DOI: https://doi.org/10.1364/OE.21.021693
随着信息技术的飞速发展，光电子器件在数据传输、通信网络、传感技术等领域扮演着越来越重要的角色。特别是在硅光子学领域，SOI平台提供了通过芯片上图案化的亚波长硅波导管理光的独特能力，从而实现了光子元件和传统CMOS电子器件的极紧密集成 。 因此，以前需要许多独立组件的功能现在可以全部在单个芯片上执行，从而降低了成本、能耗和尺寸。 硅光子学器件以其与现有半导体工艺的兼容性、低成本、小尺寸和低能耗等优势，成为推动信息技术进步的关键技术之 一。 然而，硅光子学器件的设计和制造面临许多挑战。挑战之一就是在亚波长尺度上对光进行有效管理的问题。硅光直 波导虽然可以极好地传输光，但其他功能器件，如分路器、波导交叉、多模干涉仪等，在设计上需要克服由于波导外的渐逝场和硅/氧化物界面上的不完美反射引起的散射损耗。这些损耗对整个系统性能的影响可能是极其有害的。 为了解决这些问题，近年来在光子器件拓扑优化方面进行了大量的研究工作。 通过优化设计，显著降低了Y型分路器的损耗、波导交叉的串扰和插入损耗，以及其他一些更为复杂的光子器件的性能。 然而，大 多数现有的优化方法基于启发式优化技术，如遗传算法、粒子群优化等，这些方法依赖于对解空间的有限参数化和大量不同参数集的随机测试。 由于求解Maxwell方程的高计算成本，这些优化方法通常只能应用于相对简单的几何结构。 需要一种更高效的拓扑优化方法，以处理更复杂的几何形状和功能。
基于此，加州大学伯克利分校Christopher等人在2013年 开发一种基于伴随方法的高效形状优化技术，以应用于复杂的电磁设计问题，特别是在硅光子学领域，这也是近十年逆向设计工作中最常见的方法之一 。 该工作提出的伴随方法通过将商业Maxwell求解器嵌入到一个最速下降的逆向设计优化算法中，实现了对形状导数的快速计算。这种方法只需要两次“正向”模拟——一次用于计算器件 电磁响 应 ，另一次用于伴随模拟，从而在整个设计区域内计算形状导数，而不需要对每个设计变量进行单独的模拟。这大大提高了优化过程的效率，使得在更大的设计空间内寻找最优解成为可能。伴随方法可以计算空间中所有点的形状导数，每次迭代只需进行两次电磁仿真，是一种在电磁设计优化中用于计算形状导数的高效技术 。它被广泛用于机械工程中的形状优化，但在光子元件和量子电子学中的应用更为有限。 伴随方法的基本原理： 伴随方法允许在每次迭代中仅通过两次电磁模拟来计算整个空间内所有点的形状导数。该方法的核心在于，通过正向问题和伴随问题的求解，能够获得关于设计变量（如几何形状）对目标函数（如电磁场的特定特性）影响的全局信息。在电磁问题中，这通常涉及到计算由于介质介电常数变化导致的电磁场分布的改变。 伴随方法的数学原理： 伴随方法利用了Maxwell方程的互易性原理。通过引入Maxwell Green函数，可以表达在给定点处的电场变化与介质极化密度变化之间的关系。通过适当的数学操作，可以推导出形状导数的表达式，从而得到整个设计区域的梯度信息。 伴随方法的计算流程： 正向模拟，首先进行一次电磁场的正向模拟，得到在当前设计下电磁场的分布； 伴随模拟，接着进行伴随模拟，这涉及到求解一个与正向问题相关的伴随问题，通常是通过将优化目标作为源项来驱动。 梯度计算，结合正向模拟和伴随模拟的结果，计算出整个设计区域的形状导数，如下图所示。 图1 伴随法示意图：每次迭代需要两次仿真;直接模拟和伴随模拟。每个模拟的源都以红色绘制
具体来说，该工作以希望最大化给定点𝑥0 的电场绝对值为例，在给定一个几何区域，在该区域 𝛺中改变每个点𝜀的介电常数。该品质因数是：
在 𝑥在𝛺时，体积 𝛥𝑉介电常数 𝛥𝜀𝑟的微小变化的品质因数变化为：
其中 𝐸𝑜𝑙𝑑(𝑥0)是任何变化之前给定点的电场值，𝛥𝐸(𝑥0)表示执行小的介电修改时电场的变化。 需要勘误的是，上述式子根据推导 应该是少加了系数因子2，推导过程详见O. D. Miller 博士的论文：
要找到 引入位于 的介质包含物时，性能函数变化的公式现在是 和 但使用上述公式进行暴力优化方法的困难在于，必须为每个可能的 这就是对称性发挥作用的地方。Maxwell 算子（以及任何线性微分算子）的 Green 函数是对称的 ：
新的伴随电场可以理解为在 𝑥处从以振幅 驱动的 𝑥0处的电偶极子感生的电场，如图1所示。因此，品质因数的梯度可以仅用单个模拟来获得，即使它提供了关于计算区域 𝛺中的每个点处的介电常数的导数。项𝐸𝑜𝑙𝑑(𝑥0)可从原始正演模拟中轻松获得。 在形状优化问题中，水平集方法可以用来表示设计区域的几何形状，并通过优化算法来调整这个形状以满足特定的性能要求。形状导数可以通过对水平集函数进行微分来获得，这些导数指示了如何改变形状以改善设计的性能。 水平集方法（Level Set Method）是一种在计算流体力学、图像处理和形状优化等领域广泛应用的数学技术。它最初由James Sethian提出，并由Sethian和Osher进一步发展。水平集方法的核心思想是将几何形状用一个函数来表示，该函数的零水平集（即函数值为零的点的集合）定义了形状的边界。 图2 经过51次最速下降算法迭代后获得的优化硅分束器几何结构的俯视图。只允许更改可设计区域几何图形。硅波导厚度为220 nm，是硅光子学最常见的选择。 包层为二氧化硅。 该工作 采用伴随方法优化了用于λ = 1550nm真空波长光的Y型分束器，以与当时的最先进硅光子Y分束器进行比较[2]。材料系统（硅波导，二氧化硅包层）和小的总体尺寸和最小特征尺寸的约束保持与[ 2] 相同。对于最小特征尺寸，施加200nm的最小曲率半径，波导厚度为220 nm。 两个波导分支及其在分束器末端的接合点与[ 2] 中相同，尽管它们也可以很容易地进行优化。设计区域为中心2µm × 2µm区域，如图2所示。 对于Y型分束器，该工作采用的品质因数是传输到弯曲输出波导的基模中的坡印亭矢量来表征，因此适应新品质因数的伴随方程变为： 伴随模拟的目的是发送所需的模式反向进入分束器（splitter，本例中的设计器件），这与正向模拟中在性能指标（Figure-of-Merit, FoM）的测量点处放置伴随源的概念相似。一旦执行伴随模拟，则通过将正向和伴随模拟结果组合到等式中来计算品质因数相对于设计区域中的每个点处的介电常数的导数。FDTD非常适合于求解介质中波的直接和伴随问题。
图4 优化过程中的几何结构演变和输出波导的总耦合效率
形状导数用于修改分离器的几何形状的具体方法如下：由于该工作采用了水平集几何描述，导数被用作速度场来修改水平集形状。当导数为正时，这会将几何体边界向外推，而当导数为负时，则会将其向内推。 由于硅的折射率高于二氧化硅的折射率，因此在每一点上都必须实现导数：品质因数受益于介电常数的增加，其中导数为正，反之亦然。每次迭代的步长标准是在2d中改变类型的固定区域和在3d中固定体积，几何结构演变和输出波导的总耦合效率的演化过程如图4所示 。
为了与[2]工作对比，该装置首先使用二维时域有限差分(2D FDTD)模拟三维无限挤压结构进行优化。在二维中，采用有效折射率法，一旦迭代进程在2d中停止（41次迭代），该优化设计问题就被转移到3d中进行更多的迭代。如图3所示，第一个3d迭代显而易见 不如优化的2d器件好，这是因为有效折射率方法只是一个近似。最佳结构在51次迭代（102次模拟）内计算得出，实现了超低插入损耗-0.07dB。而[2]在使用粒子群优化进行了1500次模拟后，实现了最小插入损耗为−0.13dB。
图5 在λ = 1550nm处的优化结构的模 拟场 强 伴随梯度优化算法，具有低得多的计算成本，可以产生良好的或更好的结果比粒子群优化。值得一提的是，在2d解决方案和3d解决方案之间有一个明显的变化，具有不可忽略的效率提高。这种3d的改进只有伴随方法才有可能，因为3d的计算成本限制了粒子群方法中的多次模拟。 最终迭代的电场强度分布如图5所示。
随着光电子器件和无线组件成为电子产品中越来越重要的一部分，很明显，许多问题将需要基于电磁优化。求解麦克斯韦方程的计算成本是较高的，使得基于传统方法的低效的设计优化、高精度的仿真结果将逐步被淘汰。而该工作提出的伴随梯度下降方法的形状优化的亚波长光子器件可以很容易地实现嵌入商业麦克斯韦求解器内的逆优化算法，可以称得上是逆向设计领域的开山之作。
[1]Christopher M. Lalau-Keraly, Samarth Bhargava, Owen D. Miller, and Eli Yablonovitch, "Adjoint shape optimization applied to electromagnetic design," Opt. Express 21, 21693-21701 (2013)
[2]Yi Zhang, Shuyu Yang, Andy Eu-Jin Lim, Guo-Qiang Lo, Christophe Galland, Tom Baehr-Jones, and Michael Hochberg, "A compact and low loss Y-junction for submicron silicon waveguide," Opt. Express 21, 1310-1316 (2013)
