Ben-Tal和Teboulle [1]提出的预期不确定收益的最优确定性等价量(OCE)是经济学中一个重要的风险度量，刻画了当下从预期收益中消费的现金和剩余预期收益期望效用的组合的最大现值. 本文将介绍OCE的两种变体. 第一类变体考虑一种改进型OCE(MOCE)，最大化提前取出部分现金的效用和剩余预期收益期望效用的组合. 第二类变体考虑决策者的真实效用函数未知的情况. 在这种情况下，可以通过决策者的部分风险偏好信息来构造可能的效用函数模糊集，然后利用MOCE和效用函数模糊集中的最坏情况效用函数做决策，来降低效用函数的不确定性产生的风险.
经济学中的一个重要问题是如何量化预期不确定结果带来的风险，如利率，股票价格，汇率等等. 在风险度量出现之前, 随机变量的偏好序通常是通过von Neumann和Morgrnstern [4]提出的期望效用理论来刻画的. 设一个决策者的效用函数为 其中 是随机收益 的确定等价量，即决策者对随机收益 和 有相同偏好. Ben-Tal和Teboulle [1]提出了另一种随机收益 的基于效用函数的确定等价量. 设 是定义在概率空间 的随机变量，代表一个决策者的预期收益. 随机收益 的最优确定性等价定义为 其中 是决策者的标准化凹效用函数， 是 上由 诱导的概率测度. OCE的经济意义如下：假设决策者未来的不确定收入为 ，现在可以提前取出 的一部分消费. 如果决策者现在消费 ，则 的确定现值为 . 最优确定等价量 给出了在这样的消费计划下的最优分配，实现了 确定现值的最大化. 作为一个风险度量，OCE有很多好的性质，包括常值性(对常数 , )，风险厌恶( )和平移不变性( ). 特别地，如果 是一个标准化的指数效用函数，则 与经济学中的经典最优确定等价量是相同的. 若 ，其中 且 , ，则可以得到 . 本文从以下两个方面回顾OCE的概念. 首先考虑OCE的一个变体： 这类变体考虑根据期望效用理论来统一随机收益 在当下的确定现值，即用当前消费 的效用值 来代替其货币价值. 其次考虑MOCE的偏好鲁棒形式： 其中 是与已经观测到的决策者效用偏好一致的效用函数构成的集合，被称为效用函数的模糊集. 这个模型考虑了在实际场景中决策者的真实效用函数不确定的情况，因此建模者只能用部分风险偏好信息来辨识刻画决策者真实偏好的效用函数，用效用函数模糊集中的最坏情况效用函数求解最优决策. 本节给出MOCE和RMOCE模型的基本性质. 设 且 这个条件规定了 设 是所有有效域非空的正常闭凹非降效用函数且满足 ， 的效用函数构成的集合. 若 ，且 的支撑集是 本文给出MOCE最优解的可达性和有界性. 这样的结果是建立在效用函数的严格凹性的条件下，而不是假设 是凹函数且 . 是一个紧集，(c) 此外，若 且 弱收敛到 (在 点处的Dirac测度)，则 收敛到 . 与OCE类似，新定义的MOCE也有很多好的性质如下.
(ii) (单调性) 对任意(iii) (风险厌恶) 若对所有 (iv) (二阶随机占优) 令 (v) (凹性和正次齐次性) 若 (i) 分布不变性 意味着用若对任何随机变量 也就是效用函数 对 所 有 的 随 机 变 量 (iii) 风险厌恶 性质, 只需要效用函数满足 若(3.2)式成立，意味着MOCE诱导的随机变量之间的序关系与 (iv) 二阶随机占优 [3]得到的排序是一致的. (v) 凹性 成立，表示随机变量凸组合的MOCE比对应的MOCE的凸组合更大，意味着预期收益的混合或投资组合用MOCE刻画是有利的，也就意味着多样化是有利的. 参数 可以被视作衡量风险厌恶程度的指标. 正次齐次性 意味着 是 的非降函数，因此当参数 增大时，MOCE是更风险厌恶的. 以上介绍了MOCE的性质. 接下来考虑反问题，即如何从给定MOCE恢复效用函数 概 率 为 概 率 为 且 与MOCE类似，RMOCE也有着对应的性质，参见[5].
本节给出RMOCE的计算策略. 为了进行具体的计算，需要给出效用函数模糊集的具体结构. 本文考虑的情况是决策者通过经验数据或主观判断得到了一个标准效用函数，但是缺少全部的信息来判断这个效用函数是否是刻画决策者偏好的真实效用函数. 例如，在实际决策场景中，决策者的效用偏好经常是通过问卷调查，或通过调查顾客在一些特定价格点处的消费意愿得到的分片线性效用函数. 因此本文围绕这个粗糙的标准效用函数构造一个基于伪度量的效用函数的球.
设 是一个依赖集合 的伪度量. 可以看到 当且仅当 对所有 都成立，但不需要 , 除非 是充分大的集合. 因为 是分片线性函数，所以 的值可以通过求解二次约束规划得到. 设效用函数为定义在(4.1)的Kantorovich球，且 命题3.2给出了效用函数是严格凹函数的情况下最优解的有界性，而分片线性近似策略破坏了效用函数的严格凹性，因此本节给出效用函数是分片线性函数时最优解的有界性. 设 是MOCE问题(2.2)的最优解集. 若(a) 是分片线性凹函数；(b) 在区间 上至少有两片，则 有了最优解的有界性, 下面给出求解RMOCE-N问题的一种交替迭代算法.
和
Guo和Xu [2]给出了这类算法的收敛性结果. 由分片线性函数导致的误差界参见[5].
在数值实验中，本文考虑标准效用函数为 表1 OCE和MOCE模型计算结果的比较
第二组实验验证了RMOCE模型的数值策略. 图1(a)说明当效用函数的模糊集变小时，最坏情况效用函数会越来越接近作为圆心的标准效用函数. 图1(b)说明了当效用函数的模糊集变大时，RMOCE的最优值会变小. 图1(c)说明了当分片线性函数的分片变多时，最优值的误差会变小.
(a) 不同半径 的最坏情况效用函数
(c) 不同分片个数 的最优值
[1] Aharon Ben-Tal and Marc Teboulle. An old-new concept of convex risk measures: The optimized certainty equivalent. Mathematical Finance, 17(3):449-476, 2007.
[2] Shaoyan Guo and Huifu Xu. Utility preference robust optimization: piecewise linear approximation, error bounds and stability. New Directions in Stochastic Optimisation, J. De Loera, D. Dentcheva, G. Ch. Pflug, and R. Schultz, eds., Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Oberwolfach, Germany, pages 2373-2376, 2018.
[3] Josef Hadar and William~R Russell. Rules for ordering uncertain prospects. The American economic review, 59(1):25-34, 1969.
[4] John Von Neumann and Oskar Morgenstern. Theory of games and economic behavior. Princeton university press, 1947.
[5] Qiong Wu and Huifu Xu. Preference robust modified optimized certainty equivalent. SIAM Journal on Optimization, 32(4):2662--2689, 2022.
吴琼 ，大连理工大学数学科学学院博士。研究方向为偏好及分布鲁棒优化、单阶段及多阶段随机规划和非光滑优化算法，相关论文发表在SIOPT、EJOR等期刊。
徐慧福 ，香港中文大学系统工程与工程管理学系教授，博士生导师。1999年获巴拉瑞特大学博士学位。从事不确定环境下的最优决策研究，包括带有均衡约束的随机规划、随机广义方程和分布鲁棒优化在能源市场中的应用、偏好鲁棒优化以及数据驱动问题的统计鲁棒性等等，发表论文90余篇。担任《Computational Management Science》和《Mathematical Programming》编委。
排版：柚子美编十二号（西安交通大学金融优化组萧潇）
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