数论中最重要的未解之谜，我们正在接近它的答案

撰文 | 玛农·比肖夫（Manon Bischoff）

翻译 | 张岱铭

审校｜王昱

黎曼猜想是数论中最重要的未解之谜——事实上它对整个数学界而言都至关重要。这个难题已经困扰了专家们超过160年。它不仅出现在了数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）1900年开创性的演讲中，还在一个世纪后成为了“千禧年大奖难题”之一，解决这一问题的人将获得一百万美元的奖励。

然而，黎曼猜想实在难以攻克。尽管众多专家数十年如一日地努力，甚至还有诱人的悬赏，破解这一谜题的进展依旧十分有限。最近，麻省理工学院的拉里·古斯（Larry Guth）和牛津大学的詹姆斯·梅纳德（James Maynard）在预印本文库arXiv.org上发布了一项令人振奋的新发现。在这篇论文中，“作者改进了一个50年来被认为是难以逾越的结果，”德国波恩大学的数论专家瓦伦丁·布洛默（Valentin Blomer）表示。

其他专家也表示赞同。菲尔兹奖得主、数学家陶哲轩在Mastodon上写道，这项工作是“一个非凡的突破”，“尽管距离完全解决这个猜想仍然很远。”

黎曼猜想涉及自然数的基石：质数，即大于1且只能被1和自身整除的数，包括2、3、5、7、11、13等。

任何一个其他的数，例如15，都可以清晰地分解为质数的乘积：15 = 3 x 5。问题在于，质数似乎并不遵循简单的规律，而是随机地出现在自然数中。19世纪的德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）提出了一种方法来处理这种特性，并从统计的角度解释了质数在数轴上的分布方式。

数字的“元素周期表”

证明这一猜想将为数学家提供一张数字的“元素周期表”。正如物质的基本组成部分（如夸克、电子和光子）能够帮助我们理解宇宙和我们所处的世界，质数也在数论、乃至几乎所有数学领域中都有着举足轻重的地位。

如今已有不计其数的定理依赖于黎曼猜想。如果能证明这一猜想，这些定理也将随之被证明，这无疑为攻克这一顽固难题提供了更多的动力。

人们对质数的兴趣可以追溯到几千年前。早在公元前300年，欧几里得（Euclid）就证明了质数有无穷多个。尽管对质数的兴趣从未减退，但直到18世纪，人们才对这些基本组成部分有了新的重大发现。

物理学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在15岁时就意识到，质数在数轴上出现的频率是逐渐减少的。他提出的“质数定理”表明，从0到n的区间中大约会出现n/ln(n)个质数（这一定理在100年后才被证明）。换句话说，质数定理使数学家得以估算质数在数轴上的典型分布。

质数的确切数量可能与定理所给出的估计值有所不同。例如，根据质数定理，在1到100之间大约有100/ln(100) ≈ 22个质数，但实际上有25个，即存在3个的偏差。这就是黎曼猜的用武之地。黎曼猜想为数学家提供了一种估计这种偏差的方法。更具体地说，它指出这种偏差不会变得无限大，而是最多以√n（n代表所考察区间的长度）的速度增长。

因此，黎曼猜想并不是精确预测质数的位置，而是猜测质数在数轴上出现遵循一定的规律。根据黎曼猜想，质数的分布密度会按照质数定理所示逐渐减少，且质数按照这种密度均匀分布的。这意味着不存在大范围完全没有质数的区域，也不会出现质数极其密集的区域。

你也可以将其想象为房间里空气分子的分布：整体上，地板处的密度略高于天花板，但分子依然是均匀散布的，房间里没有任何真空区域。

奇妙的联系

黎曼（Riemann）在1859年提出了以他名字命名的猜想，这篇论文简短精炼，仅有六页（这也是他在数论领域唯一的贡献）。然而，乍一看，他的工作似乎与质数关系不大。

他研究的是一个特定的函数，即所谓的ζ函数ζ(s)，它计算了对自然数的倒数求s次幂后，相加得到的无穷和：

早在黎曼的研究之前，专家们就已经知道这种ζ函数与质数有关——ζ函数也可以表示为所有质数p的函数，如下所示：

黎曼的研究将s的值从实数拓展到复数。复数既包含实部，也包含对负数求平方根得到的数字，即所谓的虚部。这使得他认识到，ζ函数和质数之间的联系具有更深层的含义。

你可以将复数想象为一种二维构造。它们不是在数轴上，而是在平面上标记了一个点。x坐标对应实部，y坐标对应虚部：

图片来源：Никита Воробьев/Wikimedia

黎曼研究的复ζ函数可以被视为平面上方的地形图。如图所示，在这片山川起伏之中有一些重要的点与质数密切相关。这些点就是ζ函数为零的地方（所谓的零点），也就是地形降到“海平面”的地方。

图片来源：Jan Homann/Wikimedia

不同的颜色代表了复ζ函数的不同取值，其中白色的点代表了它的零点。

黎曼很快发现，当实部大于1时，ζ函数没有零点。这意味着在直线x = 1右侧的景观区域永远不会降到“海平面”。ζ函数的零点在实部为负的值时也已为人熟知，它们位于实轴上，如x = -2, -4, -6等。但真正引起黎曼以及后来所有数学家兴趣的是位于0 ≤ x ≤ 1的“临界带”内的ζ函数零点。

图片来源：LoStrangolatore/Wikimedia

在临界带内（以深蓝色标记），黎曼ζ函数可能有“非平凡“的零点。黎曼猜想声称它们都位于直线x=1/2（以虚线标记）上。

黎曼知道，在临界带内ζ函数有无穷多个零点。但有趣的是，这些零点似乎都位于直线x = 1/2上。因此，黎曼猜想临界带内ζ函数的所有零点的实部都是x = 1/2。这个论断实际上是理解质数分布的关键所在。如果这个猜想是正确的，那么质数在数轴上的分布就不会偏离质数集合太远。

寻找零点

迄今为止，人们已经计算了数万亿个ζ函数的零点——超过10¹³个零点——而所有这些零点都位于直线x = 1/2上。

但仅凭这一点并不能构成有效的证明。只需找到一个偏离这一模式的零点，就足以推翻黎曼猜想。因此，我们需要一个证明，进而清楚地表明在临界带内，x = 1/2以外没有零点存在。

到目前为止，这样的证明仍然遥不可及，所以研究人员采取了另一种方法。他们试图证明在直线x = 1/2之外，最多只有N个零点。他们的最终希望是逐步减少N，直到最终N = 0，从而证明黎曼猜想。然而，这条道路同样极其艰难。1940年，数学家阿尔伯特·英厄姆（Albert Ingham）证明，在0.75 ≤ x ≤ 1之间，最多有y^3/5+c个零点的虚部不超过y，其中c是介于0到9之间的常数。

在接下来的80年中，这一估计几乎没有得到任何改进。最后一次显著的进展来自数学家马丁·赫胥黎（Martin Huxley），他在1972年取得了部分突破。“这为我们在解析数论中能做的事情带来了许多限制，”陶哲轩在他的社交媒体帖子中写道。例如，如果你想将质数定理应用于短区间如[x, x + x^θ]，你会受到英厄姆估计的限制，即要求θ > 1/6。

然而，如果黎曼猜想是正确的，那么质数定理可以适用于任何区间（即θ = 0），无论区间多么小（因为[x, x + x^θ]在θ = 0时等同于[x, x + 1]）。

现在，2022年荣获菲尔兹奖的梅纳德和古斯终于成功地大幅改进了英厄姆的估计。据他们的研究，在0.75 ≤ x ≤ 1的范围内，ζ函数最多有y^(13/25)+c个零点，其虚部不超过y。这到底意味着什么呢？布洛默解释道：“作者从定量的角度展示了黎曼ζ函数的零点离临界直线越远，其出现的频率就越低。换句话说，与黎曼猜想的偏离越大，发生的频率就越少。”

“这推动了解析数论中许多相关改进，”陶哲轩写道。它能够缩小质数定理适用的区间范围。该定理现已对[x, x + x^2/15]有效，也就是说θ > 1/6 = 0.166…的限制条件变为θ > 2/15 = 0.133…。

为了取得这一进展，梅纳德和古斯最初使用了一些傅里叶分析中常用的技术来获得他们的结果。这些技术类似于将声音分解为其泛音的过程。“最初的几个步骤是标准流程，许多曾尝试打破英厄姆界限的解析数论学家，包括我自己，都会认出这些步骤，”陶解释道。然而，从那以后，梅纳德和古斯“采取了一些聪明且出乎意料的操作，”陶写道。

布洛默表示认同。“这项工作提供了一整套全新的理念——正如作者所言，这些理念可能可以应用于其他问题。从研究的角度来看，这是这项工作最决定性的贡献，”他说。

因此，尽管梅纳德和古斯尚未解决黎曼猜想，但他们至少为攻克这个已有160年历史的难题提供了新的思路。谁知道呢——或许他们的工作会成为破解这一猜想的关键所在。

原文链接：

https://www.scientificamerican.com/article/the-riemann-hypothesis-the-biggest-problem-in-mathematics-is-a-step-closer/

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