昨天讲数列实际上是整标函数. 今天讲一下函数的极限. 极限是一种趋近情况, 所以它要比数列极限的情况复杂一些.
为什么数列只研究当 趋于无穷时的情况, 因为任何一项 都是确定的, 完全由表达式所决定.
而函数却不一定，函数有定义域，在非定义域的地方有很多情况.
函数极限探讨的还是一种趋近情况. 我虽然到达不了，但我还想看看你趋近的情况. 虽不能至, 心向往之.
在自然科学和工程技术中，常常需要知道某个量随另一个量变化的快慢，即变化率。极限提供了一种精确描述变化率的方法，如瞬时速度、加速度等。
极限可以帮助我们判断函数在某一点是否连续。连续性是函数的重要性质之一，对于函数图形的绘制和理解函数的行为有着重要作用。
趋于一点的情况
若对于任意 ，存在 ，使得对于所有 （即 ，有：
这个定义是这样的. 当 越来越趋近 的时候, 函数值越来越趋近 。
我们一定要去深刻的认识函数. 随着 变换. 是先 变, 然后 再变. 有个. 这个先后顺序是最重要的.
我们再返回来看定义, 给定一个 A 的范围,
一定能找着 的一个邻域
当 落在横轴上 的这个邻域里时, 对应的 就落在纵轴 的邻域里.
是这个 里面所有的点对应的 全部属于 这个邻域里.
函数极限的其他情形
上面说了自变量和因变量都趋于一个常数的情形. 实际上自变量和因变量也都可以趋于无穷.
都是这样一个理解方式,
的邻域
的邻域 (A>0)
的邻域 (A<0)
这个式子里面的 和 可以理解为常数也可以理解为无穷, 这样我们的知识就能统一起来了. 具体的可以参考下表.
单侧极限
单侧极限是考虑函数只在一边有定义的情况. 定义域 . 在 点只考虑右侧, 在 点只考虑左侧. 相应的有单侧邻域.
比如 的右邻域
的左邻域 .
情况是挺多的，但是还是上面那句话.
对于 的任意邻域, 存在 的邻域, 当 落在 的邻域中时, 对应的 落在 的邻域内.
这文章只是注, 写一些课本上没有的东西. 关于极限和单侧极限的定义, 包括后续间断点和连续的概念可以参看任意一本高等数学和数学分析教材.
