本学期继续讲授《热力学与统计物理》，讲完微正则系综理论之后，给同学们出了一道思考题，有同学提供了ChatGPT给出的答案，参考图片。这一有相当深度的本科生层次的问题，ChatGPT提供的答案经过少量打磨之后，可以算基本合格。具体来说，本科生可以给60-80分(视乎来自强化班还是普通班)，研究生可以给50-70分(视乎文献调研还是课程学习)。教师必须超越ChatGPT。对于本课程的教师来说，这个答案最多只能给40分。
教师可以从专业80分左右的深度上回答这个问题，这个答案的难度将超过ChatGPT答案难度大概一到两个量级。
微正则系综处理能量E、体积V和粒子数N都给定的宏观系统，刘维尔定理和统计规律都适用。刘维尔定理是另外一种形式的哈密顿正则方程，即力学规律。统计规律对于微正则系综体现为一个基本假设，所谓的所有的微观状态出现的概率相等。力学规律和统计规律的关系如何?
1. 刘维尔定理的结论是，相空间中的每一根流线周围的概率密度ρ(流线)=常数，但是不能给出所有流线周围的概率密度ρ(相空间) =常数。等概率原理假设了后者，即假设了所有流线周围的概率密度全部都是一样的。仔细辨析下，这两个ρ(流线) 和ρ(相空间)不是一个量。可惜的是，所有的教材从来不区分这个ρ。即便同样是统计物理教材，李政道的ρ是力学的，朗道的ρ是统计的。因此，从力学规律ρ(流线)=常数出发无法推导出来统计规律ρ(相空间)=常数，必须引入新的假设。
换一种说法。如果把ρ(流线)=常数中的一根流线变成包含了这根流线的一束流线或者流线族，甚至把ρ(相空间)定义成为ρ(流线)的线性组合，刘维尔方程的线性性质保证了ρ(相空间)=常数依然成立。不过，这个时候，必须假设ρ(相空间)是ρ(流线)的等权叠加。也就是引入了新的假设。
新假设的本质是什么? 引入了统计性! 假设ρ(相空间)是ρ(流线)的等权叠加就是假设了ρ(相空间)是ρ(流线)一个平均值。为什么要做这个平均? 意味作某种统计。而为什么要做统计? 这是一个回答不了的问题，只能是自然规律使然。
2. 统计规律ρ(相空间)=常数比ρ(流线)=常数多了些什么? 多了流线的生、灭、变形、相交和混合这五种过程。即使多了这五种过程，不仅可以保持ρ(相空间)=常数，也可以让ρ(相空间)满足刘维尔方程。不过，这个刘维尔方程中的哈密顿和原来无限精确地确定的哈密顿并不相同。原来无限精确地确定的哈密顿中每一根流线或者每一根轨迹都是独立的、时间可逆的。但是，ρ(相空间)=常数中的流线，不可能不相交，也不可能时间可逆。
如何理解流线的生、灭和变形？一个有启发性的物理过程如下，孤立系统中，由于粒子数太多，难免会有少量会短暂吸附在器壁上之后释放出来，导致能量无法是一个无限精确的数值。换言之，等概率原理中的孤立系统中的能量不可能是一个绝对精确的量。必然出现流线的生、灭和变形。
如何理解流线的相交和混合？正是由于孤立系统中的哈密顿量带有一个物理上无法确定的小量，但是这个小量的作用是巨大的。回忆一下量子力学中的简并微扰论，如果哈密顿量出现了一个极小的微扰，在构造零级近似波函数的时候，必须把这个极小的能量微扰范围之内所有的波函数全部叠加起来，这些波函数的数量非常之巨。回到经典力学中，就是相空间的任何一个物理的点，必定同时包含了很多条几何上的流线，且可以从其中的一根跳到另外一根，也会伴随流线的生、灭和变形。统计规律中的流线必然出现相交和混合。
由此可知，流线的五种过程，都非力学所能描述。是换了一个角度的统计假设。
总之，力学规律中的概率密度ρ(流线)=常数和统计规律中的概率密度ρ(相空间) =常数，尽管常常用同样一个符号ρ来标记，二者其实是不同的量。力学规律和统计规律中都有刘维尔定理，其哈密顿也是同一个符号H，两个H也不是完全相同的量。前者中的哈密顿是一个无限精确地定义的量，后者中的哈密顿带有一个存在但是写不出形式的极小微扰项。站在力学规律角度，无法到达统计规律，但是力学规律的确可以为理解统计规律提供一些便利。
注意，有一派认为，从力学出发，考虑多粒子系统运动方程内在的随机性，可以从力学规律到达统计规律。只能说，这种探索有很多成果，至今并没有达到目的，不能当成结论接受并传播。最好把这种探索归结于力学范围内一个研究课题，尽管常常可能得到一些和统计规律看上去有些像的结果，但是依然无法全面彻底地到达统计规律。
致谢
本研究受到了湖南省教改课题HNJG-2022-0506 和 HNJG-2023-0147的资助。
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