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基于临界状态土壤中空心圆柱体排水扩展分析的半解析解
Semi-analytical solution for drained expansion analysis of a hollow cylinder of critical state soils
1. 主要摘要
本文提出了一种适用于临界状态土壤中空心圆柱体的排水扩展分析的半解析解。考虑了应力依赖的弹性模量，本文采用小应变假设开发了弹性区的新解析解。在塑性区，扩展响应被转化为一组一阶偏微分方程（PDEs），并采用欧拉与拉格朗日描述相结合的方法提出了新的算法来解决这一复杂的边界值问题。研究结果清楚地展示了有限外边界引发的非自相似行为，并指出其与无限土体中扩展行为的显著差异。本文提出的解法为验证先进数值技术提供了基准，同时也可用于研究小型校准室压力计测试中的有限边界效应。
2. 引言
空腔扩展理论涉及圆柱或球形空腔扩展引起的应力和位移变化，广泛应用于压力计测试、锥形渗透测试、桩基承载力估算等领域。然而，以往的研究主要集中于无限土体中的扩展问题，这种方法在处理有限外边界效应时并不适用。特别是在压力计测试等小型校准室实验中，外边界效应对扩展行为产生了显著影响，导致不同位置的土体点沿不同的应力路径变化。因此，本文提出了一种新的半解析解法，用于解决有限外边界下的排水扩展问题。
3. 主要内容
1. 问题定义与假设：本文研究了在初始状态下承受水平和垂直应力的无限长中空圆柱体的排水扩展行为。在进行扩展分析时，假设土体为均匀且各向同性的临界状态土壤模型，如Cam-Clay模型。该问题在竖直方向上采用平面应变条件，即假设没有竖向位移。中空圆柱的初始半径分别为$a_0$（内半径）和$b_0$（外半径），当内部压力逐渐增大时，内外半径逐渐扩展，产生应力和变形。
2. 临界状态土壤模型：为了全面捕捉土体在不同工况下的应力-应变响应，本文选用了三种常见的临界状态土壤模型：
（1)原始Cam Clay模型（OCC）：主要用于描述土体在压密和剪切过程中的变形行为。OCC模型具有较好的可塑性，用于解释土体在达到临界状态时的应力路径。
(2)修正Cam Clay模型（MCC）：MCC是OCC的改进版，它能够更准确地模拟不同应力状态下的土体行为，尤其是对于过固结状态的土体。在MCC模型中，体积膨胀的过程被更好地描述。
(3）粘土和砂土模型（CASM）：CASM适用于描述不同类型土体（如粘土和砂土）的行为，扩展了Cam-Clay模型，使其能够处理不同材料的多样性。CASM通过调节两个材料常数来控制屈服面的曲率和其与临界状态线的交点。
每种模型的关键在于描述土体在扩展过程中的应力和体积变化规律，以及临界状态线（CSL）和正常固结线（NCL）的关系。这些模型用于分析中空圆柱扩展时的不同应力路径和变形响应。
3. 弹性区的解析解：在弹性区，假设应变较小，因此采用了小应变假设。本文导出了弹性区的应力和平衡方程，并推导了位移的解析表达式。具体分析了弹性模量随应力变化的影响，并考虑了外边界效应如何改变应力场的分布。
弹性区的应力平衡方程被表达为应力在径向方向上的变化与圆柱内外半径变化的关系。通过求解应力平衡方程，得到弹性区的径向应力、圆周应力和竖向应力的解析表达式。位移的解析解则通过应力和变形之间的关系，结合边界条件得出。由于弹性模量依赖于应力，整个弹性区的应力和位移分布呈现出非线性特征，尤其在考虑外边界效应的情况下，表现出与无限土体扩展问题显著不同的行为。
4. 塑性区的PDEs求解：当土体进入塑性区时，使用了更复杂的偏微分方程组（PDEs）来描述应力、应变和体积变化的关系。本文采用了欧拉和拉格朗日描述相结合的方法来求解这些偏微分方程。通过拉格朗日方法跟踪材料点的运动，使用欧拉描述来捕捉不同时间步长下的应力状态变化。
5. 特殊情况的讨论：本文还讨论了两种特殊情况：
（1）自相似扩展问题：当外边界趋于无限时，所有土体材料点的应力和变形路径相同，扩展过程表现为自相似行为。在这种情况下，问题简化为常规的扩展问题，可以通过常规方法求解。
（2）摩尔-库仑材料的弹性-完全塑性扩展：对于摩尔-库仑模型，假设土体材料具有固定的弹性模量和屈服面，能够得到弹性-完全塑性问题的解析解。本文通过对摩尔-库仑模型进行适当的调整，推导出了该问题的半解析解。
4. 主要结论
本文提出的半解析解法能够有效解决有限外边界条件下的排水空腔扩展问题。通过分析不同土体的扩展行为，研究发现有限外边界对扩展行为有显著影响。该方法为小型校准室中的压力计测试提供了理论支持，也为解决其他非自相似扩展问题提供了通用框架。
5. 主要结果图
6. 参考文献
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一区TOP期刊《Energy》—ANSYS与COMSOL电磁-热耦合模型对比分析
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一区TOP期刊《Energy》— COMSOL模拟考虑沉积压缩效应的天然气水合物降压开采储层物理和力学特性的演变
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