CMES本期精选文章“Phase-Field Simulation of Sintering Process: A Review”（综述：烧结过程的相场模拟）。
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1. 前言
本文全方位综述了相场烧结模型的最新研究进展，如图1所示。第2节对基于能量的相场烧结模型进行了总结。第3节介绍了基于巨势的相场烧结模型。第4节探讨了基于熵的相场烧结模型。第5节提供了关于相场模拟在增材制造领域的研究进展的见解。第6节概述了相场模型的数值解法。最后，第7节总结了全文并概述了对未来研究方向的展望。
图1：不同的烧结相场模型（PFM）示意图
2. 基于能量的相场烧结模型
2.1 相场烧结模型的基本公式化
如图2所示，孔隙可以从界面上脱离并进入晶粒内部（在六边形框内），或者从晶内空隙转化为晶界上的孔隙（在方形框内）。四个晶粒或三个晶粒的交界处的孔隙往往会演变成两个晶粒交界处的孔隙（在菱形框内）。
图2：多孔CeO2相场模拟中不同时间点的孔隙运动演变
2.2 具有各向异性界面能的相场烧结模型
图3展示了在相同时间步长下，具有各向同性 (ð=0) 和各向异性 (ð=0.4) 晶界能量的晶粒生长形态。与具有各向同性晶界能量的多边形晶粒的均匀生长相比，各向异性机制下的生长倾向于沿着固定的方向发生，从而形成板状晶粒。
图3：Al2O3多晶形态的相场模拟在相同时间步长下具有（a）各向同性和（b）各向异性晶界能量
2.3 具有各向异性扩散机制的相场烧结模型
图4比较了具有和不具有方向依赖性扩散机制的两个六边形晶粒的烧结形态。可以观察到，在标量扩散机制下，尽管晶粒表面逐渐变平，但整体晶粒形态与烧结平衡状态显著偏离。
图4：在（a）标量和（b）张量扩散机制下的两个六边形晶粒的烧结形态变化
2.4 具有粒子刚体运动的相场烧结模型
图5比较了两个大小相同的粒子和两个大小不同的粒子在1800K温度下的刚体运动速度分布。当粒子大小相同时，粒子在相反方向上保持相等的平移速度大小。垂直方向的平移速度和围绕质心的旋转速度可以忽略不计，而水平方向的平移速度使粒子向晶界移动，促进结构致密化。当粒子大小不相等时，较小的粒子显示出更大的平移速度，而较大的粒子围绕质心的旋转速度更大。平移速度也始终迫使粒子向晶界移动，加速较小粒子的消失。
图5：同等大小的粒子和不同大小的粒子之间的粒子刚体运动速度比较：（a和b）水平速度分量，（c和d）垂直速度分量，（e和f）围绕质心的旋转速度
2.5 具有应力/应变场的相场烧结模型
在烧结过程中，微观结构内通常存在内部应力。为了解决这个问题，需要将相场烧结模型与力学平衡方程耦合。
图6：钨粒子在压力下的相场模拟：（a）2D模拟中的施加位移边界条件；（b）不同时刻钨粒子的烧结形态
2.6 具有粘流的相场烧结模型
与晶体材料中的固态烧结不同，粘流烧结不涉及粒子之间的晶界形成。相反，粘流烧结通过材料的粘流来实现致密化。
2.7 具有温度场的相场烧结模型
在烧结过程中，微观结构内可能存在温度变化。因此，需要考虑烧结过程中的热传导。
2.8 具有外部电场的相场烧结模型
图7展示了在自下而上的电流作用下，多孔银的形态演变情况，其中表面能与晶界能的比值分别为1和1.44。显然，外部电场的施加引起晶界和孔隙沿电流方向向上迁移。随着这两个界面能的比值增加，平均晶粒尺寸增大，孔隙迁移速度加快。在阴极附近发生的孔隙大量聚集导致孔隙之间相互连通，从而使固体银与阴极分离。
图7：施加表面能与晶界能之比为（a）1.0和（c）1.44的电流后的微观结构演变，以及（b）和（d）电流密度分布
2.9 多相和多组分相场烧结模型
如图8a所示，铁粒子通常与较小的铜粒子混合，铜粒子附着在铁粒子的表面上。随着烧结的进行，铜粒子逐渐与铁粒子形成烧结颈，并最终被完全吸收。图 8b中铜浓度场的演变表明，最初铜浓度在表面的铜粒子中最高；随着铜粒子逐渐被铁粒子吸收，铜浓度从表面逐渐扩散到铁粒子的内部。
图8：（a）Fe-Cu颗粒的烧结形态和（b）不同时间Cu浓度分布的演变
2.10 多物理耦合相场烧结模型
图9a描述了在模拟中施加的边界条件，其中左右两侧经历恒定的压缩应力和随时间线性增加的温度，而顶部和底部边界是无应力和绝热的。图9b说明了热压烧结过程中微观结构浓度场和烧结颗粒形貌的演变。
图9：热-力-扩散耦合相场烧结模型的基准：(a) 模拟设置的边界条件; (b) 烧结过程中浓度场和SiC颗粒形貌的演变
3. 巨势相场烧结模型
在基于能量的相场烧结模型中，其局限性主要是过量化学势对界面能和界面厚度的影响。通常，这会导致平衡界面非常薄，当模拟大规模微观结构的演变时，会带来巨大的计算成本。因此，研究人员引入了基于巨势最小化的相场模型。这种方法通过在巨势空间中投射热力学能量来解耦界面能和界面厚度。它允许独立调整体积和界面特性，使界面厚度与驱动力无关。因此，这种方法能够高效地模拟大规模微观结构的演变。
图10：不同扩散机制下的晶粒几何形状的比较
4. 熵基相场烧结模型
图11说明了在非等温条件下温度梯度和曲率之间的竞争关系对晶界运动的影响。
图11：非等温条件下晶界运动的机制：（a）导致向左运动的曲率驱动力的主导地位，以及（b）导致向右运动的温度梯度的主导地位
5. 相场模拟在增材制造中的应用
金属增材制造涉及多种物理过程，如热质传递、相变、晶粒生长和熔融金属流动。微观结构演变中影响因素的复杂性对增材制造中的合金设计和性能控制构成了挑战。相场方法利用序参量描述各种复杂的微观结构，包括气液固相，晶粒形状/方向，并且可以直接结合描述各种物理过程的场变量（如应力/应变、熔融速度、温度、浓度、电场/磁场等）。该方法在增材制造过程中的结构模拟和机制探索中展现了巨大优势，这对于提高增材制造产品的质量和降低成本至关重要。
6. 相场方程的数值解法
相场模型由一组非线性偏微分方程（PDEs）组成，这些方程通常缺乏解析解，需要通过各种方法进行数值解法。目前最常见的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法。
7. 概述与展望
相场方法无疑已成为模拟烧结过程中微观结构演变的核心方法之一。基于能量的相场烧结模型通过在自由能泛函中引入额外的能量项，可以轻松实现与其他物理场的耦合。同时，基于广势能最小化的相场模型通过在广势能空间中投射热力学能量，实现了界面能与界面厚度的解耦。以下简要概述了该研究领域中的一些挑战和机遇。
1）补充相场模型参数。
2）定量验证相场模拟结果。
3）相场建模结果的多尺度模拟。
4）全尺度相场模拟。
5）相场模拟与数据驱动方法相结合。
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