一提到微积分，大多数人首先想到的是牛顿和莱布尼茨。这两位伟大的数学家为了争夺“微积分之父”的称号，曾经发生过激烈的争论，二人的恩怨情仇可以见文章：
👉微积分经典之战了解一下，牛顿、莱布尼兹到底谁是微积分之父？
当时的科学家们利用微积分解决了很多之前在数学和物理学领域无法解决的问题。虽然许多人认为微积分这个工具非常实用，便也理所应当地认为它是完全正确的。然而，微积分的发展道路其实非常曲折，并非一帆风顺。
开端
一切都要从一只乌龟讲起。在古希腊时期，哲学家芝诺（Zeno of Elea）提出了一个著名的悖论“阿基里斯与乌龟”：十分擅长跑步的阿基里斯与乌龟进行了一场赛跑，阿基里斯的速度是10 m/s，乌龟的速度是1 m/s，但乌龟的起跑线在阿基里斯的前1000米处。
芝诺认为阿基里斯永远也追不上乌龟，理由如下：当阿基里斯跑了1000米到达乌龟的起点时，乌龟已经前进100米。当阿基里斯跑完这100米，乌龟又前进了10米，阿基里斯只能继续追向那个10米。这样，乌龟会制造出无限个起点，它总能让自己和起点之前产生一段距离，不管这个距离多小，只要乌龟一直向前爬，阿基里斯似乎就永远也追不上。
然而，根据生活常识，我们知道阿基里斯跑得快，乌龟跑得慢，阿基里斯会不断接近乌龟并最终超过它，因此不可能出现芝诺所说的这种情况。
此外，用现有的数学知识，我们完全可以利用等比数列求和公式计算出阿基里斯追上乌龟所需的时间。
首先，阿基里斯需要追赶的时间可以表示为time = 100+10 +1+0.1 ＋… ， 这是一个公比为1/10的等比数列无限求和问题，利用等比数列求和公式我们可以表示为：
其中n趋近于无穷大，此时103-n趋近无穷小，。
在这个过程中，我们引入了一个非常重要的概念：无穷小。然而，当时的古希腊学者并没有机会深入研究这个概念，因为古希腊文明很快就走向了衰落，导致这一问题的研究被搁置。直到16世纪，新一代的数学家们才开始重新审视无穷小的问题，并由此引发了一系列的连锁反应，推动了数学的发展。
发展
1665年，牛顿首次提出了“流数术”，也就是我们现在所知的微分法。紧接着在1666年，牛顿又提出了“反流数术”，即积分法，这两项工作标志着微积分学科的正式创立。微积分的出现极大地简化了解决许多复杂问题的难度，例如计算速度和加速度、确定曲线的切线、寻找函数的极值、测量曲线的长度以及计算曲线所围成的面积等。
但刚刚创立的微积分也存在着一些缺陷，牛顿本人对无穷小量的理解和运用也有一些混乱，这导致了牛顿对导数的定义不够严密。比如在计算x2的导数时，牛顿采取的做法如下所示：
（注：在牛顿时期，微积分中还没有我们目前所熟知的极限符号lim）。
现在我们理解这个结果是正确的，但在当时，推导过程存在一些逻辑上的漏洞。起初，无穷小量Δx被假设为一个非零值，但在推导的最后阶段，它又被取为0。这引发了一个问题：Δx是否真的等于0？牛顿未能给出一个圆满的解释。同样，微积分学科的另一位奠基人莱布尼兹在这个问题上也没有给出清晰的阐述。"
此时，著名哲学家和神学家贝克莱抓住了微积分中的这一漏洞，并对其进行了尖锐的批判。他在出版的《分析学家》一书中指出，牛顿对无穷小量的处理显得不够严谨：在公式推导中，无穷小量有时被视为非零，有时又被视为零，这难道不是自相矛盾的吗？这一质疑后来被称为“贝克莱悖论”。
贝克莱的批判在当时的数学界引起了相当的混乱和危机。一方面，微积分在实际应用中解决了大量难题；另一方面，它也面临着逻辑上的矛盾。包括牛顿和莱布尼兹在内的许多数学家都试图完善理论以解决这些问题，但未能获得决定性的成功。这一时期被称为第二次数学危机，大约持续了150年。
解决
自古希腊以来，数学主要以常量数学为主，而微积分作为一门研究变量的学科，其诞生本身就是数学领域中的一场革命。微积分的核心概念包括导数，导数的本质是描述瞬时变化率，而瞬时变化率又可以理解为增量的极限形式。
到了19世纪初，法国著名数学家柯西对极限进行了更为严格的定义：“当一个变量连续取值并无限接近一个固定值，且与该固定值之差可以任意小的时候，我们称这个固定值为所有其他值的极限。”在这一定义的基础上，柯西进一步对无穷小、无穷大、连续性、导数等概念进行了精确的定义，从而解决了长期以来困扰数学家的无穷小量问题。
此后，德国数学家魏尔斯特拉斯对柯西的极限定义进行了进一步的优化。他指出，“一个变量无限趋于一个极限”的表述仍然带有直观上的运动概念。为了消除这种语言表达上的模糊性，魏尔斯特拉斯利用不等式给出了极限的严格定义，从而为微积分提供了更加坚实的数学基础。
这一定义也是目前各类微积分教科书中所普遍采用的。
极限理论的确立，将微积分从依赖运动直觉和几何概念的局限中解放出来，确立了其在严密分析基础上的学科地位。这使得微积分学科更加完善，并在物理学、数学、天文学等多个领域中发挥了重要作用，解决了众多复杂问题，从而推动了这些科学领域的持续发展。
文章作者
TD福利
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