前几天发布了 “用VBA模拟14连号” 这篇文章后，很多同学都对蒙特卡洛分析产生了兴趣。比如在留言区中，就有朋友提到，可以用它来模拟著名的概率问题“三门问题”。
正好上次讲完VBA后，杨老师也想演示一下怎样使用Python实现蒙特卡洛分析。所以今天咱们就借这个话题，再来一次Python版的随机模拟，顺便也感受一下概率论中各种反直觉的神奇现象。
1. 什么是“三门问题”
“三门问题”出自1970年代美国电视主持人蒙提霍尔(Monty Hall)主持的一个游戏节目，因此它的正式名称就是“蒙提霍尔问题”。这个游戏整体上就是一次简单的抽奖：舞台上摆好3扇门，其中一扇背后藏着汽车，另外两扇后面各藏着一只山羊；然后让参赛者选中一个门，如果门后是汽车，就算是赢得抽奖，反之如果是山羊，则输掉游戏。
显然，如果游戏规则仅止于此，那么大家都会轻松得出结论：既然3个门中有1个是车，那么参赛者的中奖概率就是 1/3，或说33.33% 。
然而这个游戏的有趣之处在于，主持人不甘寂寞地给自己加了点戏，于是具体过程变成了下面这样：
（1）舞台上出现3个门，参赛者看不到门后有什么，但是主持人能够清楚看见每扇门后的物品
（2）参赛者选中一扇门，但此时门并不会打开，而是等待主持人的动作
（3）因为有2只羊，所以不管参赛者选了哪个门，剩下的两扇门一定是两只羊或一羊一车。于是主持人在剩下的两扇门中，选一个背后是羊的门并打开。假如两个门后面都是羊，就随机打开一个。
（4）这时参赛者看到：三扇门中有一扇已经打开，里面站着一只羊；还有两扇门仍然关闭，其中有一扇是自己之前选中的。此时主持人提问：“你是否想更改答案，重新选择另一扇门？”
大多数人都会直觉地认为“没必要修改答案” —— 虽然主持人排除了一个“羊门”，但对于剩余的两个门来说，藏有汽车的概率仍然是五五开，所以换不换答案都一样。从这个角度讲，无论参赛者是否修改答案，最终中奖的概率似乎都是33%。
然而如果抛开直觉，老老实实地按照高中数学的解题过程去推导，我们却会得到一个令人震惊的结论：修改答案、概率翻番！鉴于“每增加一个公式，读者就会减少一半”，杨老师就用文字方式简单说明这个推理过程：
（1）第一次选择时，参赛者有1/3的概率选中汽车。此时其余两个门一定全都是羊；接下来主持人从其余两个门中排除一只羊后，最终剩下的那个门一定也是羊。所以这种情况下，参赛者修改答案后必然失败。
（2）第一次选择时，参赛者有2/3的概率选中羊。此时其余两个门一定是一羊一车；接下来主持人从中排除掉羊，于是最终剩下的那个门一定是车。所以在这种情况下，参赛者修改答案后必然胜利。
总结一下：参赛者有1/3的概率在第一次选中汽车，此时修改答案必然失败；同样他有2/3的概率在第一次选中羊，此时修改答案必然胜利。所以综合来看，修改答案的胜利概率是 2/3，也就是66.67%。
推理过程似乎很简单，但是学过概率论的同学都体会过：概率问题最可怕的地方就是“经不起琢磨”，或者说：越想越乱！就比如这个三门问题，很多朋友看到答案后，反而思考出各种不同的理论。随便在知乎上搜索一下，就可以看到各种热烈的讨论：
那么到底谁说的有道理？修改答案后的成功概率，到底是50%还是66%呢？事实胜于雄辩，咱们亲自试验！
2. Python随机模拟的关键技巧
在上一篇文章 不懂数学，咱还不懂VBA么？—— 用“蒙特卡洛分析”搞定概率问题 中提到过：使用Python做随机模拟，要比VBA容易很多。因为Python自带的random模块非常强大，不仅提供了生成随机数的方法，而且还提供了“随机抽样”方法sample()、“随机洗牌”方法 shuffle()，以及从列表中随机抽取一个元素的choice() 等等。详见《全民一起玩Python 提高篇》第12回的讲解。
（1）使用shuffle随机布置三个门
仍然使用上篇文章中介绍的“随机洗牌”方法，也就是先生成一个数组（列表），初始内容为 [“车”，“羊”，“羊”]，代表全部三个门；然后随机交换任意两个元素的位置，最终得到一个随机排列的列表比如[“羊”，“车”，“羊”] ，也就是最终摆到舞台上的方案。
不过对于随机交换功能，这一次我们不再需要编写复杂的代码，因为 random.shuffle( a ) 就可以把列表 a 随机乱排：
所以这里我们只需写下两行代码：
（2）模拟参赛者选择
调用 random库的randint(0,2)，就可以生成0、1、2三者之一的随机整数。用这个速记整数代表门牌号，我们就模拟出了“参赛者选取某个门”的环节。
（3）模拟主持人的选择
按照规则，参赛者选中一个门之后，主持人要在剩下的两个门中选出一个“羊门”并打开。本质上，这个操作与参赛者相同，也是生成一个0、1、2之间的随机整数。但是麻烦的地方在于，主持人选中的门既不能是参赛者选中的那个、也不能是有汽车的那个。
所以在选中一个门之后，我们还要根据这些规则做一个判断：假如主持人选中的门牌号与参赛者相同或者背后藏着汽车，就重新抽取；然后再次判断，直到符合条件为止。对应的代码，就是下面这个while循环：
理论上讲，这个while结构存在陷入“死循环”的可能，也就是每次生成的随机数都不符合条件，直到天荒地老。如果想避免这种风险，我们可以使用其他方式（比如用remove或pop方法从列表中删掉参赛者已选门牌）。
然而本案例一共只有3个门，所以对于每次循环生成的随机数，不符合条件的概率只有2/3。对应的，连续10次都不符合条件的概率就是 (2/3)的10次幂，也就是1.8%；而连续20次都不符合条件的概率则是万分之三 …… 。由此可见，我们根本不用担心出现死循环，可以放心使用这段代码，毕竟这种while循环的写法最是直观易懂。
（4）模拟“更改答案”
在参赛者和主持人都做出选择后，最终剩下的那个门牌号，就是参赛者想要更改的最终答案。然而在程序中，我们怎样得到这个门牌号呢？
这里杨老师用了一个简洁但略微有点“绕弯”的技巧：用门牌号的总和，减去已选中的门牌号。
举个例子：我们知道三个门牌号分别是0、1、2。那么假设用户选中了1、主持人选中了0，公式（0+1+2）- 1- 0 就会得到2 ，也就是两人都没有选中的那个门。同样，假设两个人选中的分别是2和1，那么（0+1+2）- 2 – 1 就会得到0，仍然是没有选中的门。是不是很有趣呢？
这个技巧其实也蕴含了深刻的道理，甚至可以与信息论挂上钩，改天杨老师再跟大家细聊。总之最后这几行代码，就可以得到最终参赛者更改的门牌号：
3.完整代码与模拟结果
把上面的过程写成函数，然后在主程序中循环运行10万次，同时用变量 win_times 统计抽中汽车的次数，就可以得到完整的代码：
接下来就是惬意的试验时间！随手运行十几次（每次试验10万轮），结果如下：
根据概率论中著名的大数定理，这些试验结果（0.6642、0.66888 …… ）的平均值，可以被视作客观真实结论。所以我们算一下，答案真的是 0.666 !
那么假如参赛者执守初心、拒绝更改答案，最终概率又会如何呢？我们只要修改模拟函数的最后一句，把最终答案 final_door 改为用户一开始选择的随机数 user_choose ，就可以同样模拟出结果，中奖概率只有 0.333 ：
总之，模拟结果显示：如果参赛者中途更改答案，中奖概率确实会从0.33提高到0.66！程序模拟与概率计算结论一致（证毕）。
当然，也不是不可以再杠一下 ……
