一文搞定向量与三角形的心

文化   2024-12-19 21:50   广东  

四心的概念介绍

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四线与向量的结合

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四心与向量的结合

3


向量有其自成一体的知识结构,而三角形 的“四心”能沟通三角形的诸多性质,本文用向量的方法展示三角形的“四心”的性质,和大家一起来探索向量和三角形之间的故事:


1.三角形的重心:三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质2:重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

性质4:重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

2.三角形的垂心:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

3.三角形的外心:三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) ,且钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心在斜边上,且刚好与斜边中点重合;锐角三角形的外心在三角形内.

4. 三角形的内心:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心).

5.三角形的旁心:三角形每一条内角平分线(所在直线)与另外两角的外角平分

线相交于一点,交点就叫做旁心.(这样的点共有三个,如图所示的)

二、三角形“四心”的相互关系(旁心不作研究)

三、奔驰定理与三角形“四心”的关系

备注:奔驰定理是三角形四心向量形式的完美统一,它将四心向量形式表露无疑,是向量中最具魅力和优美的两大结论之一.

四、三角形“四心”的应用

《平面向量》的学习中,通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下:




范例回顾


1
将平面向量与三角形内心结合考查


2
将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”



3
将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

4
将平面向量与三角形四心结合考查





知识点总结






补充练习


典型例题

4


1
与三角形“四心”相关的向量问题



2

  与三角形形状相关的向量问题



3
  与三角形面积相关的向量问题


4
向量的基本关系(共线)





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