“代数推理”之等价意识⑶

在前面两篇公众号文章中，我们分别就“分式方程”与“等价代换”进行阐述，说明“等价意识”在数学学习中的重要性．

本文就一道题目的错误解法作详尽分析，阐述在数学解题中，应关注变量与变量之间的制约关系，直击数学本质，保持“等价意识“的重要性．同时，为了保证等价处理，介绍了一种“线性表示”的整体处理方式．

一、错误解法

题目如下：

已知0≤2x＋y≤3，－2≤x－y≤1，求4x＋5y的取值范围．

解：将条件不等式相加得，－2≤3x≤4，－2/3≤x≤4/3，

因此－8/3≤4x≤16/3．

将－2≤x－y≤1同乘以－2得，－2≤－2x＋2y≤4．

与0≤2x＋y≤3相加得，－2≤3y≤7，－2/3≤y≤7/3，

因此－10/3≤5y≤35/3．

将－8/3≤4x≤16/3与－10/3≤5y≤35/3相加得，－6≤4x＋5y≤17

因此4x＋5y的取值范围为[－6，17]．

对于上述解答，大家有何感想？如果说，这个解答是错误的，又该如何解释呢？

这就是我在“等价意识⑴”文章最后所说的让许多人“苦恼而困惑”的问题．许多人在得知这是一个错误解法时，绞尽脑汁思考，最后却因无法解释而不了了之．在我多年的教研生涯中，多次有初中数学教师向我请教，这样的解答为什么是错误的．或许我孤陋寡闻，印象中，我在杂志或网上的文章中，也没有看到有人对这样错误解法进行研究与分析．

有人用高中的“线性规划”与“可行域”来解释，这当然可以．但初中的题目就要想方设法用初中的方法来解答．我们甚至可以作一个可怕的设想：假如历史上没有产生笛卡尔“平面直角坐标系”的伟大想法，那么这道题目就没有办法解答了？显然不是！

二、分析要点

1.在前面解答中，除了最后一行结论外，前面的推理过程全部正确．

2.最后结论是错误的！推理过程正确，不代表结果就正确．

3.长期以来，“取值范围”是数学中一个不加定义的术语，但从字面理解，不难知道：

⑴范围中所有数都是目标式能够取得到的；

⑵反之，目标式能够取到的所有值，都在这个范围中．

只有满足了这两点，这个范围才能称得上“取值范围”．

如果一道题目只是求“范围”，而不是求“取值范围”，那么这道题目的叙述是不科学的．就实数而言，最大的范围是R，即实数集．

4.简要说，前面结果求出的是“范围”，而不是“取值范围”．就是说，这个范围比正确结果来得大．

5.为什么前面求出的是“范围”，而不是“取值范围”呢？

对于许多人来说，因为不知道哪一种解法对，因此他们更执着地关注这样的解法为什么错．

这是由于x与y之间存在制约关系，在分别求出x与y的取值范围后，不能将x与y当作相互独立来解答．以下我们举例说明．

在求出－2/3≤x≤4/3后，比如说，

当x=0时，代入原条件两个不等式得：0≤y≤3，－1≤y≤2，

因此0≤y≤2．此时y的取值范围并非－2/3≤y≤7/3．

当x=1时，代入原条件两个不等式得：－2≤y≤1，0≤y≤3，

因此0≤y≤1．此时y的取值范围也不是－2/3≤y≤7/3．

就是说，在原条件两个不等式限制下，不同的x对应不同的y取值范围，如此怎么能将x的取值范围与y的取值范围当作相互独立来解答呢？因此这样的解答，注定是错误的．

都是缺少“等价意识”惹的祸！

所以我在前面“等价意识⑴”文章中讲，“等价意识”太重要了，这需要我们学会缜密地思考问题，避免失误．尤其要求我们更加深刻理解数学中变量与变量之间的制约关系．

三、错解类比

 如果有人对前面解释仍然难以理解的话，我们可以拿“等价意识⑵”文章中的题目为例，类比前面的错误解法，得到明显的错误结果．

在“等价意识⑵”文章中，有如下例题（稍作改动，将“求取值范围”改为“求最大值”）：

已知实数x，y满足3x²＋2y²=6x，求x²＋y²的最大值．

解：将3x²＋2y²=6x变形为3(x－1)²＋2y²=3，则

由3(x－1)²=3－2y²≥0得，y²≤3/2．

由2y²=6x－3x²≥0得，0≤x≤2，0≤x²≤4．

从而x²＋y²≤4＋3/2=11/2．

因此x²＋y²的最大值为11/2．

对这样的解答，大家有何感想呢？

在“等价意识⑵”文章中，x²＋y²最大值的正确结果应是4.因此上述解答必定错误！那么错误原因是什么呢？

原因在于，x与y存在相互制约关系，并非相互独立，因此上述解答错误．

其实，这两道题目在解法上的关键之处，本质相同．当两个变量彼此存在相互制约关系时，不能割裂两个变量，分别求出它们的取值范围，再组合求出目标式的取值范围．

当然，这两道题目存在一定区别，一个是相等关系，一个是不等关系．比较之下，相等关系比较容易理解，而不等关系有点难以理解．

四、正确解法

那么如何正确解答呢？如何保证“过程等价”呢？线性表示，整体处理！

您能够理解下面的等价关系吗？

x与y的值存在2x＋y与x－y的值存在．

“”这个符号可以理解成“等同于”，更加书面一些，可以说成“等价”．

由前到后，显然正确．由后到前，相当于解一个二元一次方程组，也显然正确．因此这个等价关系显然正确．

因此，可以想象，4x＋5y一定可以用2x＋y与x－y线性表示出来．

这是由于，当已知2x＋y与x－y值的时候，一定可以求出x与y的值，进而也就可以表示出目标式4x＋5y的值．

如何具体解答呢？

一方面，可以按照上述想法去解答：设2x＋y=a，x－y=b，解方程组，将x，y分别a与b表示出来，再进一步将4x＋5y用a与b表示出来．这样的解法，我将其命名为“反求法”，在后续“等价意识⑷”文章中，将对这样的解法作进一步详细阐述．

另一方面，在理解上述分析的基础上，我们可以作更加高级处理：待定系数法．

设4x＋5y=m(2x＋y)＋n(x－y)，其中m，n是常数．

不难解得，m=3，n=－2．

因此4x＋5y=3(2x＋y)－2(x－y)

在此基础上，不难得到－2≤4x＋5y≤13．

这就是正确的解法！

由前面解法我们可以体会到，通过“线性表示”这样的整体处理方式，可以将x与y之间的制约关系“原汁原味”地保留下来，因此这样的变形处理是“等价”的，由此解出的结果自然也就正确了．

与正确结果[－2，13]相比，前面的错误结果[－6，17]在范围上明显扩大了．

就题论题说，所谓“线性表示”，就是三个相互独立的二元一次式（思考：什么叫“相互独立”？），一定可以用其中的两个，适当辅助常数系数，用和差的形式表示出第三个．

“线性表示”的背景，在本质上就是“方程思想”的体现．

五、线性表示

在“等价意识⑵”中，我们讨论了下面题目的解法：

（2024安徽）已知实数a，b满足a－b＋1=0，0<a＋b＋1<1，则下列判断正确的是（    ）

有那篇文章中，我们讲解了“消元”的解法．

如果偏要“杀鸡用牛刀”，显示你的解法“与众不同”，那么用高端的“线性表示”方法解答此题也未尝不可．

由条件可知，a－b=－1，－1<a＋b<0．

我们用a－b与a＋b将4个选择支中的目标式分别表示，再求出它们各自的取值范围：

因此答案为C．

如果说用“线性表示”解这道小题显得过于勉强的话，那么在解决下面这道“2020浙江自主招生”题，可能就派上关键用场了．

A.5a＋3b<1      B.4a＋3b<2       C.2a＋b<0       D.a＋2b<0

考虑自变量分别取1与2的时候，分别有0<a＋b<1，4a＋2b<02a＋b<0．

总之，当变量之间存在相互制约关系时，如果是相等关系，那么可以采用“消元”的方法解答；如果是不等关系，那么可以用“线性表示”的方法处理，只有这样，才能保证“等价变形”，如此，才能求出正确的结果．

关于“等价意识”的系列文章，后续将再写两篇，敬请大家关注，同时欢迎批评指正．