于新华：我对“代数推理”的认识与等价意识⑴

教育 2024-09-14 22:18 陕西

正文内容：

一、简要回顾

往年“数学行者”大会的安排是，前3天以教材教法类为主，后2天是“于特专场”，以解题研究为主．考虑我的专场从2016年在无锡第1场算起，至少已经讲过6场，分别是无锡，南京，杭州，桐庐，嘉兴，上海，继续开展我的专场讲座，内容难免有所重复，听众也不免有厌倦感，因此今年的“数学行者”大会作出重大改进，第2场会议由我领衔，与浙江三位优秀的年轻专家分别讲半天专题研究．

事实证明，这样的安排是科学的．浙江三位年轻专家（郑瑞，郑栋栋，徐君斌），无论解题研究，还是教学讲解，水平都是一流，为“数学行者”大会赢得了非常好的口碑，也为与会者的学习效果作出重大贡献．

二、代数推理

在第2场的专题讲座中，我尝试讲解了“代数推理”专题．这个专题在初中相对来说较为冷门．由于2022课程标准的导向，才逐渐为大家重视起来．

我本是一名高中数学教师，在2010年时评上“江苏省高中数学特级教师”，本以为讲解这样的专题应当非常轻松，但当入手准备后，才发现要将这样的专题讲好，非常累人．

1.我的认识

无论当初的课标，还是我的个人理解，几何确实需要学，但不宜太难．在帮助学生学会逻辑推理，言必有据，发展图形感知能力，激发学生学习兴趣等方面，几何确实有着独特的功能．但在几何学习上，花过多时间，做很多难题，在我看来，这是没有必要的．毕竟义务教育阶段的数学教学，应当是大众数学，而非精英教育．一方面，进入高中后，在知识层面上，平面几何对学生的后续学习作用不大．另一方面，学生进入高中在学习了向量与复数工具后，以前许多几何难题，将有更加优雅简洁的解法．

而“代数推理”则不同了，显然从初中起，进入高中，乃至进入大学，利用函数，方程，不等式等解决问题的思想，几乎随时伴随着整个学习生涯．尤其对于不为许多人重视的“等价意识”不但对人思维的严密性提出更高要求，而且能够帮助我们更加深刻理解数学中变量与变量之间的制约关系．

2.地区差异

可以这样说，所有人对几何在中考试卷中的重要性，印象深刻．但对“代数推理”的认识，大多数地区的老师缺少相应的认识，这是由于各地中考试卷风格不同．除了北京，南京，浙江等地区，有重视考查“代数推理”问题外，多数地区的中考很少考查这类问题．

对于许多地区的中考数学试卷来说，无论几何内容占比，还是几何难度，之所以非常大，这往往与两个因素相关：

⑴几乎所有命题人都是几何学得好的人，他们对几何都怀有特殊的情感；

⑵通过几何增加试卷难度，这是一件比较容易的事情．但要通过代数内容，较为得体地增加试卷难度，这在初中阶段，对命题人提出非常高的要求．

3.衔接教学

就知识层面而言，在我看来，“初高中衔接”的说法应当是一个奇怪现象，果真这样的说法是科学的，那么这是对初高中数学课程标准的制定专家们来说，将是一个极大的嘲讽．

道理非常简单，初高中数学课程标准都已经重新制定，专家们怎么可能不作沟通，而让初高中的数学教学在知识上层面上存在脱节现象呢？

如果说在学习方法层面上，初高中数学学习存在差异，这是客观事实．进入高中后，许多知识较为抽象，晦涩难懂．不再像初中问题那么感性具体．作为高中数学教师，既要提醒学生有这样的思想准备，及时作出学法指导，同时也要求高中数学教师尽可能将课讲得通俗易懂．

总之，在初中阶段，加大“代数推理”的教学与考查，这既是科学的，也是合理的．

三、等价意识

早年我在读高中时，那个时候讲数学思想，主要指四大数学思想：数形结合，分类讨论，函数方程，等价转化．现在前三个仍然是热点说法，但第4个“等价转化”的思想说的人却少了．而我认为，“等价转化”的思想太重要了，能够培养人缜密地思考问题，避免失误．对此，数学教学不但应当给予高度重视，而且在初中数学教学中就应当开始渗透．

在中学阶段，“等价意识”主要有两种表现形式：‌等价变形‌与‌等价代换‌．

四、分式方程

本文先从“解分式方程”阐述“等价意识”的培养．

从大数学角度讲，解分式方程本应有两种方法：等价法与检验法．

所谓“等价法”，只要保证每一步变形等价，结果无需检验．

所谓“检验法”，先不管变形是否等价，在得出结果后，只要将解出的根代入原方程检验即可．

九十年代时，经常有如下一类问题：

已知方程2x²＋kx－2k＋1=0的两实根的平方和为29/4，求实数k的值．

“等价法”的解法过程是将Δ≥0“捆绑”考虑；“检验法”的解法是先“大大咧咧”地求出k的值，再代入原方程检验是否有实根．

比较之下，这里的“等价法”就不是好的解法，这是由于学生未必会解相应的不等式，而“检验法”则非常简单，只是将具体值代入检验即可．但如果将题目条件改变一下，并且结论要求k的取值范围，那么就只能采用“等价法”求解．

在教学过程中，这两种解法都应当讲，而不是“单打一”只讲其中一种解法．

类似问题有很多，如二次函数“区间最值”求参数的值，可以分类讨论解答，也可以“大大咧咧”地求出各种可能情况下参数的值，然后分别代入检验是否自洽就行．

当下的初中教学现状是，由于在初中阶段对“等价变形”几乎不作要求，而部分教师在专业素质上也较为欠缺，因此在教学过程中，教师只讲“检验法”，即简单地对“起点”与“终点”作一个检验，而很少带领学生从过程中分析为什么会出现“增根”．

正因为这样的现状，在数学学习过程中，出现两种现象：

1.凡是出现分母含有字母的方程（分式方程），即使明显没有增根，但解之后，都必须要有一个象征性地验根过程．

2.出现许多与“增根”相关的习题．

其实严格意义上，这些都是不科学的，道理非常简单，只要在解法过程中，保证变形等价，就不会出现增根．如此，又为什么需要验根呢？

如同平时数学教学，总是以简单的例子，阐述深奥的道理．这里以苏科版八下P116的例2两道题目为例，阐述“等价意识”的培养．

先看第1道例题：

方程变形为30(x＋1)=20x，这里变形等价吗？撇开题目内在要求不谈，从表面形式上讲，这里的变形不等价．这是由于：

在原先方程中，有x≠0与x≠－1的限制，但在变形后的方程30(x＋1)=20x中，却失去这样的限制了．因此在解后续方程中，假如出现x=0或x=－1这样的根（这是极有可能的），那么这些根肯定就是增根．都是变形惹的祸！

那么用“等价法”如何解答呢？

显然，这样解答不可能出现增根，自然最终也不需要验根．

有人认为这样的解答反而麻烦．其实不然，如前面所说，我这里借助简单的例子，阐述“等价变形”的数学思想．

通过这样的讲解，短期好处是：让学生明白产生增根的原因；长期好处是：培养学生等价变形的意识．

再看第2道例题：

除了“去分母＋检验”与前面讲解的“等价法”外，此题也可以如下解答：

显然，这样的变形是等价的．继续，整理左边，并向右边移项得：

显然，这样的变形仍然是等价的．继续：

因此原方程无解．

这样的解法不但正确，而且对“等价变形”的理解也将更加深刻．

我的观点是：考试虽有纲，思想却无界．意思是说，一方面，我们教师要了解考试要求；另一方面，对于重要的数学思想方法，我们在课堂教学中，尽可作适当阐述，而不应受考试要求的限制．考试有范围限制，但课堂教学是动态的，教师在不过于增加难度的情况下，尽可在数学思想上作拓展讲解．简要说，教与考还是有区别的．教>考．但现实情况是，多数教师循规蹈矩，照本宣科，没有带领学生体会“等价变形”的数学思想，这是令人遗憾的．

四、大会例题

在今年的“数学行者”大会中，我的“代数推理”讲座由于时间限制，许多例题没有来得及讲，因此我要借助公众号文章对这些例题作详细分析．虽然文字阐述没有即兴讲解生动方便，但可以弥补大会没有讲完的遗憾，同时，也可以让更多关注公众号的人学习与收获．

撇开“小题巧解”不谈，从大题角度讲，本题可以用“等价法”解答：

因此本题答案为D．

由于解分式方程，师生均非常熟悉，长期以来，大家都习惯于“检验法”，因此通过这样的例子来说明“等价意识”的重要性，可能并不令人信服，甚至有部分人不习惯．更何况文字表达困难，口头讲解容易．对于多数人来说，习惯于听有人讲解，而要通过阅读文字，体会数学思想方法，这是需要付出一定艰辛与努力．

设想将“等价意识”写成一个系列文章，通过对大会后续例题的讲解，我坚信，大家将会越来越来认识到“等价意识”的重要性，否则初中阶段的部分问题将令我们非常苦恼而困惑．

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5NjA2OTM2OA==&mid=2247973670&idx=8&sn=e20829fbc2a2725daabcbc477456b2e1

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