数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后。
——卡尔·弗里德里希·高斯
认为所有伟大数学家都曾是天才儿童的观点是荒诞的。在数学领域有很多大器晚成的人。但卡尔·弗里德里希·高斯不是其中之一。他的数学天分在年轻时就展露无遗。在他的黄金时代，高斯喜欢讲述这段经历：他的老师让班上所有人去计算算术级数的和，好让学生们有事可做，不会惹麻烦。这位年轻的天才推导出了这种级数的求和公式，然后马上拿着石板告诉老师他已经做完了：“Ligget se.（答案就在这里。）”但他早期的数学尝试不仅限于给老师留下深刻印象，他还是青少年时就得到了很多重大的数学发现——其中之一是我们故事中的一个主要情节。
高斯于 1777 年生于布伦瑞克，那里如今属于德国下萨克森州。因为在数学方面早早显露出天赋，他吸引了布伦瑞克公爵的注意。公爵开始授予高斯奖学金。这让高斯得以前往布伦瑞克卡罗琳学院，以及后来到哥廷根大学就读。高斯没有拿到毕业证书就离开了哥廷根，但他在那里发现了许多重要的数学成果。他从黑尔姆施泰特大学取得了博士学位。
公爵继续发给高斯津贴，这样后者就能把所有时间都投入研究中。但后来，公爵在为普鲁士军队作战时牺牲，就没有人再支付这笔钱了。因为需要工作，高斯接受了新哥廷根天文台台长的职位。他直到老年时期还在继续研究，最终于 1855 年在哥廷根过世。
不像持续发表文章的欧拉，高斯是一位完美主义者。他会暂时保留自己的发现，不断打磨，直到能发表一篇杰作出来。这些发现在被发表时一定十分成熟、极其深刻，并且令其他人难以理解；数学界经常要花上数年才能完全理解高斯的想法。高斯个人的座右铭用在这里恰如其分：宁可少些，但要好些（pauca sed matura）。数学家们不断地从高斯本人或是他留下的笔记中了解到，即便是数十年甚至数世纪之后的新数学发现，都有可能只是重新发现了高斯早已得到的某个想法。
高斯的研究领域过于广泛，我们无法一一描述。他为代数、分析、数论、几何、拓扑学、复分析、线性代数、统计学以及物理和天文学的很多领域都做出了重要贡献。
十七边形
1796 年，高斯开始记录他的第一篇数学日记。在头一年，它只是记载了高斯那一年的数学成就和发现（共 49 篇）。尽管很多记述晦涩难解（不只对于我们，显然对于晚年的高斯也是一样的），标注日期为 1796 年 3 月 30 日的第一篇日记却很清楚明白：
此时，除了这一句话以外，高斯什么都没写。就在离他 19 岁生日还有一个月的时候，这位青年发现了可以仅用尺规作正十七边形。不仅如此，他还给出了可作图正多边形的一般规则。同年晚些时候，他写道：
看上去，自从欧几里得的时代以来，人们就说服自己，初等几何的知识范畴已经无法再被扩展；至少我不知道任何在这一问题上扩展边界的成功尝试。那么在我看来，下述事实就更加非同寻常了：除了通常的多边形，还存在一些其他的可以几何作图的多边形，例如十七边形。
他继续写道：“这一发现只是一个尚未完成的更大发现的推论。一旦完成，我就会公之于众。”他确实还有更多东西要说。该发现后来成了高斯在 1801 年出版的《算术研究》中的一部分。该书是数论领域的一本杰出论述。
奥拉夫·诺伊曼这样评论《算术研究》：“它迅速被当时的专家们认可……为一本杰作。它的条理性、严密性以及内容之丰富都是前所未有的。它把数论从一座座分散的孤岛变成数学中一块正式的大陆……这本书是数学，也是人类文明的‘永恒经典’。”
高斯对多边形可作图性这一发现非常自豪。有些人说正是这一发现激励高斯成为数学家。他还要求把十七边形刻在自己的墓碑上。这一要求最后没能实现，但今天他的家乡布伦瑞克兴建了一座高斯雕像，上面装饰着一个十七角星。
有趣的是，高斯没有给出尺规作十七边形的作图步骤，至少在他出版的书中没有提过。但他证明了这样的作图是可能的。我们知道 是单位圆内接正十七边形的一个顶点的横坐标。高斯只用整数、四则运算以及平方根表示出了 这个数。根据笛卡儿定理，这个点可以作图，因此十七边形也可以作图。
如今的文献包含很多十七边形作法。1915 年，罗伯特·高登林格写了一本包含超过 20 种十七边形作法的书，但一位评论家指出这“还远称不上完整”。假设我们已知一个以 为圆心的圆，以及圆上两点 、，并且
是直角（图 19.1）。令点
到
的距离是
长度的 1/4。连接线段
。在
上找一点
，使得
。在
上找一点
，使得
。现在以
为直径作一个圆，交
于点
。以
为圆心、以
为半径作圆，交
于
和
。经过
和
并且垂直于
的直线与圆交于 4 个点。这些点就是十七边形的 4 个顶点（
是第五个顶点）。用这 5 个顶点，就能作出剩下的 12 个顶点。
图 19.1 十七边形的一种作法
高斯定理
高斯关于十七边形可作图的证明只是锦上添花。它的确是个容易让我们游行庆祝（或者将它永远地刻在纪念碑上）的结果。但它仅仅是一个优质样品，其背后是一个远更深奥的结果。
回想一下，古希腊人知道如何作等边三角形、正方形和正五边形。利用这些，他们也能作正 边形，只要
形如
、
、
或
。高斯发现了使得正
边形可以作图的除了 3 和 5以外的质数
，例如 17。
质数 3、5 和 17 有什么特别的呢？结果证明，关键在于 在这三种情况下都是 2 的幂：
，
，
。事实上，就连这三个指数也是 2 的幂：
，
，
。我们把形如
的数称为费马数。如果一个费马数是质数，我们就称它为费马质数。3、5 和 17 之后的两个费马数也是质数：
和
。高斯在《算术研究》中证明了下面这个非凡的定理。
高斯定理：如果 形如
，其中
且
为不同的费马质数，那么正
边形可作图。
高斯定理暗示了正 257 边形（由 F. J. 里切洛特于 1832 年作出）和正 65 537 边形（由林根的赫尔梅斯在经过 10 年的研究之后于大约 1894 年作出）可以作图。同样可以作图的还有 34 边形（34 = 2·17）、51 边形（51 = 3·17）、68 边形（）、69 904 边形（
）等。1000 以内的正
边形中至少有 52 个可以作图：3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816 以及 960。
尽管如此非凡卓越，高斯定理也仅仅部分解决了正多边形可作图性问题。首先，完整的答案至少需要知道哪些费马数是质数。这个问题有一段有趣的历史，我们等一下会来介绍。
与完整答案间更重要的一段差距在于以下问题：如果 不具有上述形式，那么
边形是否可以作图？高斯定理没法处理七边形或者九边形——7 不是费马质数，而
是费马质数的平方。高斯定理还是保留了这两个图形可以作图的可能性。事实上，它们不可作图。而且根据高斯所述，他知道这一点。他写道，自己可以“十分严谨”地证明高斯定理的逆命题，但他又接着写道：
当前工作的局限性让我必须先在这里放弃这个证明，但我们要提出警告，免得有人尝试我们的理论没有给出的分割（例如，分为 7, 11, 13, 19 …份等），因而浪费时间。
这句话换种说法就是：“在这里给出证明并不值得。但相信我，我知道剩下的那些都不可作图。别浪费时间去尝试了。”皮埃尔·汪策尔在 1837 年给出了这一问题的严格证明（我们会在第 20 章更详细地介绍这一点）。
把高斯和汪策尔的定理合在一起，我们会得到一个新的结果。
高斯–汪策尔定理：当且仅当 ，其中
且
为不同的费马质数时，正
边形可作图。
费马质数
感谢高斯–汪策尔定理，我们可以知道究竟哪些正多边形可以用尺规作图——至少在理论上。在实践中，我们需要知道哪些费马数是质数。而这还是一个悬而未决的问题。
对该问题的研究可以追溯到 17 世纪前半叶。费马发现当 j=0,1,2,3,4 时， 是质数（3、5、17、257 以及 65 537）。他猜想所有这样的数都是质数。在 1640 年写给贝尔纳·弗雷尼可·德·贝西的一封信中，费马列出了前七个费马数（第七个有 20 位数字）并写道：
我还没能证明，但我已经通过绝对可靠的证明排除了很多因数。直觉是我思考的基础，而我产生了强烈的直觉，那就是我很难撤回这一猜想。
费马在 17 世纪四五十年代不断地重新研究这些数。在和数学家们的通信中，他总是主张这是一个质数序列，但他也承认无法证明这一点。如果这是正确的，那它就会是一个伟大的定理。从古希腊时代，我们就知道存在无穷多质数。但我们始终没有一个生成质数的方法。而费马的公式带来了质数生成函数的希望。
这一猜想在随后的半个多世纪都未能得到证明。随后，22 岁的欧拉加入了进来。他当时刚刚接受了位于新兴城市圣彼得堡的科学院的新工作，正在安顿下来。当时刚刚从圣彼得堡搬到莫斯科去指导彼得二世的克里斯蒂安·哥德巴赫，也从这时开始了与欧拉之间长达 30 年的包括将近 200 封信件的书信往来。
1729 年 12 月 1 日，在他给欧拉的第一封信的附言中，哥德巴赫提到了费马问题：
又及：费马发现所有形如 的数，也就是 3、5、17 等，都是质数。他自己承认无法证明，而就我所知，也没有任何人证明了这一发现。
欧拉起初对这个问题不感兴趣，但哥德巴赫一直刺激他。欧拉终于提起了兴趣，把注意力转向了费马序列。1732 年 9 月 26 日，欧拉向圣彼得堡学院提出了结论：费马猜想是错误的。在补充文章中，他写道：
但我不知道出于怎样的命运，结果证明这序列中紧接着的一个数，，就不再是质数了；我在思考了很多天之后，发现这个数可以被 641 整除，任何想要检查的人立刻就能验证这一点。
通过证明 存在因数 641 和 6 700 417，欧拉让费马找到质数序列的愿望破灭了。欧拉是怎么找到这两个因数的？暴力查找并不是没有可能。尽管
有大约 6500 个可能的质因数，如果我们从 2、3、5 开始一个个检查，只要尝试 116 次就能找到一个因数。〔事实上，当八岁的“人形计算器”齐拉·科尔伯恩（1804—1840）在全美巡回展示自己的心算能力时，“有人向这个孩子提出了这个数（
），而他仅靠心算就找到了因数”。〕这当然不是欧拉所用的方法。
欧拉在第一篇文章中没有解释自己怎样得到了这一因数分解。但 15 年后，在另一篇文章中，他解释了他是如何找到 641 的。欧拉使用了“费马小定理”。费马不加证明地提出了这一定理，而证明最终由欧拉在 1736 年完成。欧拉用这一定理证明了对于整数 ，如果
存在质因数，那它一定形如
，其中
为整数。因此，欧拉只需要检查形如
的质数。前九个具有如此形式的数中有四个是质数——193、257、449 和 557——但它们都不能整除
。而第十个数就让欧拉获得了成功：64·10 + 1 = 641。
费马没能因数分解 有些令人惊讶，因为他曾用与欧拉的方法非常类似的技巧分解
。但正如安德烈·韦伊（1906—1998）所写：“我们能想象到，当（费马）第一次想到这个猜想时，他被自己的热忱冲昏了头脑，犯了个数值错误，再也没有检查过他的计算过程。”
费马发现前五个费马质数之后的 370 年间，我们没有再发现新的费马质数。目前，我们知道接下来的 28 个费马数都是合数。有 25 亿位数字的巨数
是第一个素性未知的费马数。
单位根和正多边形
我们在讨论高斯定理的证明前，要先回一趟复数的王国。我们先来看一个看起来很简单的问题： 是多少？是 1，对吧？当然对。如果我们求 1 的四次方，那么结果还是 1。不过，1 不是 1 唯一的四次方根。它还有三个四次方根：-1、i 以及 - i。因为
。一般来说，
次单位根指的是方程
的任意复数解。四次单位根一共有四个：1、-1、i 以及 - i。
如图 19.2 所示，四次单位根是复平面内单位圆内接正方形的四个顶点。尽管麻烦，但也不难验证 ±1、 是六个六次单位根。它们是单位圆内接正六边形的顶点。所以，圆内接正
边形问题和
次单位根的值紧密相关——单位根就是多边形的顶点。
图 19.2 单位根构成了正多边形
我们可以用欧拉公式来验证这一断言。假设 是
次单位根。那么
。要使此等式成立，必然有
。又因为
是一个非负实数，所以
。所以
，因此
，
。要让这两个等式成立，
需要是 360°（用弧度制表示就是
）的整数倍，这等价于
，其中
为整数。所以，
次单位根就是
，其中
。用这种方式，我们就能看出
次单位根其实是单位圆上距离相等的
个点。
如果 ，我们就会发现六次单位根都是形如
的数。比如，当
时，我们有
。当
时，我们有
。
因此，高斯意识到，要解决多边形问题，必须求得 的根。如果
的实部和虚部能用四则运算和平方根表示，对应的多边形就可以作图。事实上，如果
可以作图，
亦然。
高斯不是第一个考察 的数学家。1740 年，欧拉证明对于
，方程
有根式解；也就是说，这个多项式的所有根都能用四则运算加上平方根、立方根、四次方根等表示。1770年，亚历山大–西奥菲尔·范德蒙（1735—1796）证明了
的情况。这些都是重要的数学成果，尤其是事后来看。因为不是所有 5 次或更高次的多项式都有根式解。但它们还是没有回答这些多边形能否作图的问题。为此，我们必须证明这些顶点的表达式只用到了平方根，没有其他次方根。而这正是青年高斯所发现的。
高斯的证明思路
高斯的《算术研究》的第七个部分，也是最后一个部分，专门讨论作正多边形问题。他的证明依赖于数论、方程理论以及复数性质。从一种角度来看，这个证明是关于多边形的可作图性。但实际上，它是对形如 的多项式的研究。
每个数学家都知道并且享受那些美妙的“啊哈”时刻。它们总是出现在最出人意料的时间——淋浴时、开车回家时、遛狗时、吃饭时或者躺在床上时。日复一日、年复一年地专注思考一个貌似难以解决的问题，会让头脑在潜意识中灵光一闪。答案通常都是在放松的时候涌现，就好像是上苍的启示一般。高斯就描述过一次这样的经历：
我当时在布伦瑞克度假。经过努力思考（ 的）所有根之间在算术性质上的联系，我在那一天（起床前）成功地看清了这个关系，所以我得以当场把它应用到十七边形这一特殊情况上，并且进行了数值验证。
高斯定理的完整证明不在本书论及的范围内，但我们可以介绍他的大体思路。我们首先展示他的论述在正五边形的情况中如何展开，然后简略叙述十七边形和更一般的正多边形的情况。
我们把五边形的顶点看作五个五次单位根，也就是 的五个根。其中一个根是
，所以多项式可以被分解为
。因此我们只需要关注
的四个根。如图 19.3 所示，它们是两对共轭复数：
和
、
和
。
图 19.3 复平面的一个正五边形
这两对共轭复数有两个友好的性质。首先，和其他共轭复数一样，当我们把它们加起来时，虚部会抵消，实部会变成两倍。所以 。其次，它们都在单位圆上，所以互为倒数 ：
。应用这两个性质，我们发现
我们想求满足 的
值。但因为知道
，所以我们可以把方程两边同时除以
，这样可以得到
其中 。根据二次方程求根公式，
。
到这里就可以停下了；我们已经获得了足够多的信息，足以用尺规作出正五边形。这两个实数是五边形剩余四个顶点的实部的两倍。所以 。正如在第 1 章所描述过的，我们可以在复平面作出点
——或者说笛卡儿平面中的点
——然后过这一点作实轴的垂线。垂线和单位圆交于
和
。然后我们就可以用圆规找出剩余的顶点。
不过，我们还是不要这样做。让我们继续行至终点，求出所有顶点的坐标。因为 ，我们可以通过解二次方程
来求出
。其中，
的值就是上面求得的两个根
。点
和
是二次方程
的根。由求根公式可知，它们是
。所以这两个点的坐标是
。用类似的步骤可以得到另两个顶点：
。
这些复杂的计算中可供我们借鉴的地方在于，要求四次方程的根，我们可以把问题简化为求三个二次方程的根，其中一个根的系数是整数，而另两个根的系数包含第一个的根。最后，这些顶点的坐标包含有理数的双重平方根。
高斯对于十七边形的分析与此类似，但需要解更多的二次方程。这些二次方程的根可能包含更多双重平方根。我们简略介绍一下其中涉及的数学。
如图 19.4 所示，假设 是正十七边形的顶点。高斯证明了一个有关质数的定理，该定理让他能够用一种特殊的顺序排列顶点（
除外）：
。他证明，隔项求和得到的两个复数
是二次方程 的根。因此，
和
可以用平方根表示；具体来说，
，
。接下来，求
的隔项和，得到复数
以及
。求
的隔项和来得到
和
。这两组复数分别是二次方程
和
的根。所以它们也可以用双重平方根来表示，比如，
，
。最后，用类似方法定义
、
，直到
。这些值是以整数以及
、
、
、
为系数的二次方程的根。例如，
和
是方程
的根。因此，这些根也可以写成多重平方根的形式。以
为例，我们有
。最后，我们能发现
是
的共轭复数，因此
。如果我们把
和
代入
和
，再把这两个值代入
，然后化简，就能得到高斯推出的表达式
而这个数是可作图数！
图 19.4 复平面的一个正十七边形
这大体上就是高斯使用的方法。他想要求 的根，其中
是质数。因为
是这个多项式的一个根，我们只需要求
的根。
是质数，但
则不一定是质数。假设
可以被质因数分解为
。高斯把这个问题化简为依次求次数为
的多项式的根。第一个多项式的系数是整数。后续多项式的系数由前面已经解出的多项式的根决定。
高斯发现，如果 是 2 的幂，那么
。所以我们就能通过解一系列二次方程来求得
的根。因此这些根都是可作图的。简而言之，如果
是质数，正
边形就是可作图的。
这个 值仍然不是费马质数的形式。但是，如果
是质数，那么指数
一定是 2 的幂。
假设 不是 2 的幂，那它就有一个奇因数
。于是我们就有
（有可能
）。这样的话，
也就是说， 不是质数。
最后，假设 ，其中
且
为不同费马质数。我们可以先作出正
边形，然后使用基于等边三角形和正五边形作正十五边形的技巧，作出正
边形。最后，再加倍边数
次，就可以得到正
边形。这样就证明了高斯定理。
闲话 镜子
魔镜，魔镜，告诉我，谁是这世上最美的女人？
——格林兄弟，《白雪公主》
米拉镜由乔治·斯克罗吉和 N. J. 吉莱斯皮发明。它是一种帮助学生们学习反射和对称线的教学工具。它由一块有色的亚克力玻璃，以及保持玻璃直立的支架构成。米拉镜的关键特性在于，它既是透明的，又是反光的。所以它既是一面窗，又是一面镜。
要求点 关于直线
的反射，我们把米拉镜沿
放置，然后在玻璃的另一端标记出与点
的镜像重合的点（图 T.31）。要求点
和另一点
之间的反射轴，我们把米拉镜放到使得
的镜像与
重合的位置，然后沿着玻璃即可描绘出反射轴。假设经过一个点存在能把另一点反射到已知直线上的直线，我们可以用米拉镜找到这条直线。图 T.32 展示了第四种用途：已知点
、
和直线
、
，我们可以摆放米拉镜，使得
和
的反射分别落在
和
上。
图 T.31 米拉镜关于直线 反射点
图 T.32 米拉镜把点 和
分别反射到
和
上
令人惊讶的是，这四种操作十分有用。我们不妨想象放弃尺规，仅用米拉镜完成几何作图。虽然不能画圆，但仅使用前三种操作，我们就能作出所有尺规可作图的点。相反，前三种操作也可以用尺规来完成。因此，用前三种操作可以作图的点就是尺规可作图的点。而第四种操作使我们可以作出尺规无法作图的点。我们来看看原因。
抛物线是到直线（准线）和直线外一点（焦点）距离相等的点的集合。如图 T.33 所示，点 到焦点
和准线
的距离相等。事实上，抛物线在
点的切线
平分
。
是
关于
的反射。换言之，如果我们把米拉镜放在
上，它会把
反射到
。相反，如果我们把米拉镜放在使
的反射落在
的位置上，那么米拉镜就与抛物线相切。
图 T.33 如果我们把点 反射到
上，那么米拉镜就与焦点为
、准线为
的抛物线相切
米拉镜的第四种操作要求我们把两个点反射到两条线上。这一过程相当于找一条与两条抛物线（一条抛物线焦点为 、准线为
，另一条抛物线焦点为
、准线为
）相切的直线
。正是这些隐藏的抛物线让我们脱离了尺规作图的范畴，并得以解决三等分任意角、倍立方、作正七边形或正九边形以及更多问题。
在米拉镜被发明之前的 1963 年，A. E. 霍克斯坦发明了一种带有镜子的仪器。用这种仪器配合尺规就可三等分角。该仪器由一把长度为 的普通直尺被安装到一片半透明玻璃上制作而成。玻璃与直尺垂直，而且其反射面刚好平分直尺（图 T.34）。
图 T.34 我们可以用一个装有直尺的半透明玻璃三等分角
该工具的用法如下。假设我们想三等分 。简单起见，假设
。用直尺延长
，用圆规以
为圆心、以
为半径作圆，交
于
。接下来让直尺的一个角与
重合，让另一端的角落在圆上。我们可以在玻璃中看到
的反射。调整直尺的位置，直到该反射经过
。然后我们沿直尺画出
，则
三等分角
。
我们来证明这一结果。首先我们注意到，因为 ，三角形
和
全等，所以
是等腰三角形（图 T.35）。此外，因为
，所以三角形
也是等腰三角形，并且和
相似。因此
。我们把这三个角记作
。因为
是三角形
的外角，所以我们有
。因此
。
图 T.35 线段 三等分
01
《不可能的几何挑战：数学求索两千年》
作者：大卫•S. 里奇森
译者：姜喆
数学历史新角度，作者旁征博引，发掘了之前数学书未曾留意的历史细节。
本书以数学史上四大著名的“古典问题”——化圆为方、倍立方、作正多边形、三等分角为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。
02
《微积分溯源：伟大思想的历程》
作者：戴维·M. 布雷苏
译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆
从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。
03
《贝叶斯的博弈：数学、思维与人工智能》
作者：黄黎原
译者：方弦
法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目，在机器学习、人工智能、逻辑学和哲学等众多领域中，探索贝叶斯定理蕴藏的智慧与哲理。
贝叶斯定理一旦与算法相结合，就不再是一套枯燥的数学理论或认识论，而变成了应用广泛的知识宝库，催生了众多现代数学定理，以及令人称道的实践成果。
04
《数学的雨伞下》
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
