CMES本期精选文章“Review of Collocation Methods and Applications in Solving Science and Engineering Problems”（配置法及其在解决科学与工程问题中的应用综述）。
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1. 背景
通过在问题域内选择适当的配置点或离散点，将工程问题转化为一系列代数方程，从而实现问题的数值求解。对于给定的微分问题，配置方案常常能得到最有效的实用数值结果。
图1:配置法的主要应用学科
2 配置法的原理
配置法是一种强制控制方程中每个配置点产生的残差为零的数值方法。因此，配置法的优点在于简单、实现方便、效率高。而其缺点主要表现在计算不稳定、求解精度较低、收敛速度慢。
2.1 近似方案
1)移动最小二乘(MLS)近似
2)内核近似
3)多项式基近似
4)广义有限差分近似
3 固体力学中的配置法
为了研究固体力学的行为机制，人们对配置法给予了相当大的关注。以无网格特性而闻名，配置法已广泛用于模拟弹性、塑性、断裂力学和多场耦合问题。
3.1 弹性与塑性
弹性和塑性力学一直是工程领域中的基本挑战，涵盖了材料的弹性行为到塑性变形和破坏的各个方面。配置法作为一种非常有前景的数值方法，在解决与弹性和塑性固体力学相关的问题方面展示出了极大的潜力。配置法通过分布的点（也称为节点或配置节点）离散化结构，在处理复杂几何体和材料异质性时更加灵活。因此，这些特性成为研究材料弹性和塑性的强有力工具。
3.2 梁、板和壳体结构
梁、板和壳体结构的分析与设计一直是工程问题中的关键任务。它们广泛应用于航空航天、桥梁、船舶和各种机械系统中。全面了解和优化这些结构的行为对于确保其性能、安全性和可持续性至关重要。为此，已经发展了各种相应的理论，包括一阶剪切变形理论和高阶剪切变形理论。配置法作为一种强大的数值工具，在解决与梁、板和壳体结构相关的工程问题中发挥着关键作用。与传统的有限元方法不同，配置法不需要网格，能够更灵活地处理复杂的几何形状和边界条件。这使得它们成为探索这些结构元素的变形、热传导、振动等问题的理想选择。
3.3 断裂分析
在材料科学中，断裂行为一直是一个重要的研究领域，它影响着结构的可靠性和安全性。配置法具有无网格的特性，可以更轻松地处理复杂的几何形状和裂纹传播过程。此外，它还消除了与网格生成和重网格化相关的复杂性，因此在预测裂纹传播、裂尖行为和应力强度因子方面具有卓越的灵活性和精确性。
3.4 耦合多物理问题
多场耦合问题涉及多个物理场之间的相互作用，包括弹性、热、电、磁场等。配置法则非常适合解决多物理场问题，可以有效地模拟多物理场的行为。
4 配置法在热传导和流体流动中的应用
热传导和流体动力学是重要且不可避免的工程问题。对于传热问题，配置法可以通过数值离散化和逼近技术有效地模拟复杂的传热现象，如传导、对流和辐射。对于流体流动问题，通过将其建模为微分方程并应用适当的数值技术，配置法能够有效地处理流速、压力分布和流体特性等各种关键方面，在提高工程系统设计和优化其性能中起着关键作用。
5 配置法的最新进展
1）单元微分法（EDM）
2）自由单元配置法（FrEM）
3）区域Galerkin自由单元法（ZGFREM）
4）有限线法（FLM）
6 演示示例：
6.1 二维平板的热传导分析：考虑一个由均匀材料构成的二维平板，其几何形状和边界条件如图2所示。
图2：二维平板的模型
6.2 波纹夹层结构：为了更好地展示配置法的性能，我们提供了一个数值示例，用我们研究团队提出的区域Galerkin自由单元法来预测波纹夹层结构的响应。该问题涵盖了传热、固体力学和热力耦合等方面。本示例中使用的区域分布如图3所示。
图3：波纹夹层结构的模型（a）几何构造（b）前视图（平面y = 0）
7. 结论和展望
本文对配置法的起源、发展和应用进行了概述。简要介绍了配置法的原理和一些常用的近似技术。与具有积分运算的数值方法相比，配置法处理的更加直接，并且由于其基于节点的特性，配置法成为处理大变形、冲压过程和爆炸问题等的强大工具。本文还总结了一些提高配置法稳定性的技术。此外，配置法可以与一些高精度方法结合使用，发挥各自的优势。
迄今为止，配置法仍然存在一些具有挑战性的工作需要完成，对于未来的研究方向，可以总结以下几点建议：
(a) 配置法由于其独特的逐节点特性，为进行并行高性能计算提供了一条途径。
(b) 利用等几何配置法在计算机辅助设计（CAD）建模中的优势。
(c) 将配置法与其他高精度数值技术相结合，可以发挥各自的优势，确保高精度和高效率。
(d) 将碰撞方法与机器学习等人工智能技术相结合，可以提供一个有趣的研究课题。
(e) 开发以配置法为核心的商业软件包，可以促进其在工程和科学界的广泛应用。
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CMES 期刊介绍
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主编：
Prof. Shaofan Li
University of California-Berkeley
Prof. Loc Vu-Quoc
University of Illinois at Urbana-Champaign
Prof. Kun Zhou
Nanyang Technological University
2022 Impact Factor | 2022 Citescore |
2.4 | 3.5 |
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