引言 这原是给求是思维(公众号）写的推荐数学经典教材的文章。我将其改为三篇篇幅较短的文章：《我的数学学习心路》《数学学习之思》《高等数学(微积分、线性代数、概率论)经典教材与书籍推荐》。本文是第三篇，相较于原文有所调整，主要是增加了数学科普与数学史经典书籍推荐部分。以下是内容提纲：1）阅读数学经典的重要性 2）书籍难度分级（一则关于数学教学的寓言） 3）精选经典书籍推荐。 这里的书籍推荐仍然是本人主观贝叶斯主义的描述。在这个书籍浩如烟海的时代，即使是“经典”之作也难以计数。我所推荐的书籍，基本源自我完整阅读过或者至少部分涉猎的藏书之中。阅读数学经典的重要性 为什么我要在这里特别推荐一些数学经典教材与书籍呢？原因在于，即便是数学系就读的大学生，按照国内高校的教学安排，也大概率难以触及这些经典之作。因此，我对于当下教育问题的基本解决思路是：“学习主要得靠自己，不可完全依赖学校”。在这个时代，能够轻松获得世界最顶尖的经典教材与书籍资源，是我们学习者的宝贵财富。然而，真正的学习，仍需个人的不懈努力。基于我个人学习数学的经历，我一直有一个观点，所有有所追求的科技工作者，都应该利用国际公认的经典教材，将高等数学基础课（微积分、线性代数、概率论等）重新自己研读再学习一遍，并且建议学习到数学系的教学难度（大致相当于后文提到的2.0的难度）。同样的一门课程，通过阅读经典教材与普通教材所获得的学习效果，有着天壤之别，这一点每位学习者都可以自己亲自体会。我们之所以高度重视数学，是因为在科技主宰的今天，数学已经成为文化基础的重要组成部分。书籍难度分级（一则关于数学教学的寓言） 在正式推荐书籍之前，我还是想引用L.戈丁《数学概观》中关于数学教学的一则寓言： 三种办法：老师对他班上的同学说，我要给你们讲解正比例的概念。这个概念在数学、物理学、社会科学和日常生活中，都有用处。它考虑两个变量x和y，其中y依赖于x，其定义（他转过身去面向黑板，开始写）：y称为与x成比例，如果存在一个数a，使得对于x的每个值以及y的对应值，都有y=ax。于是他转过身来看看全班。只有一二个人懂了。老师再试着讲解。好了，你们看，我刚才写的是什么意思。例如，假如我们令a=2（他又转过身面向黑板，并写下） 对于所有x， y=2x他又转过身来，看着全班同学。现在几乎每个人都懂了。但是还有两张发呆的脸。老师再试着讲解。好了，你们看，我刚才写的是什么意思。比如说，我们令x=3， 那么y=6（他在黑板上写） 6=2x3他转过身来看着全班同学。这回人人都明白了。 引用这一寓言的目的是为了说明数学教学或者数学教材大致有三种抽象层次：一是极其抽象，只适用于极少数学生（基本可以说是给其他未来的数学家看的），我将其定义为3.0层次；二是有一定抽象，但是有一定直观基础，适合于大多数学生，我将其定义为2.0层次；三是将其完全具体化，基本没有什么抽象，基本所有学生都能懂，我将其定义为1.0层次。这也大致对应于阅读的难度级别。 我对于数学学习的建议是在看一本1.0层次的教材后，尽量选择一二本2.0层次的教材进行研读，这样既有一定的抽象性，又不至于感到太难。看完2.0层次的书后其实3.0层次的书籍也是可以理解的，至少不会被人用一些抽象数学符号将你吓唬住。我在下面推荐书籍时尽量在后面标识一个1.0至3.0之间主观数字级别标识难度，供读者参考。精选经典书籍推荐 总的来说，数学经典书籍的种类不仅包括经典的教材和专业书籍，还包括数学家传记、数学科普读物、数学史等。这些书籍同样至关重要，它们既能激发我们对数学的兴趣，又能加深我们对某些关键数学概念（如极限、无穷大、概率等）的理解。1.数学家传记、数学科普及数学史类G. H. Hardy 《一个数学家的辩白》.人民邮电出版社 （1.0）著名数学家哈代的重要著作之一，尤其是对于喜欢纯数学的人有启发。 保罗·哈尔莫斯. 《我要作数学家》（I Want to Be a Mathematician).江西教育出版社 （1.0） Paul R. Halmos以他在许多数学领域的研究著称于世，其中包括泛函分析、遍历理论、测度论、布尔代数等，他也是一本著名测度论教材(https://book.douban.com/subject/35726267/）的作者。在研究生阶段，我阅读了这篇传记作品，内心充满了无比的喜悦。作者对于数学的浓厚的热情，深深感染了我，让我对于数学更加着迷。https://book.douban.com/subject/35726267/ R.柯朗等著. 《什么是数学》.复旦大学出版社. (1.5)本书是世界著名的数学科普读物，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。在前面的文章中，我已经谈到过这是对笔者大学期间数学方面影响最大的一本书之一，如今有了新版而且有相应习题解答。莫里斯·克莱因. 《古今数学思想》. 上海科学技术出版社 (1.2)《古今数学思想》是由美国数学史家、数学教育家与应用数学家莫里斯·克莱因（Morris Kline）创作的一本关于数学史的经典名著。这本书自初版以来，其影响力一直长盛不衰。克莱因在书中阐述了从古代直到20世纪头几十年中的数学创造和发展，特别着重于主流数学的工作。他详细地提及了各个历史时期的数学家，特别是著名数学家的贡献，并深入探讨了数学思想的来源以及数学与其他自然科学，尤其是力学、物理学的关系。这本书不仅详细记录了数学的发展历程，还深入探讨了数学思想的演变，对理解数学的历史和哲学意义具有重要价值。有点可惜的是，其中不包含随机数学(概率论与随机过程）的部分。 Mario Livio. 《数学沉思录:古今数学思想的发展与演变》.人民邮电出版社. （1.2）这是著名天体物理学家和科普作家Mario Livio所著的一本探讨数学历史和思想的书籍。该书回顾了数学从古至今的发展历程，揭示了数学思想是如何影响人类文明和科学进步。其中解释了数学究竟是发明还是发现的问题，另外其中讲解阿基米德的《方法论》部分也让人印象深刻。陈希孺. 《数理统计学简史》. 湖南教育出版社本文所推荐的经典书籍基本都是外国人编写的，但是钟开莱先生的概率论与陈希孺先生数理统计相关书籍却是达到国际水准的经典。除了陈希孺先生的数理统计学多本教材外，我还特别推荐他的这本《数理统计学简史》，其实也是一本概率统计史，非常有助于培养“统计思想”。为这本书，我还在豆瓣上专门写了一篇书评（https://book.douban.com/review/4557864/）。本书原来由湖南教育出版社出版，现在有售的是哈尔滨工业大学出版社出的版本。https://book.douban.com/subject/1522839/L.戈丁. 《数学概观》.科学出版社. （1.2） 作者在本书中论了数论、代数、几何及线性代数、极限、连续性及拓扑学、微分、积分、级数和概率等多个数学分支. 其中第一章（模型与现实）及第十二章（数学的社会学、数学的心理学和数学教学）尤其值得阅读。 A.D.亚历山大洛夫等.《数学：它的内容、方法和意义》.科学出版社. （1.0）这是由前苏联数学家A.D.亚历山大洛夫和A.N.雷伯尼克主编的一部大型数学科普著作。该书集合了多位苏联著名数学家的智慧，以深入浅出的方式，全面介绍了数学的各个分支及其在现代科学技术中的作用和意义。内容精练，由浅入深。概率论部分是由著名数学家柯尔莫果洛夫（A.H.Kolmogorov）撰写。2. 微积分与数学分析小平邦彦.《微积分入门》. 人民邮电出版社(1.8)小平邦彦是日本数学家，菲尔兹奖和沃尔夫奖得主，本书是作者晚年创作的经典微积分著作，其特点在于突出“严密”与“直观”的结合，并重视数学中的“和谐”与“美感”。R.柯朗，F.约翰. 《微积分和数学分析引论》. 科学出版社（2.0）共两卷四分册。如果是物理方向的学生，这套微积分与数学分析教材是我最为推荐的一套，因为诸如第四章“在物理和几何中的应用”这样的章节在其他教科书中是很少出现的。本书特别强调概念的直观与明晰，在涉及到理解的细微之处绝不含糊，却不重无关大体的完备。本书采取研讨式而不是中国教科书演绎式的介绍方式。G.H. Hardy.《纯数学教程》 人民邮电出版社（2.5）百年经典，20世纪初数学分析领域的奠基性著作。虽然作者哈代于1947年已经去世，但是这本书到现在也完全不过时，这就是数学的魅力。陶哲轩. 《陶哲轩实分析》. 人民邮电出版社 (2.5) 《陶哲轩实分析》是一本强调严格性和基础性的实分析教材，其内容涵盖了从数系的结构和集合论到Lebesgue积分的全面知识。书中的习题与正文内容紧密相关，有助于读者更好地理解和掌握知识。适合于学过基础微积分的人进一步深入学习实分析。以上是四本教材，以下这本是推荐必看的重要参考书：辛钦著，齐友民译.《数学分析八讲》.人民邮电出版社（2.0） 辛钦是前苏联数学家和数学教育家，是现代概率论的奠基人之一。本书通过八个小讲座分别讲解连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开和微分方程等八个方面，能加深我们对这些基本概念的理解。以下这三本是微积分历史科普书，可以帮助理解基本概念：William Dunham著.李伯友等译.《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》.人民邮电出版社 （1.0）David M. Bressoud著. 陈见柯等译.微积分溯源：伟大思想的历程. 人民邮电出版社(1.0)卡尔.B.波耶著，唐生译.《微积分概念发展史》. 华东师范大学出版社（1.0）
3. 线性代数
David C. Lay. 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）（1.0）David Lay的著作以易懂著称，比较适合初学者. 此书有英文影印版和中文版。每章有习题且有部分习题答案。Gilbert Strang《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications） (1.0)这本书由MIT的著名教授Gilbert Strang撰写，以清晰的逻辑和丰富的应用实例著称。其实若是单独作为教材我是不太推荐的，最有价值的是网上能找到Gilbert Strang的讲课视频，这是非常难得的学习材料，可以结合教材使用。Sheldom Asler《线性代数应该这样学(第3版)》.人民邮电出版社.（2.0）公认的阐述线性代数的经典佳作，被全球40多个国家、300余所高校采纳为教材。抛弃晦涩难懂的行列式，从向量空间和线性映射出发描述线性算子。包含习题和大量示例，提高学生理解和熟练运用线性代数知识的能力。斋藤正彦.《线性代数入门》.人民邮电出版社（2.0） 日本长销的线性代数入门名著，书后有习题答案，适合自学。本书去年才由图灵翻译出版，值得关注。Peter D. Lax. 《线性代数及其应用》. 人民邮电出版社. (2.8) 这本书跟D.C. Lay的书是同样书名，但是难度其实不是一个级别，适合作为高等线性代数教材使用。作者是Peter D. Lax教授是阿贝尔奖和沃尔夫奖得主。每章都有习题，并提供解答。https://book.douban.com/subject/3309541/
4. 概率论
钟开莱 《初等概率论（第4版）》（Elementary Probability Theory）.世界图书出版社 （1.2）钟开莱（1917～2009）是著名华裔数学家、概率学家，被誉为美国”概率教父”。《初等概率论》是一部介绍概率论及其应用的入门教程。第4版特别增加了两章讲述应用和数学金融，传承前面版本详细、严谨的风格，讲述了有价证券和期货理论的基本知识。但是作为非金融数学方向的读者可以略去。本书第8章（From Random Walk to Markov Chains）是笔者读到的讲马尔科夫链最清晰明了的教材。每章有习题且配有答案。遗憾的是本书原来好像有中文版，现在却不容易找到。值得说明的是，作者还有一本基于测度论的《概率论教程》，难度为2.0，不适合作为概率论入门教材。Sheldom Ross（罗斯） 《概率论基础教程》(A First Course in Probability) （1.5）本书是全球高校采用率最高的概率论教材之一，初版于1976年，多年来不断重印修订，最新好像已经到第九版。本书叙述清晰，例子丰富，有助于学生建立概率直觉。每章都有习题和理论练习，可能显得有些多，有些也会有点简单重复，但是若能坚持做完也会很有收益。书后有部分习题答案，网上能找到全部习题解答，适于自学。Dimitri P. Bertsekas等著. 《概率导论（第2版修订版）》 人民邮电出版社（1.5）本书基于麻省理工学院开设的概率论入门课程编写，内容全面，例题和习题丰富。习题有答案，适于自学。本书的特点是从一开始就同时介绍概率的贝叶斯和频率这种视角，并且有两章分别介绍频率派统计与贝叶斯统计。一章介绍马尔科夫链，一章介绍伯努利过程和泊松过程（相对一般概率论书籍独特的一章）。国内读者可能感到稍微不适的地方是本书并没有单独一章介绍期望与方差，而是融合在随机变量章节中进行介绍。以上教材建议3选2， 建议将钟开莱教授的那本作为必选，然后另选一本。William Feller（威廉·费勒）《概率论及其应用》.人民邮电出版社（2.5） 本书分1/2两卷，第1卷为普通概率论内容，第2卷为高级部分。本书本书是十分经典的概率论教材，曾经影响了包括中国在内的世界各国几代概率论及其相关领域的学生和研究者。配有丰富的例子和大量的习题，涉及多个领域的应用，极具启发性。陈希孺先生编有所有习题的详细习题解答。本书是数学概率论的集大成之作。E.T. Jaynes (杰恩斯)《概率论沉思录》. 人民邮电出版社 （2.5）对于是否推荐这本书，我其实曾有一定犹豫，主要是自己翻译了这本书。后来觉得本着举贤不避亲的精神，还是应该将其列出来。资深计算机技术和概率统计专家凯文·范霍恩(K. S. Van Horn)认为本书是 20 世纪最重要的概率论著作之一。恐怕将本书看做费勒《概率论及其应用》之后的最重要概率论著作也不为过。本书以与费勒的书不同，采用科学和逻辑的视角，将概率论视为布尔逻辑的扩展与科学的逻辑。本书也是客观贝叶斯主义概率论的代表著作。Kolmogorov.《概率论基础》(Foundations of the Theory of Probabiltiy）(3.0)这本书的中文版叫《概率论基本概念》，已经很难找到。反而是英文版Foundations of Probability Theory比较容易找到。本书就是作者将概率论变成一门数学的奠基之作。这本书很薄，读者可以通过这本书体会什么是3.0级别的数学书籍。
