摘要
热管是一种封闭管，其内部表面覆盖有毛细芯或吸液芯，分为蒸发、绝热和冷凝三个区域，如图 1 所示。
热管内部的压力与其工质的饱和压力相等。传递至蒸发区（段）的热量使工质汽化，并使这一区域的压力升高。较高的压力推动蒸发气体通过热管中心到达冷凝区（端），并在此向较低温度侧释放潜热冷凝为液体。液体被吸液芯（毛细芯）吸收，在吸液芯毛细力作用下被泵送回蒸发区（段）。因此，只要毛细力能将冷凝液体泵送回蒸发区（段），热管就可以持续将热量从蒸发区（段）传递至冷凝区（端）。
热管是一种高效的传热器件，其应用范围很广，根据热管的特性，它的主要应用范围包括：（1）把热源与冷源分开；（2）拉平温度；（3）控制温度；（4）变换热通量；（5）作热开关及热二极管用等。不同的应用场合，可采用不同形式的热管。在电子设备中，主要是利用热管传递热量、拉平安装底板的温度、对设备或元器件进行温度控制以及冷却飞行器上的电子元器件等[2]。
由于热管的传热效率是影响热管应用的重要因素，并且在所有能源利用系统中，约 80% 的系统都存在热传递。因此，在大多数热力系统中，提高传热性能都能极大地促进节能，提高一定体积设备的热流率，或降低一定热负荷下的设备成本[3,4]。此外，在电子设备中，电产生的热量常常是一个严重的问题[5]，改进热传导技术可有效提高电子设备的运行可靠性。因此，改进（或优化）传热已成为提高能源利用效率的关键问题之一。
在传统理论中，热管的工作物质循环过程可以被看作近平衡过程，因此可以运用最小熵增原理进行分析[6]；熵产生速率可以视作热管的优化目标函数。然而，在应用熵产的概念对压降不可逆性可忽略的平衡逆流换热器进行分析时, Bejan 等人发现, 当换热器有效度取值在[ 0,0.5 ]之间时, 换热器有效度并不随熵产数的减小而增加, 反而减小了; 特别是当熵产数减小到 0 时,有效度也减小为 0。熵产最小化理论并未带来最优的换热器性能[7]。这就表明, “熵产悖论”是客观存在的。其根本原因在于熵产是从做功能力损失的角度衡量不可逆性的, 而单纯传热优化的目标与做功无关。因此，使用熵相关理论对热管传热效率进行分析或许并非是最合适的。本文提出使用火积理论对热管进行分析，并讨论其传热效率最优化的问题。
1 火积的相关理论研究
1.1 火积概念的引入
火积（entransy）这个概念是通过类比的方式引入的。如表1所示，在电热传导的类比中，其他的物理规律都具备一一对应关系，只有电势能对应的“热势能”缺乏定义，因为作为传导载荷的热量本身就具有能量量纲。为了衡量物体传递热量潜在能力的大小，定义一个物理量
这个物理量就是火积[8]。
1.2 火积的物理含义
在物理学中，通常每一种不可逆的现象都对应着一个物理量的耗散，物理量的耗散程度衡量该现象不可逆性的大小。例如机械系统的不可逆性对应摩擦带来的热耗散，热力学系统的不可逆性对应着可用能的耗散等等。但用能量的耗散来衡量传热学不可逆性并不合适。即使对于理想的传热过程，其中内能守恒，但过程依然是不可逆的，因为热能不会自发地从低温向高温传递。
火积作为一个状态函数，可以发挥耗散函数的作用。举一个简单的例子：
两物体初始温度TA，TB；质量MA，MB；比热容cνA,cνB。则
考虑理想的传热情况，热量守恒，有：
则
式(5)恒大于零，这就说明在这个简单的导热情形下，火积一定是耗散的；同时，火积的大小取决于温差的大小，温差越大火积也越大，说明火积函数不仅可以表示传热的不可逆性，还可以衡量这种不可逆性的大小。
接下来我们来考查更为一般的情形，这里热传导和热对流同时存在。
能量守恒关系写为
展开得到
其中,U 为流体速度， 为热流密度，
为热源密度。
写成微分形式有
这是能量守恒关系的微分表达。接下来我们在两边同时乘以 T 得到
其中，
为火积流密度，满足
这里我们注意到，火积并不能如能量那样满足守恒方程，相比于能量关系，火积中多了一项
。其满足
由于 k 大于零，式(11)代入式(9)中，会得到恒大于零的耗散项，是热传递过程中火积的耗散项，表示耗散体积密度。它的大小就衡量了传热过程的不可逆性。
火积的耗散规律是否能指导工程中的热管设计？具体地讲，火积耗散函数是否可以作为工程设计优化的目标函数？
1.3 作为优化函数的火积
在工程实际中，设计传热结构通常有两种目的：一种是在温差一定时，最大化热流的大小；另一种是在热流大小一定时，最小化所需要提供的温差。现在我们证明在这两种情形下，火积函数的变分极值点与热流或温差极值点重合。
对于无内热源的稳态导热情形，有
进一步得到
我们定义一个加权的平均温差
当热流量一定时，我们变分上式得到
这意味着当热流量一定时，温差的最小值对应耗散的最小值。
当温差一定时有
这意味着温差一定时，热流量的最大值对应耗散的最大值。
式（15）和式（16）足以证明火积的最小值与工程实践中最佳设计的对应关系。
1.4 火积理论与熵理论的比较
在过往许多学者的研究中，时常使用最小熵产生原理来分析传热过程的不可逆性。在热力学过程中熵产生被表述为广义力与广义流的乘积。
Onsager 和 Prigogine 提出和完善了这一原理，在近线性区域的输运过程中应有熵产随自由广义力的变化最小[9,10]。进一步的，熵产率被认为可以作为实际工程中的优化函数，熵产率越低说明传热效率越高[11]。但这一理论受到了后来学者的挑战。V.Bertola 和 E.Cafaro 的计算指出，最小熵产生原理需要物体热导率同 T2成反比，并且方程仅在广义流等于 0 时成立[12]。更致命的是，Bejan 和 Hesselgreaves 发现了所谓“熵生成悖论”，他们从零开始扩大换热面积，发现在提高换热效率的同时，熵产率并不总是减小[11,14]。这也就意味着最小熵产生原理并不能衡量实际的传热效率。
我们认为，熵和可用能的概念被运用在热力学范畴内，在存在热功转换的情形中是适合的。但在纯粹热传导而不涉及其他形式能量的情形下，从最小熵增出发无法导出符合实际的结果。在传热学情形中，引入火积的概念是有效和合理的。
2 仿真实验
2.1 实验原理
为了证明火积理论在传热优化中的作用，我们选取热管的传热优化设计为实例来分析。我们研究在给定热载荷下工作的热管，此时温差大小与传热效率的大小负相关；而根据我们的理论，火积耗散同样与传热效率大小负相关，因此我们希望验证：火积随设计方案变化的变化趋势与温差的变化趋势一致。
为此，我们要计算出热管在稳态传热下的火积耗散率。热管的火积耗散率主要存在几个部分,如图 2 所示。（1）热管与外界进行热交换时的耗散；（2）热量在外壳、毛细芯中的液体、蒸汽腔中的水蒸气三种介质中由于温度梯度引起的传递造成的耗散；（3）在热管的高温段和低温段，由于水的相变而引起的耗散。
首先是第一部分，热管与外界由于热交换而引起的耗散率，包含热量由高温端流入的部分，和从低温段流出的部分。故
第二部分为热量在管内传递时的耗散率，可以表示为
第三部分为水相变所引起的耗散率。首先我们考查对于质量为 m 的水，其完全变成蒸汽所产生的火积。其结果就是相变的温度乘上这个过程中吸收的热量，即
其中，H 为相变潜热，即单位质量的水蒸发所吸收的热量。
由此，我们考查热管内由于相变所产生的耗散率，就要计算单位时间内相变的质量。我们假定热管中芯层中只有液体，而蒸汽腔中只有气体，相变只在芯层边界上发生。由此，我们便可以得出，单位时间内的水的质量变化率便可以表示为
其中，S 表示芯层与蒸汽腔的边界，v 表示芯层中水的速度。当 v 的方向与界面外法向同向时，水流入芯层，
符号为正，表示蒸汽凝结为液体。反之则为水蒸发为水蒸气。
那么，由于相变引起的耗散便可以表示为
所以，总的火积耗散率便可以表示为
2.2 实验结果
接下来，我们利用 COMSOL 软件进行了热管传热仿真。通过层流接口来求解蒸汽腔中蒸汽的流动，通过 Brinkman 方程接口来求解毛细芯层中水的流动，导热的接口则为多孔介质传热模型。对于相变的考虑，我们在芯层与蒸汽腔交界面上设定了水的饱和蒸汽压作为边界条件，而相变释放热量的设置则是通过在芯层边界上设定一个热源，释放的热流大小就是相变潜热乘以单位时间内流过边界的液体质量。边界条件我们在高温接触段设定第二类边界条件，在低温接触段以牛顿冷却定律与环境交换热量，即第三类边界条件。最终，我们求解这个模型传热的稳态。得到热管内的温度分布和流场的速度分布，如图 3 和图 4 所示。
同时，我们也可以解出相变潜热随着位置的关系，如图 5 所示。从图 5 我们可以看出，热管的相变主要发生在与热源的接触段以及散热段，在热管中间液体的输运段不发生相变。
利用 COMSOL 的探针和参数扫描功能，我们可以得到不同参数下，热管对应的温度差以及对应的火积耗散率，从而我们得以对比两种传热效率衡量方法的异同。
我们研究的参数主要包括，热管外径、芯层厚度、壳层厚度、热管长度、孔隙率、热源接触层厚度。分别计算温差和火积耗散率随上述参数的变化关系，结果如图 6 所示。
我们可以看出，火积耗散率与温差随各种参数的变化趋势都是相同的，且变化趋势都是单调的。其中，热管长度和热管效率无明显关系；芯层厚度、壳层厚度和接触层厚度与热管效率基本是线性关系；而外径和孔隙率与热管的效率成非线性关系。但是热管效率的单调性并不意味着效率的无限提高。这是由于热管具有许多极限如黏性极限、声速极限、携带极限的限制，同时在实际应用中，也要考虑到热管应用场景和成本的限制。
3 结论
本文运用火积理论，对热管的传热进行了分析，证明了火积的最小值对应着生产中的最优化。之后利用 COMSOL 软件进行了仿真实验，验证了理论分析的同时，给出了热管内温度、流场速度、相变潜热的分布，以及火积与温差随热管外径、芯层厚度等变量的变化关系。该工作给包括热管在内的各种传热模型的研究提供了新思路，并可能在热管的生产和设计的优化中起到指导作用。
参考文献
基金项目: 西安交通大学2023年基层教师教学发展组织建设项目（2302JF-01）；2023年基层教学组织教学改革研究专项（基础课程）；渭南师范学院教育科学研究项目(2020JYKX021)。
通信作者: 蒋臣威，西安交通大学物理学院副教授，jiangcw@mail.xjtu.edu.cn。引文格式: 秦兴宇，喻有理，赵鼎熙，等. 基于火积理论对热管传热效率最优化问题的讨论[J]. 物理与工程，2024，34（3）：157-163.
Cite this article: QIN X Y, YU Y L, ZHAO D X, et al. Discussion on the optimization of heat pipe heat transfer efficiency based on entransy theory[J]. Physics and Engineering, 2024， 34（3）：157-163. (in Chinese)
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