偏航等基础运动激励下直齿轮副系统运动方程，讨论了各种基础转动对齿轮幅频响应的影响；Qiu X 等[8]推导了基础俯仰运动下行星轮系平移-扭转-轴向动力学模型，研究了俯仰运动引起的附加阻尼、刚度和外力激励等对系统动力响应的影响，仿真结果表明，机体运动会引入更多的激励频率而增大系统振动，并增大系统谐振风险。魏静等[9-10]考虑内部非惯性系与外部非惯性系的综合影响，构建了非惯性系下机体任意空间运动状态中心构件和行星轮系/平行轴齿轮系统的运动学与动力学模型；推导了附加惯性力和附加陀螺力矩，初步揭示了高机动飞行环境下传动系统的运动变化规律及不同非惯性系条件对轴系变形、轨迹和系统动载荷及各构件瞬态动力学行为机理。目前，齿轮系统相关的实验研究较少，刘镇星等[11]利用Lagrange 方程建立了舰船摇摆作用下的滑动轴承-齿轮副系统动力学模型，计算了船体纵横摇摆下齿轮副的振动响应；并设计、搭建了在固定基础及摇摆基础上的滑动轴承支承的齿轮系统测试台架，结果表明，无论是试验还是仿真结果，系统响应频谱中摇摆频率幅值随摇摆幅角增大的趋势是一致的，由于传感器性能等因素限制，测试只针对摇摆幅值对齿轮转子振动的影响作了规律性验证。

行星齿轮动应力方面，Ligata H 等[12-14]通过试验，研究了齿圈轮缘厚度、行星轮数目、销孔误差对齿圈齿根动应力时域历程的影响。李发家等[15-16]采用电测应变法得到了差动级齿圈太阳轮齿根弯曲动应力。王成龙等[17]结合轮齿承载接触分析，提出一种内齿圈动应力计算方法，并通过与其他仿真算法及实验结果对比，验证了其有效性。秦大同等[18]结合有限元分析和准静态法得到了某风机行星齿轮传动系统齿轮接触应力-时间历程，并用于动态可靠性分析。张义民等[19]利用集中质量法建立了采煤机摇臂系统行星传动有限元模型，结合试验实测电机输入载荷，得到了太阳轮和行星轮的动态接触应力并用于疲劳可靠性设计。Tsai S J 等[20]提出一种行星齿轮轮齿承载接触分析方法，研究了太阳轮、行星架扭转刚度对接触应力分布的影响。

本文中建立了非惯性系下行星轮系动应力计算模型，定义了描述基础运动下附加效应对齿轮动应力的影响系数——应力非惯性系系数，并对机体做变速平飞、滚转和筋斗运动等典型非惯性系条件下应力非惯性系系数的变化规律进行了深入研究。

1 非惯性系下行星轮系动力学模型

1.1 系统坐标系设置

图1 系统坐标系
Fig.1 System coordinate systems

1.2 运动学分析

1.2.1 中心构件

以太阳轮轴为例，不考虑节点沿轴向分布，仅考虑内部非惯性条件时，其坐标系如图2（a）所示。其中，M_s为太阳轮轴节点实时位置；动点M_s在坐标系o_c-x_cy_cz_c 中的矢径r_ns1= r_s = x_sk_c + y_sk_c + z_sk_c ；x_s 、y_s 、z_s分别为节点实时动态位移响应值；下标 “ n ” 为仅考虑内部非惯性系。

采用节点有限元方法对轴系建模时太阳轮轴节点沿自身轴线方向分布，因此，太阳轮轴节点M_s 在坐标系o_c-x_cy_cz_c 中矢径r_ns2=r_s0+r_s，如图2（b）所示。r_s0 为初始矢径，r_s0 = z_s0k_c ；z_s0 为节点M_s 相对于原点o_c 坐标。

图2 非惯性系下太阳轮轴坐标系
Fig.2 Coordinate system of sun shafting under non-inertial system

随动坐标系o_c-x_cy_cz_c单位矢量i_c 、j_c 、k_c 对时间t 的导数如式（1）所示，分别对r_ns1 和r_ns2 二次求导，得到节点M_s 绝对加速度a_ns1 和a_ns2 分别如式（2）和式（3）所示。

式（1）～式（3）中，ω 为行星架随动坐标系o_c-x_cy_cz_c绕o_c点转动角速度，ω=ω_ck_c ，ω_c 为行星架转速；v_s = x^˙_si_c + y^˙_s j_c + z^˙_sk_c ，x^˙_s 、y^˙_s 、z^˙_s 均为节点实时速度；x^¨_s 、y^¨_s 、z^¨_s 均为节点实时加速度。

由于ω × k_c = 0，式（3）可进一步表示为式（4）。

对比式（2）和式（4）可知，仅考虑内部非惯性系条件时，节点轴向分布不会产生实际作用。

行星架轴与太阳轮轴同属于中心构件，而且节点设置方式相似，因此，行星架轴节点与太阳轮轴节点绝对加速度方程类似；与二者相比，齿圈不存在初始矢径（建模时不考虑齿圈变形），仅考虑内部非惯性系条件时，齿圈节点绝对加速度与式（4）类似。

相比之下，根据图2（c）所示，考虑外部非惯性系效应时，太阳轮轴节点Ms在地面固定坐标系OXYZ 中矢径r_Ms=r₀+r₁+r_s0+r_s ，r₀ 、r₁分别为o₁在定系OXYZ 中的矢径以及o_c 在机体坐标系o₁-x₁y₁z₁ 的矢径，即

式中，Ω 为机体坐标系o₁-x₁y₁z₁ 绕o₁ 点的转动角速度。

对r_Ms 求2 阶导数，可得到内外部非惯性系下动点M_s 绝对加速度，除去仅考虑内部非惯性系条件时各项（式（4）中各项），外部非惯性系下绝对加速度衍生项a_as 如式（7）所示。

仅考虑行星轮系自身非惯性系（内部非惯性系）时，动点M_p 在坐标系o_p-ξηz_p 中矢径r_np=r_bc+r_p ，如图3（a）所示。与中心构件绝对加速度推导类似，动点M_p 绝对加速度为

相比行星轮，销轴节点沿自身轴线o_pz_p 方向轴向分布，因此，动点M_pp 存在类似于r_s0 的初始矢径r_pp0 ，r_pp0=z_p0·k_p ，销轴节点M_pp 在坐标系o_p - ξηz_p 的矢径为r_ppn=r_bc+r_pp0+r_pp ；根据内部非惯性系下太阳轮轴节点绝对加速度推导结果，仅考虑内部非惯性系条件时，销轴动点M_pp 绝对加速度方程与式（10）相似。

根据图3（b）所示，行星轮动点M_p在定系O-XYZ中矢径r_Mp=r₀+r₁+r_bc+r_p ，参考太阳轮轴，可以得到基础运动下行星轮节点绝对加速度附加项为

1.3 系统耦合动力学模型

式中，M、C、K 分别为系统整体质量、阻尼和刚度矩阵；A（t ）为绝对加速度；X^ˉ(t )为考虑非线性因素的位移矢量；T（t ）为外激励；G（t ）为重力矢量。

图4 行星轮系系统级耦合动力学模型
Fig.4 System-level coupled dynamics model of planetary gear train

仅考虑内部非惯性系时，A（t ）与G（t ）如式（14）所示。

1.4 动应力计算模型

求解式（13）可以得到任意啮合位置j 处啮合力F_mj ；求解式（16）可以得到理想啮合状态下啮合位置j处齿对k（k=1，2）齿间载荷分配系数L_kj 。其中，K_kj 表示啮合位置j处齿对k的啮合刚度，则啮合位置 j 处齿对k 啮合力F_kj =L_kj F_mj ；然后，利用式（17）所示修正Heywood 公式和式（18）所示Hertz 接触应力公式可分别计算齿根弯曲动应力和接触动应力。

式（17）和式（18）中，σ_Fkj 、σ_Hkj 和ρ_kj 分别为啮合位置 j 处齿对k 对应轮齿齿根处最大弯曲动应力、接触动应力以及综合曲率；1/ρ_kj=1/ρ_kj1±1/ρ_kj2（负号用于内啮合）；v 取1/4；ρ_kj1 、ρ_kj2 、v₁ 、v₂ 、E₁ 和E₂ 分别为啮合位置 j 处齿对k 对应两齿轮接触点主曲率半径、泊松比与弹性模量。

以外齿轮为例，已知齿轮基本参数，可以得到齿轮基圆半径R_b 、节圆半径R_p 、节圆压力角α 、节圆齿厚s_p 、节圆到作用线的距离S 、齿根圆半径R_r 以及齿根圆角半径r_f ，从而可以得到图5（a）中所示齿对k 啮合位置j 处负载角α_j 、齿厚h_L 、齿根应力峰值位置齿厚h_f 以及高度l_f ，分别如式（19）～式（22）所示。

图5 修正Heywood公式参数示意图
Fig.5 Parameter diagram of modified Heywood formula

2 典型基础运动下动应力非惯性系效应

基础运动附加效应会对行星轮系齿轮动应力产生明显影响，为量化非惯性系下附加载荷对轮系齿轮动应力的影响，定义应力非惯性系系数KNI，包括齿轮危险截面处弯曲动应力非惯性系系数K_NIFw2 和接触动应力非惯性系系数K_NIHu ，如式（29）所示。其中，NI 为非惯性系；w2=s、p、pr、r；pr 为参与内啮合的行星轮。以K_NIFs 为例说明其具体计算方法：

首先，对内部非惯性系下太阳轮齿根弯曲动应力RMS 值取最小值σ_Fsn =min（σ_Fs1n ， σ_Fs2n ， σ_Fs3n ，σ_Fs4n ）；然后，得到某一基础运动状态下太阳轮参与不同啮合副啮合时齿根弯曲动应力RMS 值与σ_Fsn 的比值（由于本模型中含有4 个行星轮，即含有4 对s-p齿轮副，因此得到4 个比值）；最后，对这4 个比值取最大值，就得到该机动状态下太阳轮齿根弯曲动应力非惯性系系数K_NIFs 。

2.1 变速平飞与滚转运动

图8 机体变速/滚转飞行时齿轮应力非惯性系系数
Fig.8 Non-inertial system coefficient of gear stress during plane body variable speed/rolling flight

由图8（a）和图8（b）中可知，弯曲应力非惯性系系数随|a_e |增加呈非线性增加，接触应力非惯性系系数随|a_e |增加近似线性增加；弯曲、接触应力非惯性系系数整体上随Ω_a 增加呈非线性增大，而且当Ω_a 增至12 rad/s 后变化幅度明显增加。以行星轮齿根弯曲动应力为例，参与外、内啮合的行星轮弯曲应力非惯性系系数在区间[0，12] rad/s 内变化幅度分别为1.63%和2.21%，而在区间[12，24] rad/s 内变化幅度分别达到了7.22%和8.66%，分别如图8（c）和图8（d）所示。

图9 平飞加速度和滚转角速度共同作用下应力非惯性系系数
Fig.9 Non-inertial system coefficient of gear stress under combined action of plane flight acceleration and roll angle velocity

2.2 筋斗运动

相比变速平飞和滚转运动，筋斗运动涵盖了跃升、倒飞、俯冲、库尔比特等机动动作，是衡量飞行器机动性能的重要指标。如图10 所示，当机体翻筋斗时，即以翻转角速度Ω_d 、翻转半径R 绕地面固定坐标系OX 轴翻转飞行，在铅垂面内完成近似圆、航迹方向改变360°飞行。

图10 筋斗运动示意图
Fig.10 Schematic diagram of somersault movement

机体翻筋斗时行星轮系应力非惯性系系数变化规律如图11所示。

由图11 中同样可以看出，翻转角速度影响下，动应力变化较为复杂（R=5 m），但非惯性系系数K_NIF 、K_NIH 整体上随Ω_d  增加呈非线性增大；翻转半径影响下，应力变化较为简单（Ω_d =10 rad/s），随R 增加近似线性增加，如图11（c）和图11（d）所示。由图11（a）和图11（b）中可知，K_NIH 随Ω_d 变化趋势经历了多次增减改变，相比之下，K_NIF 随Ω_d 变化趋势较为简单，但也经历非线性增大→非线性减小→非线性增大的变化过程。此外，应力非惯性系系数在[3，9] rad/s 内变化幅度较小、在区间[9，15] rad/s 内变化幅度较大，以K_NIFp 为例，参与外、内啮合的K_NIFp 在区间[3，9] rad/s 内变化幅度分别为1.2%和1.0%，而在[9，15]rad/s内变化幅度分别达到了12.9%和12.3%。

图11 机体做筋斗运动时齿轮应力非惯性系系数
Fig.11 Non-inertial system coefficient of gear stress during plane body somersault motion

3 结论

建立了基础运动非惯性系下行星齿轮传动系统动力学模型以及非惯性系下行星轮系动应力计算模型，对比了不同典型基础运动下齿轮齿根弯曲动应力和各齿轮副接触动应力，主要结论如下：

（1）运行过程中，行星轮既有自转又随行星架公转，行星轮系处于内部与外部双重非惯性系作用下，行星轮（含销轴）衍生附加项比太阳轮轴、行星架轴等中心构件更为复杂。

（2）变速平飞、滚转运动和筋斗运动等不同基础运动形式及运动参数对非惯性系系数影响各异，总体上应力非惯性系系数随机体机动性增加呈非线性增大趋势，高机动条件下的基础运动影响不可忽略。

收稿日期：2021-12-02

基金项目：国家重点研发计划(课题)(2020YFB2008101)

                国家自然科学基金（51775058/52105051）

                中国博士后科学基金面上资助（2021M700585）

专家点评：     

针对基础运动条件下行星轮系的齿轮动应力，稿件考虑了行星轮系内部非惯性系和机体时变位姿外部非惯性系的综合影响，建立了非惯性系下行星齿轮传动系统动力学模型，定义了描述基础运动下附加效应对动应力影响的应力非惯性系系数，研究了变速平飞、滚转运动和筋斗运动等三种典型机动条件下应力非惯性系系数变化规律。

稿件研究内容具有较好的学术水平和参考价值，撰写质量较高。

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