在前面三篇公众号文章中，我们就“分式方程”，“等价代换”，“线性表示”分别阐述，说明“等价意识”在数学学习中的重要性，同时，介绍了保证等价处理的一些策略．
本文通过3道例题的解法研究，阐述在数学解题过程中，可以采用“反求索因”的方法，将问题进行“等价转化”，从而解决问题．1. 已知三个数a，b，c，且满足3a＋2b＋c=5，2a＋b－3c=1，且a≥0，b≥0，c≥0，则3a＋b－7c的最小值是（ ）![]()
这是今年暑期有人向我请教的问题．他在微信上将题目及解法发给我，问下面的解法为什么错误．![]()
如同在“等价意识⑶”文章中的解释，这个解法除了最后一行外，前面的推理过程全部正确，但最后一行的结论是错误的．解法中倒数第2行求出来的是“范围”，而不是“取值范围”．事实上，在题目的4个选择支中，也没有上述解法求出来的最小值（命题有欠高明）．对于认真学习了“等价意识⑶”文章的人来说，那么对这个错误解法的解释还是比较容易的．由于a，b，c构成等量关系，彼此相互制约，并非相互独立．事实上，当某一个变量如a确定时，则b与c也相应确定，因此用求出a，b，c各自的取值范围，再组合求出目标式的取值范围，这样的解法肯定是错误的．错误原因与“等价意识⑶”中的错误解法本质相同．那么如何正确解法呢？作为数学人，在解题前要善于“定性分析”．题目中有三个变量，两个等量关系，说明基本量只有一个．当将其中一个变量作为基本量时，一定可以通过解方程组，将另两个变量用基本量表示出来．![]()
善于“定性分析”，思考将有前瞻性．在解题时，可以做到目标明确，思路清晰．遗憾的是，在中学数学解题教学中，许多教师并不注意这一点．回归原题，逆反思考：3a＋b－7c为什么会有最小值？换一种说法，3a＋b－7c为什么会有取值范围限制？假如没有取值范围限制，将会如何？比如说，3a＋b－7c是否可以等于1？是否可以先是－3？是否可以等于![]()
，…，等等．当你这样深入思考后，你将逐渐发现，当3a＋b－7c的值确定时，意味着a，b，c也就确定．无论从宏观上三个等量关系，三个变量的“定性分析”，还是从直接解三元一次方程组的“技术操作”上去思考，上述说法都是显然正确的．继续追问：3a＋b－7c为什么会有取值范围限制呢？此时你或许突然悟出，这是由于a，b，c有限制！假如3a＋b－7c取值没有限制的话，那么解出来的a，b，c未必能够满足题目中a≥0，b≥0，c≥0的要求．如果3a＋b－7c的取值能够满足这些要求，那么这个取值也就满足题意．反之，如果不能满足这些要求，说明这个取值就不可以．这样“反求索因”的思考方法，应当比较容易理解．但令人奇怪的是，在我多年的听课过程中，发现很少有教师这样分析．我将这样的思考方法称为“反求索因”法，或简称为“反求法”．![]()
出于触类旁通，追求通性理解，解方程组的结果也可以看成是“等价意识⑶”文章中介绍的“线性表示”的特殊情况．通过前面三种解法，我们可以看出，法1只是浮于表面求出所谓的“取值范围”，其过程是不等价的，因此法1是错误解法．而法2与法3深谙变量之间相互制约的底层逻辑，在“方程思想”指引下，进行“等价转化”，从而有效解决问题，因此法2与法3都是正确解法．2.已知实数x，y满足3x2＋2y2=6x，求x＋y的取值范围．在“等价意识⑶”的文章中，我们曾解决了在相同条件下，运用“等价代换”，求出x2＋y2的取值范围．但这里求x＋y的取值范围，无法从条件变形，再代入消元解决．撇开“三角巧设”与“数形结合”的高中解法，这里仍然重在讲解初中解法．“反求索因”思索：x＋y为什么会有取值范围限制呢？假如没有取值范围限制，又将如何？如此，你就会发现，问题被“等价转化”为方程组是否有解的问题．代入3x2＋2y2=6x得，3x2＋2(m－x)2=6xΔ=－24(m2－2m－3/2)=－24[(m－1)2－5/2]≥0![]()
3.已知x，y为实数，且满足x2－xy＋y2=2，记W= x2＋xy＋y2的最大值为M，最小值为m，则M＋m=_______．这是今年暑期有人在微信群里求助的一道题．这道题目勾起我的中学回忆．在我中学读书时，那个时代的课外阅读资源远没有现在这么丰富，当时我们最喜欢订的一本杂志就是《中学生数理化》(应该就是现在郑州发行的同名杂志的前身)，大小只有一本32K书的样子．在某一期的杂志上有一个有奖解题活动，印象中，题目内涵与这道题目类似，但形式上好像要简单一些．可惜具体题目我忘了，只能用这道题目替代．对于自小就非常喜欢数学的我来说，当然积极参与这样的“有奖征解”活动，在研究得到解法后，将解法写信寄出去，不久竟收到奖品，奖品是一本带有“中学生数理化”烫金字样的小笔记本．当时的我非常开心，很有成就感．这道题目非常能够体现通过“反求索因”将问题进行“等价转化”的思想方法．反求索因：x2＋xy＋y2为什么会有范围限制呢？这是由于，当x2＋xy＋y2取某一个值时，两个未知数(x与y)，两个等量关系，要使对应的方程组有解，x2＋xy＋y2的取值必定有范围限制．![]()
至此，可能出现两种解法：一种解法是利用不等式解答．在科学性上，利用不等式求最值是可以的，但求取值范围存在争议；另一种将前面“有解”的想法贯彻到底，通过消元化成一元二次方程，再利用Δ≥0，求出k的取值范围，从而求出了x2＋xy＋y2的取值范围．这两种解法都是正确的，但对于初中生来说，如何让解题思路更加清晰，解法过程更加简洁呢？且看如下利用“等价关系”的巧妙处理：x与y的值存在![]()
x＋y与x－y的值存在![]()
(x＋y)2与(x－y)2的值存在且非负在前面文章中，我们曾经对“![]()
”符号作出解释，通俗地说“等同于”，更书面语一些，则可以理解成“等价”．![]()
如果没有前面“等价关系”的阐述，那么这里的底层逻辑就不是很清晰，似乎只能浮于表面理解．但在前面“等价关系”的理解下，这种解法的正确性就显得非常通俗易懂．总之，通过“反求索因”，将问题“等价转化”，这是数学解题中一个重要思考方法．
