三角函数的概念
——数学教育心理学分析
汇报人 : 庄烨纯 富滢帆 肖琳敏
周语嫣 李玉琴 许炀炀
教学分析
课程目标 学科素养
重难点分析
教学设计
学情分析
一、学生已有知识基础
1. 学生在初中已经学习了直角三角形中的锐角三角函数，对正弦、余弦、正切的概念有了初步的认识。
2. 学生已经掌握了平面直角坐标系的相关知识，能够准确地确定点的坐标。
二、学生可能遇到的困难
1. 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解三角形服务，以上三点都是与本课时不同的。
2. 单位圆是一个抽象的概念，学生可能需要一定的时间来理解为什么要用单位圆来定义三角函数，以及如何通过单位圆来确定三角函数值。
教材分析
任意角三角函数是高中数学的重要内容之一，它是高中必修一第五章第二节第一课时的内容。2019年人教A版中，三角函数紧跟函数、指数函数、对数函数，学生对“三角函数是一类函数”有更完整的认识，三角函数定义的独特性也补充了集合定义函数的知识，三角函数周期性使函数性质研究更为完整。通过单位圆与弧度制讲解，更好区分锐角三角函数与任意角的不同。
教材内容结构：
1. 任意角的概念引入：教材5.1.1弧度制中引入了任意角的概念，为任意角三角函数的定义做铺垫。
2. 单位圆定义任意角三角函数：以单位圆为工具，定义任意角的正弦、余弦和正切函数。这种定义方式直观、简洁，便于理解三角函数的本质特征。
一、数学抽象素养目标
学生能够从锐角三角函数的概念抽象出任意角三角函数的定义，学会用单位圆上点的坐标来表示任意角的三角函数值，体会数学符号的抽象性。
二、逻辑推理素养目标
通过分析单位圆中角的终边位置与三角函数值的关系，推理得出三角函数值在各象限的符号规律。能够根据三角函数的定义，进行简单的三角函数值计算，并推理出一些特殊角的三角函数值。
三、直观想象素养目标
借助单位圆，直观想象角的终边与单位圆的交点位置，理解三角函数的定义。通过图形的变化，想象三角函数值的变化情况。
教学重点
1. 任意角的三角函数的概念。
2. 运用任意角的三角函数概念求解特殊角的三角函数值。
教学难点
1. 函数知识难度：
三角函数不以“代数运算”为媒介，是几何量(角与有向线段)之间的直接对应，不是通过对α进行代数运算得到函数值，这是学生所不熟悉的一个复杂、不良结构情境。
2. 任意角知识难度。
3. 锐角和任意角三角函数的不同。
教学设计
Part 01.
创设情景 提出问题
我们常常用函数模型来描述客观世界变化规律。
匀速直线运动可以用一次函数来描述，自由落体和抛物运动可以用二次函数来描述。
在上一单元我们又学习了指数函数、对数函数，它们分别是描述客观世界中那些具有“指数爆炸”“对数增长” 现象的数学模型。但是，我们也发现，大到宇宙天体的运行，小到质点的运动，客观世界中还存在着大量循环往复、周而复始的现象，其中圆周运动就是一种具有这种现象的重要运动，那么它的变化规律用什么函数模型描述呢?
【提出问题】
圆上一点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何建立函数模型，刻画点P的位置？
数学模型
Part 02.
分析问题 探索新知
任意角的三角函数定义
借助ggb演示，可以看到，对于任意角α，其终边OP是唯一确定的，进而OP与单位圆的交点P也就随之确定下来了，换句话说，就是对任意给定的一个角α，单位圆周上就有唯一确定的点P(x,y)与之对应，即α→射线OP→P(x,y)。
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数，按照某种确定的对应关系在集合 B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数。
本题中α→射线OP→P(x,y)，对于任意一个角，都有唯一确定的点P与之对应。因此可以构建角 α 与点 P 的横坐标、纵坐标之间的函数关系。由前面学习知道，在弧度制下，任意角的集合是实数集R，而单位圆上点的横、纵坐标取值范围是 [-1,1] ，即对每一个实数 α 作为一个角的弧度数，都有：
任意角α→[-1,1]中唯一一个实数x；
任意角α→[-1,1]中唯一一个实数y。
α→射线OP→P(x,y)的对应关系可以换成射线OP→α→P(x,y)吗？可以先确定线段OP，然后由 OP 唯一确定角 α 吗？角 α 与它的终边 OP 是什么关系？是角 α 确定其终边还是终边 OP 确定了角呢?
如图，当角α是锐角时，按照初中的锐角三角函数定义有
sin α = PM/OP，cos α = OM/OP.
又因为 OP=1，所以
sin α = MP = y，cos α = OM = x.
因此在自变量 α∈ (0,π/2) 时，我们可以得到点 P 与角 α 之间的函数关系恰好就是锐角三角函数。
引出定义
可以看出，当 α = π/2+kπ(k∈Z) 时，α 的终边在 y 轴上，这时点 P 的横坐标 x 等于0，所以 y/x = tan a 无意义。除此之外，对于确定的角 α ，y/x的值也是唯一确定的。
Part 03.
例题讲解 概念运用
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学生认知情况
在学生已经熟悉乘方运算的前提下，相较于一次函数和二次函数，三角函数的学习对于学生来说相较困难，认知水平较低的学生常习惯于直接记忆抽象的原理，而不会应用原理，出现“机械学习”情况。
例如，在α角不属于锐角的情况下，正弦函数和余弦函数，即cosα=x，sinα=y只有几何意义，大多数同学不知道x和y如何通过α去计算，所以在此通过例一和例二的讲解来解决学生的疑惑。
教师应对策略
对于角度不属于锐角区间的情况，学生可能会出现对三角函数概念理解不到位，而利用锐角三角函数去解决问题的情况，我们可以引导学生从单位圆的角度去解决问题，启发学生在任意角度下的求值方法。这一过程充分体现了概念同化的实质：新知识被纳入到已有的认知结构中，并与之建立联系；同时，已有的认知结构也因为新知识的加入而得到调整和完善。
数学概念的同化
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教育心理学分析
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撰稿 | 庄烨纯 周语嫣 富滢帆 肖琳敏 李玉琴
排版 | 许炀炀
来源：网络
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