量子力学之波动力学(下)

图7 玻恩 1926 年碰撞文章 p.865 页上的截图。对薛定谔波函数的诠释出现在脚注中

根据薛定谔理论，处于状态n的原子就是一个振动过程，其有频率为的处于全空间的状态量。直线运动的电子是这种振动过程的特例，对应平面波。原子—电子薛定谔问题的解要渐近地过渡到传播方向上的平面波。设原子未扰动的本征函数为，直线运动的电子的本征函数为，其中波长根据德布罗意理论同电子的动能相联系，。对于电子自z方向来的状态，波函数为。经过相互作用后在z→∞下的渐近行为应是上述函数。散射的波在无穷远处的渐近形式可表示为

其中波长λ_nm联系着的能量为，是未受扰动的原子的频率(差)。

Wahrscheinlichkeit selbst aber breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz (粒子的运动遵从概率规律，但概率自己以同因果律相协调的方式传播)”的说法即来自此文。此句的流行英文译法为“The motion of a particle follows probability laws but the probability propagates according to the laws of causality”。

(2) Max Born, Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik (量子力学的不可逾越原理)，Zeitschrift für Physik 40, 167—912(1926). Adiabatic，不可通过的、不可逾越的，不是流行汉译的绝热！此文是玻恩关于量子力学之统计诠释的进一步发展，指出量子力学不是要回答“粒子如何运动(wie bewegt sich ein Teilehen)”的问题，而是“粒子以特定方式运动的概率多大(wie wahrscheinlich ist es, daß ein Teilchen sich in gegebener Weise bewegt)”的问题。德布罗意—薛定谔波…以其模平方决定粒子处于与波相对应的运动状态的概率 (diese de Broglie-Schrödingerschen Wellen…bestimmen durch das Quadrat ihrer Amplitude die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Teilehen in dem der Welle entsprechenden Bewegungszustand vorhanden ist)。

{特别地，在第二节中狄拉克引入了δ-函数。这个函数，如果就定义而言，爱因斯坦在1907年就为统计物理引入了，庞加莱1912年也用过了。这里，狄拉克给出了这个函数的新定义xδ(x)=0，以及它应该满足的很多性质，比如其应满足的矩阵乘法等。又比如，当使用那些变量范围连续的矩阵时，用δ(x)表示单位矩阵的元素，有1(αβ)=δ(α-β)。将δ-函数命名为狄拉克函数不过分。具体内容此处略。感兴趣的读者请阅读这一节的原文，内容比教科书中能见到的更多、更深刻}。

(2)运动方程。如果g是含时的，则是。{这个方程后来被称为海森堡方程。狄拉克1925—1926年得到的几个结果都被用海森堡命名了}；

满足这些条件的矩阵系统一般来说不是唯一的，由正则变换而来的G=bgb^-1仍要满足g所满足的代数关系。如果矩阵不是时间的显函数，则还有，皆满足运动方程这一点得到了保证。若b与H对易，则变化得到的哈密顿量仍是对角的；如果b^*=b^-1，则变换保厄米性。当然了，G=bgb^-1的行、列的排列变动一下不妨碍满足前述四个条件。{笔者是在撰写《得一见机》之唯一性一章时学到的这些}。G=bgb^-1这样的写法暗含着G，g的行列有一一对应，其实这是没必要的事儿。可以为G，g选用两套不那么关联的(quite unconnected)标签，比如分别用记号ξ_r，α_r。{符号混乱是狄拉克初期的量子力学论文特色之一。不奇怪，因为他是在创造一门新学问}。

，有共轭动量为，满足：

取F=ihlogf，即得。{这个F=ihlogf，类似的函数在玻尔兹曼的熵公式、薛定谔构造波动力学过程中公式都可见到。}

其表示一个算符作用到变换函数(ξ'/α' )上。逆变换为。此变换提供了一个得到让任何特定动力学变量之函数为一对角矩阵的表示矩阵体系的有效办法。对于一给定的函数F (ξ_r, η_r)，我们想让其在矩阵体系(α)中是对角的，。这样，就要求：

当ξ, η就是通常的q, p，而F是哈密顿量时，就是薛定谔波方程！薛定谔波方程的本征函数就是变换函数，其让q-矩阵表示体系变换到哈密顿量是对角阵的矩阵表示体系 (The eigenfunctions of Schrödinger’s wave equation are just the transformation functions that enable one to transform from the (q)scheme of matrix representation to a scheme in which the Hamiltonian is a diagonal matrix)，见图8。{愚以为，这句话应该写入任何一本量子力学教科书}。

7 与其他方法的比较

从矩阵理论获得物理结果的方法与波函数模平方在一些情形下决定概率的假设相一致。考察某一系统，其初始哈密顿量不含时间。现在加一含时扰动。为了计算扰动带来的跃迁概率，首先要得到未扰动系统的本征函数ψ₀(α' )，其中的α是未扰动系统的积分常数。若ψ_t(α') 是初始值为ψ₀(α' )的扰动系统的本征函数，作展开，其中系数c(α″α' )仅是时间的函数，则|c(α″α' )|²dα″是初始时处于状态(α' )的原子在时刻t时各量α_r处于之间的状态的概率{这是量子力学概率诠释之一}。

薛定谔为哈密顿量H(q, p)引入了波方程，其中，这对应经典力学的Hamilton—Jacobi方程。引入替代S=εlnφ，方程可改写为

若有自p, q正则变换而来的新变量P, Q，从而有，相应地有方程。那么，ψ(x)与φ(y)之间是什么关系？对这个问题的研究包含量子规律之间的一般形式关系，当前由其他理论所确立的形式事实都是特例。其他三种理论都会得到与矩阵理论相同的公式，但他们三者之间的内在本质的联系(eigentliche innere Verbindung)却没有厘清。研究理论间的形式关系可以发展泡利的一个思想，即将量子力学规律作为某些简单的统计假设的结果这样来建立量子力学 (die quantenmechanischen Gesetze als Folgerungen einiger einfacher statistischer Annahmen zu begründen)。泡利沿着玻恩的思想，建议这样为薛定谔的本征函数赋予物理意义。φ_n(q)是归一化的，则|φ_n(q)|²dq是当系统处于状态n时坐标q在间隔q→q+dq中的概率{这得算是波函数的泡利诠释。当时泡利在汉堡大学或苏黎世}。与此对应的是玻恩将不含W{能量}的解理解为|c_n(t)|²是在给定时刻t 系统处于状态n 的概率(图9)。

泡利把φ(q)扩展到含参数的情形，φ(q, β)的情形。|φ(q₀, β₀)|²dq是系统当β的值为β₀时q在间隔q₀→q₀+dq中的概率。泡利称φ(q, β)为概率幅(Wahrscheinlichkeitsamplitude)。预期有公设：(I)函数φ(q, β)与系统的哈密顿量无关，只由q, β之间的运动学关系决定；(II)若ψ(Q₀, q₀)是当q=q₀时Q=Q₀的概率幅，则概率幅ψ(Q₀, β₀)有。这是关于概率幅的矩阵乘法。概率幅的这种组合规则可暂时理解为概率的干涉(Interferenz der Wahrscheinlichkeiten)。直接拿概率按矩阵乘法组合的算法出现在两类特例中，一类出现在非相干的情形[Max Born, Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik，Zeitschrift für Physik 40, 167-912(1926); P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc. (A) 112, 661—677(1926)。收稿日期为1926年8月26日]，一类是共振的情形。

公设B：函数和对应交换的力学量对β, q，则，。

公设C：概率以干涉方式组合(Die Wahrscheinlichkeiten kombinieren interferierend)。记F₁, F₂为两个物理事件，其概率幅分别为φ₁, φ₂。若F₁, F₂是互相排斥的，则φ₁+φ₂是“F₁或F₂”的概率幅；而若F₁, F₂是互相独立的，则φ₁φ₂是“F₁与F₂”的概率幅。再加上用概率幅的矩阵乘法推导出正交关系，最后可得若ϱ(x, y)=e^-xy/ε，，其是当q取y时p取值为x的概率幅。概率的补充幅也是e^-xy/ε。因此，有定理：对于任意给定的q值，p所有可能的值都是等概率的(Bei einem gegebenen Wert von q sind alle möglichen Werte von p gleich wahrscheinlich)。{这是所谓的不确定性原理的滥觞，比海森堡那篇文章的投稿日期1927年3月23日要早得多。关键是约当的文章要更深刻、严谨，所以普罗科学大众不感兴趣。参阅《物理学咬文嚼字》044：Uncertainty of the Uncertainty principle。}

若当q=y时Q=x的概率幅是φ(x, y)；当p=y时Q=x的概率幅是Φ(x, y)，有φ(x, y)=。{此为变换理论的精髓。形式上是矩阵乘法。}

记线性算符，前式可写成，应满足方程{此处负号没验证}：

据此赋予量Q以算符x，则与Q对应的动量P所对应的算符为。还是用p, q标记P，Q，有对易规则(图10)。一般的线性算符都可以写成算符x和算符的和与积的形式。{此处就是约当得到对应算符x的动量算符为的推导过程。笔者不是很明白。此外，一般量子力学教科书谈及算符x和算符的关系时，从不谈论它们作为算符的作用对象的性质，不知为什么。数值，q-数和算符，文献中的表示都挺乱的。顺带说一句，数学大神希尔伯特和库朗的经典著作《数学物理方法》当然是由库朗捉刀的，而约当当时是库朗的助手，对这本书贡献颇多。若不是约当恰巧会那些数学，玻恩是否有能力构造矩阵力学都存疑！冥冥之中自有天意，玻恩在1924年造了量子力学一词，《数学物理方法》在1924年出版，而约当也成了玻恩的助手。量子力学是哥廷恩出品。}

对于一般的物理量F(P, Q)，有伴随物理量F ^†(P, Q)，其由将F(P, Q)表达式中的相乘的算符顺序反转然而去复共轭而来。若F=F ^†，F(P, Q)是厄米的；若FF ^†=1，F(P, Q)是正交的。若是对于，有，我们称是函数F的kontragrediente Größe {转置共轭逆，当前汉译逆步}。伴随算符可以这样得到：把所有的积表示倒过来，取复共轭，用代替。

任意的一组正则变量α，β，满足[α, β]=ε=。记T=T(p, q), α=f(p, q)=TpT ^-1，β=g(p, q)=TpT ^-1，则有方程：

其有解且解的正交性都能因正则变换而得到保障。若这里的β是时间t，则f 是哈密顿量H(p, q)。根据Born—Wiener的理论，φ和ψ^*分别是算符T, T ^-1的生成函数 {见于Max Born, Nobert Wiener, Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nichtperiodische Vorgänge (周期与非周期过程之量子规律再表述), Zeitschrift für Physik 86, 174—187(1926)。后续有机会再介绍}。函数φ(x, y)是基于α，β表达的关于T的一层矩阵(Matrix erster Stufe)。

概率表达φ(x, y)ψ^*(x, y)的对称性为薛定谔通过边界值确立本征值提供了物理基础。考察一属于“非量子化的”能量值的薛定谔函数，其在无穷的q-空间是无穷的，某有限q-值在未量子化能量下的概率是无限小的。反过来说，若q-值是无穷的，未量子化能量的概率为零{此处内容笔者未能消化。有机会应参照庞加莱的量子化是得到普朗克黑体辐射公式的充分必要条件一文(1912)仔细审视一下}。设是物理量S 基于α', β' 的算符，而φ(x, y)，ψ(x, y)分别是算符，基于α, β的概率幅，则有。若引入函数s(x, y)作为物理量S基于α', β'的概率幅，则有，这就是如何为两变量函数s(x, y)赋予一个二层矩阵的程序。接下来可以表明，状态的概率幅是一层矩阵，而跃迁概率幅是二层矩阵(更多内容，暂略)。

如约当指出的那样，量子力学除了矩阵力学和波动方程的形式，还有Born—Wiener理论和q-数理论。Born—Wiener理论出现在波动力学之前[Max Born, Nobert Wiener, Eine neue Formulierung der Quantengesetze für periodische und nichtperiodische Vorgänge (周期与非周过程之量子规律的新表述)，Zeitschrift für Physik 86, 174—187(1926). 收稿日期为1926年1月5日]。

矩阵力学对非周期运动情形失效。比如对于直线运动，坐标q的矩阵只有对角元，但是对于连续情形是不可能写出这样的矩阵的。把矩阵看作是对变量组的线性变换，，则矩阵乘法就直接看作是两个此等操作的接连实施(Dann erscheint die Matrizen-Multiplikation unmittelbar verstandlich als Aufeinanderfolge zweier solcher Operationen)。可以基于线性算符的一般概念建立起对量子规律的表示。

玻恩和维纳的量子论是发展了一种实操计算(operational calculus)，把海森堡的{q,p那样的}无限矩阵限制在分析数学的一个小区域里(to confine the infinite matrices of Heisenberg to a region of mathematics more highly developed analytically)。另一个优点是其结构可用于周期和非周期体系。可惜的是，薛定谔的波动力学一出，不久玻恩和维纳的量子论就屈服于薛定谔的简单方法了(it soon succumbed to the simpler method of Schrödinger)。笔者不同意这种表述，实际上，Born-Wiener的线性算符理论一直存活着，只是人们在使用时很少会意识到它也是需要由具体的学者发展起来的而已。

R. J. Seeger在1931年曾言道：“薛定谔方程如今成了量子力学的化身。但是，其应用之成功越是无可置疑，其可用性的诠释就越显得可疑。这已经变成了新理论的症结，因此对基本概念的激烈讨论把物理给扩展到了后物理的领域[Indeed, Schrödinger’s equation is now the epitome of quantum mechanics... But the more the success of the latter’s application is unquestionable, the more problematic is the interpretation of its usefulness. This has become the crux of the new theory so that much discussion of fundamental concepts has enlarged physics into metaphysics—R. J. Seeger, The quantum theory of Born and Wiener, Journal of the Washington Academy of Sciences 21(14), 315—319(1931)]”。这里薛定谔波动理论是相对于Born—Wiener理论而言的后者(the latter)，那个后物理学，metaphysics，标准汉译是形而上学。如果整理量子力学发展史以及量子力学应该有的内容，会发现薛定谔的方程确实一下子把此前二十多年里很多人的风头全抢走了，也难怪海森堡气愤，泡利也表示过不爽。薛定谔的波动方程大受当时对量子理论不熟悉的人们的欢迎，因为它把(它适用的)问题迅速约化为经典力学和经典电动力学里的边界值问题而无需懂什么量子力学。这正应了“越恶俗，越流行”的自然逻辑，也是没法子的事儿。后来，薛定谔1935年论文[Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik(量子力学的现状)，Naturwissenschaften 48, 807—812; 823—828; 844—849(1935)]里的猫以违背薛定谔原意的方式被玩坏了，也算是报应不爽。毕竟，愿意把物理学当作一门严肃学问的物理学家并不多。

将波动力学的薛定谔方程用于晶体，即针对满足平移对称性的势能V(x, y, z)，V(r)=V(r+n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃)，其中n₁，n₂，n₃是整数，a₁，a₂，a₃是线性不相关的三个矢量，解薛定谔方程，所得的色散关系E=E(p)，或者说E=E(k)，发现有带状结构。这就有了固体的能带理论。

时光约莫到了1986年，Sajeev John发表了Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices [Physical Review Letters 58 (23), 2486—2489(1986). 收稿日期为1987年3月5日]一文，此文开创了光子晶体研究。我猜作者是读懂了薛定谔论文的题目“量子化作为本征值问题”的，因此他把我们熟悉的麦克斯韦方程组给改造成了本征值问题的形式。这样，一块介电常数ε(r)具有平移对称性的固体，类比于电子晶体，就成了光子晶体了。此处不赘述。

先说说笔者学量子力学的真实感受之一。薛定谔波动方程的说服力来源之一是处理氢原子问题(能合理地得到nlm三个量子数及其关系)，方程的解是用球谐函数(这个汉语叫法误导性极强)和络合拉盖尔函数表示的，当时我是一头雾水——自己不会推导哇。看看教科书的写法、讲课老师的表情，他们仿佛都会的样子，这让我很焦虑。后来看了不少别的量子力学书籍，作者们也都仿佛很会推导的样子，这让我更加焦虑。及至2003年左右我不知道怎么就觉得应该看看薛定谔的原文，才发现给出波动方程时39岁的维也纳大学数学物理教授、苏黎世大学访问教授薛定谔老师在摆弄这个方程时也是需要帮助的，而提供帮助者是历史上不多的数学物理巨擘外尔。在论文第一部分363页的脚注中，薛定谔写道：“对于外尔就如何处理方程(7)所给予的指导，我非常感激(Für die Anleitung zur Behandlung der Gleichung (7) bin ich Hermann Weyl zu größtem Dank verpflichtet)”。

方程(7)就是关于径向函数的方程(图11)。氢原子具有球对称性，用空间极坐标r, ϑ, φ表示，而波函数硬当作(ansetzt)坐标r, ϑ, φ 各自函数之积，即假设变量可分离，其中依赖极角ϑ, φ的函数部分构成球面函数(Kugelflächenfunktion)，而只依赖于坐标r的函数就满足方程(7)。

图11 薛定谔 1926 年文章第一部分 p.363 上的截图

强调一句，在汉语数学、物理文献中，球的、球面的概念常常是混淆的。比如，把同平面波对应的球波(spherical wave)随口就说成是球面波。球波是充满以源为中心的、不断扩展的一个球形空间的波，。地震会造成在地表传播的波，那才是球面波。在氢原子问题中，函数的适当安装(harmony)能得到完美的球面，故而称为spherical harmonics(安装出球面的部件)。Harmony，汉语的“和谐”得算是很传神的翻译了，但翻译终究不反映原义。

极端一点说，薛定谔的波动力学是滤掉了量子思想的量子力学(请不要误解为薛定谔本人不精通量子力学)。藉由薛定谔方程开始的量子力学学习，很难明白量子力学从哪儿来，以及它为什么(不)正确了。希望本系列对1926年以前和以后的量子论、量子力学的回顾能为这个观点提供说服力。基于薛定谔的波动方程可以解决很多物理问题，比如洪特很快就提出的量子隧穿效应，但波动方程形式的量子理论在诞生的当年就遭遇了一些固有局限。

若论精通量子力学，即理解他人的思想还自己有思想还能数学地实现，愚以为约当、狄拉克和泡利算是佼佼者，这一点连玻恩和薛定谔都稍显逊色。至于抢先一步给出引力场方程的希尔伯特，对狭义相对论和量子论的建立都给出了一锤定音式论述的庞加莱，对量子力学、相对论的表述都有贡献且创立了规范场论的外尔，那是另一类存在，所幸他们当初做物理时还没有“降维打击”一词。

论及一些物理学家的时候，时常会有某某的物理直觉特别好的说法。海森堡就常常被称赞有过人的物理直觉，仿佛海森堡光靠直觉就能在物理大家圈子里立足似的。笔者觉得，说一个人强在物理直觉好，那可能是一种委婉的表达，意思是这个人没有能力阐述他想到的某个念头，甚至别人阐述了他也未必看得懂。要论物理直觉好，爱因斯坦得算头一个，但他因数学不足应该说吃亏不少。就狭义相对论而言，关于洛伦兹变换要满足群的性质，这思想来自庞加莱；而时间、空间要结合在一起构成时空，这思想来自闵可夫斯基。爱因斯坦虽然是波动力学的启发者，但他没有能力把狭义相对论用于量子力学。爱因斯坦为了构造引力场方程，还不是静下心来跟意大利人Levi-Civita学了几年绝对微分(张量分析)。现学现卖多少有点儿不给力，所以当爱因斯坦获知希尔伯特率先给出了引力场方程时大爆粗口，也就可以理解了——挫折感会让人迅速忘了优雅。如狄拉克者，自己提出问题还自己创造数学来回答，当属异类。

在量子力学发展过程中，退化问题(Entartung，英文为Degeneration，汉译简并)就一直受到关注，但在有些文献中会因为复杂以及被认为不影响讨论而一笔带过，请读者朋友们多留心。实际上，从玻尔的原子轨道模型到索末菲的原子轨道模型，以及泡利不相容原理，实验上则是从自然光谱到塞曼效应/斯塔克效应，可看作是发现和处理退化(简并)问题的过程。退化(简并)问题是量子理论的核心问题之一。2024年6月2日我看到一个德语搞笑视频，一位妇女把她的一儿三女都命名为Hanna，我突然就明白了他们(德国、瑞士、奥地利、荷兰粗略地都可当作德语区)为什么会留意Entartung现象了。

解矩阵力学的问题，一个矩阵体系(a scheme of matrices)应该满足四个条件：(1)量子条件；(2)运动方程；(3)哈密顿算符是对角的；(4)表示(真)实变量的矩阵是厄米的。这样的矩阵体系不是唯一的。不唯一也不是无规可循啊。不唯一，也分针对什么样的事儿的不唯一，因此这不唯一之间的关系也是有讲究的，这个讲究就有物理。比如上面的a scheme of matrices，那不同的schemes中间有相似变换(必须相似啊，要不相互之间有啥关系)，那也是正则变换，G=bgb^-1。这就是量子力学变换理论的思想基础。又，一个矩阵，对角化后得到的矩阵，其对角元就是矩阵的本征值。找到一个表示，让哈密顿量是对角化的，那矩阵对角元(天然地是量子化的)就是本征值。按照矩阵力学，哈密顿量对应的矩阵H_nm应是对角的，其对角元正是系统不同状态的能量。薛定谔是读懂了这些矩阵力学内容的。反过来说，缺乏这些矩阵力学知识准备，是不好理解薛定谔的波动力学的，首先就不明白他论文题目的意思，而多年后那个读懂这篇论文的题目的人开创了光子晶体研究。

为了真正理解量子以及物质波的概念，一个关键的概念是相空间的量子化。一般原子物理、量子力学的教科书对此问题多是一笔带过，给我们学习时带来了极大的困惑。

在第一次索尔维会议(1911.10.30—1911.11.03)的文集[Paul Langevin, Maurice de Broglie(eds.), La theorie du rayonnnement et les quanta (关于辐射与量子的理论), Gauthier-Villars(1912)]中，普朗克有一篇文章[Max Planck, La loi du rayonnement noir et l’hypothése des quantités élémentares d’action (黑体辐射规律与基本作用量假设), 93—114],在第99页上，普朗克明确提出了作用的量(quantité d’action)的量子化问题，即普朗克常数h 是一维相空间体积的最小单元，(附图1)。普朗克写道，“在所有减少等概率独立区域数目的方式中，我们如此增加各个区域的范围，即实现此一变化的关于基本作用量的假设严格地有如下引入的形式，代替范围无穷小的基本区域用有限范围的区域(De toutes mannières on est conduit à diminuer le nombre des domaines indépendants d’égale probabilité: on y arrive en augmentant l’extension de chacun de ces domaines L’hypothèse des quantités élémentaires d’action réalise ce changement sous une forme précise en introduisant, au lieu de domaines élémentares infiniment petits des domaines finis d’extension)”。

附图1 普朗克收录入第一届索尔维会议文集中的文章 p.99 上的截图

玻尔1913年的氢原子轨道量子化是否受此启发，未见说明。可以肯定的是，1924年玻色假设三维相空间的体积单元为h³从而得到普朗克谱分布公式，肯定是与普朗克的这个假设一脉相承的。玻色1924年的文章没说是受了普朗克的启发，而爱因斯坦为之翻译并接着做下去的工作也都没有提及这事儿。然而，爱因斯坦应该是熟知普朗克的这个公式的，因为普朗克报告后的讨论环节第一个发言的就是爱因斯坦，或许他不肯八卦吧。笔者愚见，基于这个公式，普朗克在我心目中的形象又高大了一截，而玻尔1913年的工作和玻色1924年的工作则同时变得逊色了一点儿。普朗克这个公式的意义是，指明量子化是作用量的量子化而非能量的量子化才是量子力学的真谛。与此可媲美的，是此前玻尔兹曼认识到统计是关于能量的统计而非关于气体分子速率的统计。

其实，关于物理相空间的量子化，还有其他人注意到或使用过，都比玻尔和玻色要早。1911—1913年之间，Hugo Martin Tetrode(1895—1931)与Otto Sackur(1880—1914)独立发展了Sackur—Tetrode equation(Sackur—Tetrode等式)，此乃玻尔兹曼气体统计与熵的方程的解，见于：

(a) Hugo Tetrode, Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum(气体的化学常数与基本作用量), Annalen der Physik 38, 434—442(1912)，以及更正Berichtigung zu meiner Arbeit：Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum, Annalen der Physik 39, 255—256(1912).

(b) Otto Sackur, Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme (气体运动学理论在化学问题上的应用), Annalen der Physik 36, 958—980(1911).

(c) Otto Sackur, Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten(基本作用量子对气体理论以及化学常数计算的意义)，Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet von seinen Schülern, Wilhelm Knapp(1912)，pp.405—423.

(d) Otto Sackur，Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums (所谓基本作用量子的普适意义), Annalen der Physik 40, 67—86(1913).

具体地，Tetrode用的是n-空间相体积开n-次方的形式，(附图2)；而Sackur直接使用物理相空间的体积单元为h³(附图3)，这正是玻色后来采用的假设。