在前面四篇公众号文章中，我们分别就“分式方程”，“等价代换”，“线性表示”，“反求索因”作一一阐述，说明“等价意识”在数学学习中的重要性，同时，介绍了如何保证等价处理的一些策略．
本文以研究“2024年南京中考第25题”解法为例，阐述在解题过程中，保持“等价意识”的重要性．(2024南京)已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象过点(1，2)，顶点(m，n)在函数y= x2的图象上．⑶已知三点(－2，y1)，(－1，y2)，(2，y3)在二次函数y=ax2＋bx＋c的图象上，且y2< y1<y3，直接写出m的取值范围．n=m2．二次函数解析式为y=a(x－m)2＋n=a(x－m)2＋m2，显然m≠1，因此![]()
．
⑴由n=m2可知，当m=0时，n取得最小值0，代入![]()
得，a=2．
⑵![]()
．由![]()
可知，所有系数都只含有一个变量m．而![]()
因此，基于大数学下“模型”与“算法”的观念，那么这里的问题已经解决，只要解一个关于m的不等式组即可．这是基于宏观层面的“定性分析”，但在具体操作时，由于二次项系数形式复杂，因此无论对于初中师生，还是对于高中师生，后续的运算过程，让人心中恐惧．那么有无简化的策略呢？有！策略1：由于题目要求“直接写出m的取值范围”，因此可以考虑依据“图象性质”解答．策略2：分解困难，逐层突破．不必急于将m代入，可以先化简得到a，b，c的不等关系．进一步深入思考，可以想象，对于二次函数值比较大小，其实与c无关．因此化简后，最终必定只是a与b的不等关系．这也是今年我在苏州举行的第五届“数学行者”大会上作讲座时介绍的一个性质．如图，在二次函数图象上有两个点，显然，这两个点对应函数值的大小，与这两个点到对称轴的距离大小相关．我们将到对称轴距离远的点简称为“远点”，到对称轴距离近的点简称为“近点”．将这两个点在x轴上的投影所连接线段的中点简称为“中点”．连同图象顶点，共4个点．![]()
这4个点在x轴上的投影显然存在如下性质：“远点”与“中点”永远相邻．
显然，无论图象开口向上，还是开口向下；无论“远点”与“近点”在对称轴的同侧，还是异侧，这个性质始终正确．在“中远相邻”性质下，我们先介绍第1种解法：图象解法．法1：顶点横坐标为m，与y1，y2对应的中点横坐标为![]()
，与y1，y3对应的中点横坐标为0．
考虑开口方向，虽然![]()
形式看似恐怖，但对其正负影响只与2－m2的正负相关．因此分类讨论如下：
当a>0时，则－![]()
<m<![]()
．注意：这两种情况是“且”的关系，就是说，m必须同时满足．综合得，－![]()
<m<0．当a<0时，则m<－![]()
或m>![]()
．同样，这两种情况是“且”的关系，就是说，m必须同时满足．综上可知，m的取值范围为－![]()
<m<0．利用二次函数图象比较大小，“中远相邻”是一个有趣的不变性．这个性质在解决北京，南京，浙江等地区的“代数推理”中考题时，经常会产生神奇的效果．在数学学习中，我们要有善于发现“变中不变”的能力．前面介绍的是“图象解法”，以下我们介绍“代数解法”．先介绍“直接代入”法．法2：f(－1)=a－b＋c，f(－2)=4a－2b＋c，f(2)=4a＋2b＋c![]()
至此，如果将![]()
代入，强行解不等组，也未尝不可．但这样的过程，即使对于一名高中数学教师来说，也要求极高，有点让人恐怖，更不用说对于一名初中学生了．
如果你善于观察，并且比较机智，那么发现由3a>b>0，可以立即得到a>0，在此基础上，解答过程将大大简化．在a>0的前提下，由于b=－2ma，且b>0，因此m<0．而由![]()
>0得，2－m2>0，因此－![]()
<m<![]()
．
从而得到m的取值范围为－![]()
<m<0．前面解答过程，似乎有点绕人，过程是否等价，让人忐忑不安．我们必须思索：解答过程等价吗？如果不等价，那么求出来的可能是“范围”，而不是“取值范围”．有意思的是，由法1知道，本题的正确答案确实是“m的取值范围为－![]()
<m<0”，正因为如此，有人在知道正确答案后，坚信前面的解答是正确的，但实际上，上述解答存在严重问题！由前面解答过程，在得出a>0后，再结合b>0，求出m的取值范围为－![]()
<m<0．![]()
这个过程等价吗？不等价！由前可以推出后，但由后却无法推出前！因此前面解答有错误，结果正确只是巧合而已．![]()
因此正确的解答应当在前面的基础上，还需要考虑3a>b．由于b=－2ma，于是3a>b![]()
3a>－2ma，而a>0，因此m>![]()
．综合之下，m的取值范围是－![]()
<m<0．就是说，虽然m>![]()
对前面的结果没有影响，但从正确解答的角度讲，必须要考虑！不考虑，解答就有错误！通过这样的分析，让我们知道，在解题过程中，保持“等价意识”是非常重要的．否则，稍有不慎，解答便会产生错误．对于二次函数值比较大小的问题，“作差比较”法也是一个非常值得学习的方法．对于函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)，有如下结论：f(x1)－f(x2)=(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]![]()
![]()
前面介绍的“中远相邻”性质，一方面，通过观察图象，我们能够直观感知这个性质的正确性；另一方面，假如要依据严格的“代数推理”说明，那么可以由前面这个公式作出解释．有兴趣的老师，可以不妨试试．之所以说这个结论比较经典，一个重要原因是这个结论能够与我们前面在多篇公众号文章中阐述的“纵横比”，“方向性质”建立关联．![]()
这个等式的左边在高中的理解是“斜率”，在初中，其几何意义与“纵横比”相关．这个结论在解决武汉，福建，成都等地区的二次函数综合题时，作用巨大．在我前面写的公众号文章中，有多篇文章内容与此相关．数学学习，贵在左右逢源，触类旁通，能够将不同知识建立关联．![]()
作差比较大小，非常通俗易懂，可惜初中不讲，这是一件让人遗憾的事情．以下是2024年无锡中考数学压轴题的前2问(共3问)：(2024无锡)已知二次函数y=ax2＋x＋c的图象经过点![]()
和点B(2，1)．
(2)若点C(m＋1，y1)，D(m＋2，y2)都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由．对于第2问，我估计学生解答非常不爽，但依据“作差比较”法解答，不但思路清晰，而且书写过程也非常简洁．在前面的解法过程中，如果没有提前获知a>0这样的信息，那么解答过程将极为繁琐，让人心生恐惧．但正是由于提前得到a>0这样的信息，使得解法过程大大简化．在数学解题过程中，这样的现象并不少见，这里再略举两例．(2016舟山)已知二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n，且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为 ( )![]()
解：图象顶点为(1，5)，
图象与x轴的两个交点为(1－![]()
，0)，(1＋![]()
，0)．
由m≤x≤n，且mn<0得，m<0，n>0．
同时，最小值2m<0，最大值2n>0．
由于图象开口向下，因此最大值可能有三种情况，最小值可能有两种情况．
比较之下，先考虑最小值2m，两种情况分别为：
⑴在x=m处取得最小值；⑵在x=n处取得最小值．
由2n≤5得，![]()
，显然第⑵种情况不可能，否则此时的最小值2m为正，这与最小值2m<0矛盾．因此最小值必定在x=m处取得，从而f(m)=2m，解得m=－2（m=2舍去）．![]()
⑴在x=1即顶点处取得最大值；⑵在x=n处取得最大值．若在x=n处取得最大值，由于点(n，2n)在直线y=2x上，此时m≤1≤n，最大值应在顶点(1，5)处取得，矛盾．因此最大值只能在x=1即顶点处取得，则2n=5，n=![]()
，因此m＋n=![]()
．答案为D．让人感兴趣的是，这里先从2n≤5提前获得n≤![]()
这样的信息，从而简化了分类讨论的情况．这给我们带来的启示是，对于二次函数“区间最值”类问题，我们可以优先考虑二次函数在区间上的最值与在实数范围上的最值之间大小关系，从而提前获得一些信息，而这些信息可能会给我们后续解答带来便利．有不少高中数学教师也经常阅读我的文章，因此这里再举一道高中题目：(2008江苏14)设函数f(x)=ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ．这是2008年江苏省高考数学试卷的填空压轴题．此题有一定难度，常规解法需要分类讨论，但如果及时考虑“区间端点”信息(必要条件)，那么解法将大大简化．简解：由f(－1)=－a＋4≥0，f(1)=a－2≥0得，2≤a≤4．![]()
或许这样的解答，才更加切合命题人当初命制此小题时的想法．![]()
是不是“分式”并不重要，重要的是在化简![]()
=x时，不要忘记及时加上x≠0．这就是“等价意识”的体现．在单墫老师的“单谈数学”公众号上，在一篇标题为“中考题基础重要”文章中，有如下内容：若|m|=m＋6，m=？![]()
若|m|=|m＋6|，m=？![]()
若|m|＋2=|m＋6|，m=？![]()
基础重要
网上见到一道某省的中考题：
已知|m|=m＋6，则m=______．
令人惊讶的是，这题做对的仅有10％．
我60年前教过初中，我估计那时做不对的人不超过10％．现在的质量怎么会如此之差呢？
我的理解，就题论题讲，这里体现了“等价意识”的重要性．从更大层面上讲，当下的“代数推理”教学实在是太单薄了，应当有待加强．提供一道简单小题供大家思考，欢迎将答案写在“留言”中．![]()
在今年苏州举行的第五届“数学大会”上，我作“代数推理”讲座时，提到了作为初中数学的“代数推理”教学，应当处理好两对矛盾：“初中特法”与“高中通法”；“图象解法”与“代数解法”．在当下各种教师培训活动中，讲教育理论的人不少，新名词层出不穷，但讲数学解题的人却很少，这让人感慨．作为一名数学教师，教育理论肯定需要学，但如果学科功底不扎实，那么学习再多的教育理论，又有何用？俗话说，功夫（教法）再高，也怕菜刀（解题）．解题能力是硬实力．解题能力欠缺，研究教材教法，总给人有一种浮于表面的感觉．只有经常深入解题研究，对数学思想方法才有真切火热的理解．我从事多年初高中数学教研员工作，现实生活中，许多教师在起始年级时，教学质量还算可以，但进入毕业班教学后，教学质量就掉在别人后面了，尤其在优秀学生的培养上，与他人差距日益明显．这样的现象在高中数学教学中更加明显．与提升专业功底相比，许多教育理论在人的内心深处都或多或少有一些自发的认识，就是说，即使没有人讲解这些教育理论，一个人在教学实践过程中，也会逐渐自发地领悟到，随着时间的推移，这个人对教育的理解，也将逐渐走向成熟．但提升专业功底，必须广泛阅读，刻苦学习，深入研究，需要坚持不懈努力，没有一定的积累，要想达到一定教学境界，这是一件非常艰难的事情．每年的“数学行者”教研活动，注重理论与技术并举，既讲教育理论，又讲解题教学，因此深受全国各地教师欢迎．今后我们将继续保持这样的特色，办出高质量的教研活动，不辜负全国广大教师对我们信任．“等价意识”系列文章，暂且告一段落．当初我也没有想到能够坚持写出5篇文章，毕竟在写作上，我是一个比较懒惰的人．欢迎大家批评指正．由于不断有人希望我将“2024年成都B卷第23题”抽空讲一下，因此后续打算再写一篇围绕此题解法研讨的“代数推理”文章．
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