AP不考,但学校会讲的微积分知识(中篇) || 微分&辛普森法则

文摘   2024-11-10 19:03   北京  

在《AP不考,但学校会讲的微积分知识(前篇)》中,我们介绍了Logarithmic Differentiation和Newton‘s Method两个知识点。今天,我要介绍DifferentialsSimpson’s Rule, 这两个知识点分别涉及微分和积分的知识。


Differentials(微分)

 
在上一篇文章中,我们介绍了牛顿法(Newton's Method),这是一种求解方程根的方法。文章中提到了线性近似法,它利用函数在某一点处的切线来近似该点附近其他位置的函数值。我们今天要讨论的differentials同样与线性近似密切相关。Differential虽然不在AP微积分的考试大纲内,但理解这一概念对于我们认识 这些符号,以及它们之间的联系和区别有重要意义。

在介绍differential这一概念之前,我们先来看一下的含义。这两个符号很好理解,如图所示,分别表示的增量。


再结合导数的定义,我们知道单独出现的时候,它们各自的含义又是什么呢?在这种情况下分开的不再被称作导数,我们会为它们取一个新名字differential


其中被规定为等于,而则表示切线上升或下降的量,即线性近似的变化。平时为了方便记忆,我们可以将看做由变形得到。


从上图中我们可以看到,自变量从变到时,函数值的实际变化量是而则是沿着切线上升的量,它和的数值并不相等。但是,当取值非常小的时候,切线和函数曲线之间会贴合的更紧密,我们可以认为. 我们知道线性近似可以用切线来估计函数值,那与线性近似关联十分紧密的则可被用来估计函数值变化量的近似值。

例如,一个半径为10的圆正在向外扩张,我想知道当圆的半径从10增加到10.1的时候,圆的面积大概增加了多少。利用以及圆的面积公式, 半径, 可以得到面积的近似变化是. 如果想计算面积的实际变化量,则需要计算. 从的结果上可以看到一些偏差,但是整体差距不大,在实际生产生活中,很多时候得到一个近似值便已足够。

当函数变得更加复杂时,使用differential来计算的效率要远高于直接计算函数值的实际变化量


Simpson’s Rule(辛普森法则)

 
在AP微积分考纲的积分部分中,有两种估计定积分数值的方法,分别是Riemann Sum(黎曼和)以及Trapezoidal Sum(梯形法),更多详情可见AP微积分考试必看!需要掌握的估值方法都在这里了!

除了AP考纲中提到的这些方法,还有一种利用二次函数的抛物线图像来估计函数定积分方法—Simpson’s Rule。首先,我们把函数的定义域平均分成份且假设为偶数,则每一份为,然后再用一根抛物线穿过相邻的三个点。


此时,如果想要计算出函数的积分,便可以利用抛物线所对应的二次函数从到的积分来近似。

我们可以简单推导一下Simpson‘s Rule的计算公式,为了计算方便我们让, 再设二次函数表达式为


此时,经过计算可以得到:


又因为二次函数图象会经过三个点, 带入函数表达式可以得到


再把该结果带回到二次函数定积分的结果中,可以得到


我们把这一结果应用在整个函数的定义域上,便可以得到Simpson‘s Rule的一般化公式:


进一步化简,便可以得到:


利用这一方法我们可以对任意函数的定积分进行近似,比如我现在想得到的近似值,我们可以令,根据Simpson‘s Rule可以得到


在实际应用中,如果函数的解析式未知或过于复杂,但我们可以获取到函数的表格数据或图像,我们可以使用Simpson's Rule来近似计算定积分的数值。

本系列文章涉及的最后两个知识点,Shell Method以及Root Test将在下一篇文章中进行讨论,敬请关注。


本文作者

 




TD福利

 

为了帮助大家解决AP微积分在学习过程中常遇到的共性问题,TD AP数学教研组的老师们凭借多年教学经验,精心总结了历年考生在AP微积分学习与考试中常犯的二十余个错误,编纂成《AP微积分易错知识点合集》


这本书按照AP微积分官方考试大纲的知识点顺序编排,覆盖了极限、微分、积分、参数方程与极坐标等内容,既指出了学生常犯的共性问题,也提供了易错点的正确解答过程。


《AP微积分易错知识点合集》封面预览


正在备考AP微积分的同学们千万不要放过这本宝藏典籍!只需扫描下方二维码,添加小马甲微信并发送暗号「微积分易错点」即可免费领取「TD原创AP微积分易错知识点合集」啦~


P.S.有马甲联系方式的同学无需重复添加~


AP考试研习社
TD旗下专注于AP/A Level/IB/竞赛等理科项目的原创资料研发、教学教研分享、教学产品设计的公众号,为中国留学生提供和国际化接轨的理科教学服务。
 最新文章