偶极矩及其排列构型——第52届国际物理奥林匹克竞赛理论试题1介绍

2022 年 7 月 10—17 日，南开大学物理科学学院率领中国代表队参加了由瑞士主办的第 52 届国际物理奥林匹克竞赛（International Physics Olympiad，IPhO）。比赛采取线上方式举行。理论部分有三道题，第一题的题目为“Permanent magnets”，译为“永磁体”，核心考点为偶极子间及偶极子与其他磁体的相互作用。本文将主要就理论试题的命题思路，并结合物理背景知识分析学生的答题情况和题目与科研间的联系。

偶极子模型在电磁学、凝聚态物理等物理分支中具有非常重要的意义和研究价值，在经典电磁学中，偶极矩为 m_i 和 m_j的两个磁偶极矩，r 为 m_i 相对于 m_j 的位移矢量，相互作用能满足如下方程

求导可得

其中，为r的方向矢量，r 为 r 的模长，μ₀ 为真空磁导率。式（1）和式（2）不仅适用于磁偶极子，也适用于电偶极子，为题目中能量和力计算的原始公式和主要考查点。

1 试题

强永磁体由钕铁硼（NdFeB）合金制成，具有非常宽的磁滞回线。在这种情况下，可以假定在较大的应用范围内磁化强度J为一个常数，设 J≡1.5T/_μ0，其中 μ₀=4π×10^-7N/A²。对于此题中的所有永磁体，磁化强度J是均匀且相同的。物质的磁化强度 J 定义为单位体积的磁偶极矩。

提示 1.下述等式在解题中会用到

提示 2. 球形磁体的磁场可以等效为一个点磁偶极子产生的磁场。对于其他形状磁体的磁场，只有当距离远大于其直径时才可以等效为点偶极子的磁场。

提示 3.点电（磁）偶极子的电（磁）场是偶极矩和坐标的函数，点电（磁）极子的电场和磁场的函数形式相似，可以通过乘以常数因子的方式相互转化。

提示 4. 由边界条件引起的感生场总可以用给定边界外的一些场源来确定。

A.磁体间的相互作用（4.5 分）

距磁体的距离远大于磁体大小时，它产生的磁感应强度可以近似用其偶极矩 m 来表征

这里 r=| r |径向矢量r从偶极子指向考查点，磁偶极矩 m 被分解为平行于 r 和垂直于 r 的分量，m=m_‖+m_⊥。

A1.两个相同的圆柱磁体，直径 d=20mm，厚度h=2mm，同轴放置，磁化方向平行于轴，如果两个磁体中心相距 L=20cm，求磁体的磁相互作用力的大小，可以认为L≫d,h。

A2.当距离远大于，任务 A1 中的磁体产生的磁场可等效为直径为d的环形电流I所形成的磁场，请简要解释为什么，并求I。

A3.如果A.1中的L=5mm，求磁体间的相互作用力，可以认为 d≫L≫h。

A4.直径δ=5mm 的相同球形钕铁硼磁体，通过磁力结合在一起形成一条磁链。将最上面的磁体固定，剩余磁体依次被吸在上面磁体的下方。求磁链不因自身重量而断开的最大长度l。已知钕铁硼磁体(NdFeB)的密度ρ=7500kg/m³。

A5.考虑A.4部分的磁链，求出距离磁链的一个端点 O 为 r 的 P 点的磁感应强度B的表达式，已知磁链和 OP 间的角度为θ(见图 2)。假设 l≫r和rsinθ≫δ

B.与铁磁体的相互作用(3.5分)

现在我们假设除永磁体外，还有一些由铁磁材料制成的平板。在我们考察范围内，可以认为平板有一个恒定且很大的相对磁导率μ_r~10⁵。

提示 5.大磁导率说明此材料表面附近的磁场线几乎垂直于该表面，这一点类似于导体表面附近的电场线行为。

B1.将一个如 A4 部分描述的球形磁体放置在一块无限大的厚铁磁平板外。球形磁体表面与铁磁平板相距 s=δ，磁体的磁化方向垂直于平板。在给出的截面上画出磁场线。在该图中，用“X”标记了三个点 (分别表示为 1、2 和 3);你需要绘制通过每个点的全部长度的完整磁场线，要在图中绘制尽可能多且全面的磁场线。

B2.将上述的球形磁体放置在与平板直接接触的位置。在稳定平衡状态下，给出球形磁铁的磁化矢量方向，并求出平板和球形磁体间的法向力的值。在答题卡对应的方框内用 “对号”勾出那些正确的方向。勾选错误会扣分。

B3.将 A1 中描述的一个圆柱磁体（直径为 d）放置在两个圆形厚铁磁板（直径 D=2d）之间。在磁力作用下，圆柱磁体被压在铁磁板间并与两个铁磁板接触，三者共轴。求作用在每个铁磁板上的磁力 F。提示: 可以忽略铁磁板外和铁磁板间隙外的磁场。

C.铁磁和反铁磁序（2分）

材料的磁性由电子和原子核的磁偶极矩决定。如果偶极矩的方向彼此平行，它们产生的磁场就会被放大，具有这种性质的材料称为铁磁材料。反之，如果每一个偶极矩附近都有另一个反平行的磁偶极矩，那么磁场就会抵消，具有这种性质的材料称为反铁磁材料。

接下来，我们考虑由大量的 A4 中的球形磁体组成的二维晶格。晶格的稳定平衡构型如下述真实照片所示。假设所有的磁化矢量都在图示平面内。计算中，只需要考虑最近邻的磁体相互作用 (如图 5 中，每个磁体周围有四个最靠近的磁体，在图 6 中有六个最靠近的磁体)。

C1.求下图排列的每个磁体的磁化方向。你并不需要证明给出的磁排列构型是唯一的可能。但你仍需要评估你给出的构型是稳定的。假设其他磁体保持静止，求出将一个磁体从晶格中取出所需的能量。该晶格磁构型是铁磁序还是反铁磁序？

C2.在下图的晶格情况下回答与 C1 中相同的问题。

2 简要解答和考点评述

题目聚焦于偶极子相互作用体系，属于力学和电磁学的交叉题目。偶极子相互作用实际上是宏观磁相互作用的主要形式，也是研究宏观磁现象的主要难点。其中提示 2 给出的“球形磁体的磁场可以等效为一个点磁偶极子产生的磁场”为电磁学中的重要结论。

A1主要利用题目叙述的第一段，代入“物质的磁化强度J定义为单位体积的磁偶极矩”，，V 为体积。之后利用题目A的相关论述得到磁场，因此磁偶极子做功，求导得到F=。此外也可以利用积分方法，但解法相对比较复杂，不在此赘述。

A2 环形电流产生的磁偶极矩为 m=IS，S=πd²/4 为环形电流围成的面积，因此 I=Jh≈2.4kA。此题也可以通过毕奥萨伐尔定律求解。

A3因为d≫L，所以可以将体系视为两条平行导线，其产生的磁场为，受力为F=

A4为了方便求解，将磁子编号，最上面的磁子为1号，最下面的磁子为N号。现在1号上方再添加一个磁子0号，n号磁子距离0号磁子的距离为nδ，根据A1中的计算，n号磁子给0号的磁

题目 A1~A5 是相对简单的题目，是披着磁学外衣的力学题目。在基本磁学公式如 W=－B·m 基础上，主要考查矢量基本运算，尤其是矢量叠加和点乘运算。A4，A5涉及少量级数知识，不过题目以提示的形式给出了相关结论。A5的解法很多，属于开放性试题。

题目 B 的难度相对于A部分有很大的提升。B1 的答案如图7 所示。出题人的角度来说，1~3 点对应的是三种不同的磁场情况。磁体的考查非常细致，尤其是其中关于磁感线闭合的考查，很容易遗漏。但其描述并不明确，甚至可能造成一些误解。想要完全完成此题，需要从出题人的角度出发去揣摩出题人的意图，同时又要全面考虑磁场在空间中的完整分布，考试现场具有相当的难度。另外提示 5 中存在一定误解（电场线是不能穿过导体的），需要事先对磁场物理学有一定了解。

B2 题目考查核心为电像法，基于“材料表面附近的磁场线几乎垂直于该表面”，可以将软磁体和偶极矩间的磁场等效为两个偶极矩的磁场，因此，属于电磁学和电动力学中的常用技巧。

B3题目真实物理模型如图 9 所示。根据高斯定理，闭合曲面上的磁场积分为 0。选取如图 9 长虚线所示圆柱形曲面，因侧面和上底面均位于“铁磁板外和铁磁板间隙外”，因此只有下底面的

B3 的题目描述文字存在一定问题，其给定的描述“可以忽略铁磁板外和铁磁板间隙外的磁场”并不能严格明确说明题目想要表述的物理场景，尤其很难从描述上直观得到到底哪部分磁场可以忽略，哪部分磁场需要考虑。应该补充一个图像加以明确说明，以避免学生不必要的理解性问题。因为题目描述的模糊性，此题的真正难点却成了建立满足题目要求的物理模型。另外本题目的假设实际上偏离真实物理状态，也加深了对物理模型理解的困难。

除去题目描述的问题，本题主要考查了高斯定律，安培环路定律和磁场能公式等电磁学核心知识点，对静磁场的物理图像考察非常全面系统，考点繁多全面，环环相扣，难度较大。

C1 和 C2 题目是本题的难点。难度相对于A，B两小题有显著提升。此外需要说明的是，核心问题“评估构型是稳定的”这个要求要严格来说，存在一定超纲，几乎不可能仅使用计算器等手段在一两个小时的时间内完成，需要借助计算机模拟等相关手段和一些材料力学基础（如剪切等概念）来进行处理。本文将先简要介绍物理奥赛框架内的解题方法，而后简要说明真正的晶格动力学分析并给出完整答案（因篇幅关系，此处不做严格证明），在之后对题目、命题思路和其与科研的联系进行讨论。

基于 A4，A5 的计算，我们先考虑一个链模型（实际上大部分参赛选手给出的答案都是基于链模型的），对于链模型，其稳定构型只有所有磁子的磁矩方向相同且平行于链的方向。因此如果假设 C1 和 C2 的构型均由这样的稳定链构型组成，那么只需要考虑链间的作用稳定性即可（假设 1）。

对于 C1 中的四方构型，依题目要求只需要考虑最近邻的四个磁子作用，而依照假设 1，稳定性要求有两个：①链间受力表现为汇聚；②链间不能相对滑动。如图 10 所示，由于结构具有旋转对称性和晶面对称性，x方向和y方向等效，所以不妨令磁矩方向平行于x方向。那么对于一个磁子

上述解答仅仅提供了一种稳定的情况，而且稳定性分析是不完备的。实际情况排列显然不必基于一条稳定的链。如下文所示，考虑所有的排布构型情况，C1 和 C2 均具有无限个稳定构型。但受限于考试时间和考试时只能使用有限的工具（数值计算器），题目只要求提供一种稳定构型。出题人的本意是想要降低题目的复杂度，但这在实际上却成了阅卷环节的麻烦（详见下文“各国学生的得分情况分析和评分时的争议”）。

上述做法依照组委会给出的评分标准已可得到满分。但严格来说存在极大漏洞。主要漏洞存在于稳定性的分析，真正的稳定性要求需要满足两点：(1）晶格稳定性，其不仅包括上面主要论证的拉伸稳定性，也应包含剪切的稳定性。实际上在任意磁矩方向的情况下截切稳定性是一个更强的约束，更加重要。(2）磁矩取向稳定性，即磁矩保持稳定不旋转。在这样的条件下，C1（四方结构），C2（三方结构）的稳定构型均为一组能量相同，磁矩按特定规则旋转的构型，如图12所示。在此构型下，除了满足特定规则的磁矩排布能量相同外，其他磁构型变化，均会造成能量升高。

此题的完整做法为引入计算机模拟，建立能量E和晶格参数a，b、晶格夹角α，以及每个原子磁矩方向（β₁,β₂，…，β_n）的函数，即高维势能面。通过数值或解析方法求得E相对于各个变量的一阶导数和二阶导数，从而得到完整的稳定性分析，但很显然这是在竞赛有限时间和有限工具条件下无法完成的。

在磁子为刚体的近似下，C1 四方晶系的稳定基态为如图12 所示的涡旋反铁磁态，其中α从[-π，π]任意取值，能量均为，C2 三方晶系的稳定基态为图 12(b)中的铁磁态，其中α从[-π，π]任意取值，能量均为。

实际上，C1，C2 描述的dipole被固定在晶格中的体系在凝聚态物理中被称为“dipole lattice”，最早可以追溯到 1946 年英国科学家Luttinger和Tisza的工作[3]，他们讨论了面心立方，体心立方和简立方体系中dipole lattice的基态问题。在偶极子模型，为了避免偶极子之间的吸引导致偶极子重叠，Luttinger和Tisza在此基础上加了一个理论物理中用于描述核子短程作用的汤川势，强制使两个偶极子间存在一定斥力，避免偶极子因静电引力而发生碰撞，注意这点和本题目的刚体近似有区别。由此建立的模型又被称为 Luttinger-Tisza 模型。1991年苏联物理学家讨论了二维 dipole lattice 的情况^[4]指出（即为本题答案）：对于三方结构（晶角为 60 度），铁磁态为稳定态，对于四方结构（晶角为 90 度），反铁磁态为稳定态，进一步分析了 dipole 晶格对声子和能带的贡献。2008 年，一篇 PRL 指出铁磁态和反铁磁态在晶格角度 80 度附近发生相变，随着角度增大，体系由铁磁态变成反铁磁态^[5]。

后续的研究，将 dipole lattice 和凝聚态里面的拓扑动力学尤其是以 skyrmion 为代表的对称性破缺联系起来。2020 年发现，对于有限大小的三方二维体系，其基态并不是铁磁态，而是由 60 度，180 度和 300 度三种不同角度组成的三重涡旋结构^[6]。2021 年则进一步将这种体系扩展至无穷大小的情况，并指明无穷大小的 dipole lattice 在对称性破缺的状态下，可以被激发至拓扑涡旋态^[7]，从而将 dipole lattice 与拓扑动力学和 skyrmion 联系起来。

相对于本届和之前的奥赛题目，本题目是一次很有意义的创新，是一次由标准化试题向开放性试题的尝试，并有效地与物理学科研进展相结合。但受限于考试形式和阅卷形式，所取得的结果打了一定的折扣。事实上此题更适合作为IYPT^[8]的题目，尤其是现在市面上很容易买到巴克球（磁力小球）玩具，从而开展理论和实验结合的工作。

3 各国学生的得分情况分析和评分时的争议

此题共有 303 人取得有效成绩。满分 10 分，最高分 8.7分，由澳大利亚选手获得，中国队员获得 8.5 分，紧随其后。中国队 5 名队员均位于前 15 名，其中 4 人进入前十名。图 13展示了整个题目的分数分布情况，因题目难度较大，所以整体来说分数呈低分到高分人数递减的趋势。                                

中国队的主要失分点，除计算错误外，集中在 B3、C1、C2。B3 主要为物理模型问题，由于题目表述不清楚导致对题目模型的误解。C1~C2 的失分原来比较复杂，但共性问题为不理解题目中“构型稳定”的具体意义，也没有尝试进行正确的稳定性分析，误以为能量小于零即可判定为稳定。由此可见，能量的相对性、稳定平衡不稳定平衡的判断等核心科学问题，需要在日常教学中进一步加强。

同样在阅卷和后续的争分环节中，争议也普遍集中在 C1 和 C2 问题。C1 和 C2 的标准答案其实并不唯一，而且两道题目均具有无数种满足题目稳定性要求的答案。但答案只给了 C1两种和 C2 一种答案。阅卷人严格要求依据标准答案批卷，这实际上已经违背了这个题目命题人的本意和题目精神。另外从命题的角度来说，“不需要证明给出的磁排列构型是唯一的可能”可能会导致学生忽略构型的稳定性要求，尤其是在考场环境下，学生很可能只是直觉上给出一个自己觉得稳定的构型，而没有足够的能力严格判断其稳定或者不稳定。

4 结语

总体来说，理论题目 1 主要集中在力学和电磁学领域，重点考查偶极子的相关问题和知识点。A1~A5 比较简单，属于基础问题。B1~B2 的考查非常全面细致，主要考查学生对电磁学基础知识掌握的牢固程度和全面性。B3 一题考查了多个知识点，其本身是一道很好的电磁学和电动力学题目，但在题目描述方面存在一定的模糊性，导致很多同学不必要的失分。C1~C2 是一次对开放性命题、物理奥赛和科研结合的有效尝试，但受到阅卷和实际考场要求等方面的限制，并没有达到预期的效果。后期需要我们在开放性命题和奥赛科研结合等课题方面作进一步的探索和尝试。

参考文献

基金项目: 2020 高等学校教学研究项目（DJZW202010hb），港澳与内地高等学校师生交流计划项目（202111120070）；南开大学“四新”专业课程改革项目（21NKSYSX02）。

作者简介:  董校，南开大学物理科学学院副教授。

通信作者:  宋峰，南开大学物理科学学院教授，fsong@nankai.edu.cn。