多元函数和一元函数有着本质的区别。
极限的区别
一元函数 的极限
存在当且仅当
学术点说左极限等于右极限. 就是站在 轴上从左边走和从右边走得到的极限都一样。因为一元函数的定义域在数轴上，你站在数轴上只能向左走或者向右走，不能上下跳跃。然后看头顶上对应的函数是否趋向于一个数？左右两边是否趋向于同一个数。
然后我们来看二元函数，设二元函数 在点 的邻域内有定义, 若
则称函数 在点 处有极限。
区别于一元函数，二元函数的定义域是平面上的区域，所以我们站在平面上往 点走的时候，可以沿直线也可以沿曲线，也可以沿 360° 各个方向。两个方向和无穷多个方向明显是两回事。当然，对于二元函数和三元函数或者是更多元的函数没有本质的区别。
求导的区别
我们反复在说函数, , 给定一个 , 通过对应的法则求出 。一元函数的导数就是看 对 的变化率。
二元函数 , 自变量变成了两个，我们可以研究
变， 不变 不变， 变 变， 变
前两种情况对应求偏导，最后一种情况是全微分。
来一个简单的求偏导的题目。
让我们复习一下目前为止学过的积分
不定积分
定积分
那么多元函数的积分怎么积？
Q: 多个变量的积分怎么积？
A：一个一个积鸭。
我说回答的太棒了。说到了精髓。然后我又问
Q: 一个一个积那就涉及到一个顺序问题。先积哪个，后积哪个。
比如我要先积 , 后积 。那么积第一个变量 的时候 怎么办
A: 把 当成常数。
然后我非常开心的说，很棒！这就是多元函数积分的精髓！！！
那么我们接下来就来理解一下把 当成常数是什么意思。
接下来我们举几个例子
比如我们要在如下的一个矩形区域上积分，
很自然可以写出积分范围
那么作为例子，试着计算
这个我就不算啦，会的都会。通过观察上面的计算过程我们发现先对 积分，得到一个 的函数，最后再计算一个关于 的定积分。
如果计算
先计算
这里是把 当成常数的意思. 再算
那如果是
区域是由直线 围成的.
如果先积 , 上下限要怎么写？
是不是要写成这样 则 b'n
那这样就和矩形区域没区别了鸭。然后有同学说✖ 。
那我要是把 换成 , , 那应该✖多少？
而且我们怎么保证在上半三角形和下半三角形积分是一样的？？？
所以✖一个常数显然不靠谱。那正确的做法是什么呢？
我们现在在找 的范围，我们取具体的 来看一下
所以应该怎么写呢, 是不是这样
所以我们这里说把 当成常数是什么意思，不同的 对应不同的 的取值范围。不是当 不存在。
所以接下来又有几个练习
我们把左边三个积分统一一下形式便是箭头右边的。.
这便是今天要提到的含参变量积分。
含参变量积分终于露出了庐山真面目
好的，非常棒，现在已经有含参的感觉了哈。
接下来是我们的理论部分。
我们要研究 这个函数的连续性和可导性。
连续
要想使得 连续，即
接下来按照极限定义简要证明一下
进一步解释最后一步
由 的连续性
故
.
当
所以 的连续性可以推出 的连续性.
可参考书上的这个证明.
所以回到这篇文章的题目，还是要分清什么时候是变量，什么时候是常量。把另一个变量当成常数是什么意思。先积 y , y 的上下限该怎么写。
