AP不考,但学校会讲的微积分知识(后篇) || 积分应用&无穷级数

文摘   2024-11-15 19:16   北京  

在本系列文章的前两篇,我们分别介绍了Logarithmic Differentiation, Newton’s Method, Differentials以及Simpson’s Rule。在本系列文章的最后一篇中,我将介绍剩余的两个知识点:Shell MethodRoot Test,它们分别涵盖了积分应用无穷级数的相关知识。



Shell Method(圆柱壳法)

 
在AP微积分考纲中,关于应用积分求解不规则图形体积的问题,包含了三个主要考点Cross Section(截面法)、Disk Method(圆盘法)和Washer Method(垫圈法)。除了这三种方法外,还有一种重要的体积求解方法——Shell Method(壳层法)。接下来,我们将通过一个例子来简述Shell Method的原理。

如图所示,设在区间上连续且非负,设R是由上界,x轴下界,以及直线两侧所围成的区域。我们的目标是求解由区域R绕y轴旋转生成的旋转体S的体积


圆柱壳是一个由两个同心的直角圆柱体所围成的空心实体。一个具有内半径,外半径和高度为的圆柱壳的体积可以表示为:


其中可以视为内外半径的平均值,则表示厚度,因此可以得到:


那么我们应该如何结合积分的知识,再利用这个公式计算出整个图形的体积呢?

首先,将区间分成个子区间,这样便可以把整个区域R细分成个部分,分别记做当区域R绕着轴旋转时,由旋转得到的互相嵌套在一起,将的体积加在一起可以得到区域R绕轴旋转生成的旋转体S的体积。


但此时我们无法直接计算出的体积之和,借助Riemann Sum的概念,我们可以在每个子区间上利用长方形来近似,当这些长方形绕y轴旋转时,我们可以计算出每个旋转体的体积,并将它们相加,从而得到整个图形体积的一个近似值。


现在我们假设第个子区间为长方形的高度为,宽度为在利用我们前面得到的公式:



可以得到一个圆柱壳的体积:, 当我们对这个子区间进行同样的运算再求和,便可以得到总体积的近似值,再对这个求和式子取极限,让每个子区间的宽度都趋近0,就可以根据积分定义得到旋转体S的真实体积

利用这一公式,我们可以计算出平面区域绕轴旋转一周后得到的立体图形的体积。例如:求函数轴所围成平面区域绕轴旋转一圈之后得到的立体图形体积。


利用我们刚才得到的公式,可以算出体积



Root Test (根检验法)

 
在AP微积分BC的第十单元,共有包括 geometric series, nth term test, integral test, p-series, direct comparison test, limit comparison test, alternating series, ratio test在内的八种判断级数敛散性的方法会被考查。尽管如此,我们在微积分教科书中还可以找到一种额外的方法,root test。它虽然不在AP微积分大考的考察范围内,但它对于判断具有n次方项的级数的敛散性非常有效


对于已经学完级数敛散性判断的同学来说,掌握这一方法难度并不大,因为root test从形式上和ratio test 非常相似。


当我们遇到的级数表达式中包含n次方的形式时,我们可以使用root test进行检验。例如:判断 的敛散性。

首先,我们需要计算极限,再利用洛必达法则可以得到极限等于由于结果小于1,因此级数本身是绝对收敛的。

至此,我们的系列文章《AP不考,但学校会讲的微积分知识》已经完结。尽管本系列文章中提到的六个知识点并不在AP考纲范围内,但许多校内教师仍会根据需要选择性地讲解它们。掌握这些知识点不仅有助于学生对微分、积分和级数的深入理解,还能对AP考试的备考提供额外的帮助。


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