大小的值，都是
0点定理
介值定理
闭区间上连续函数的值域是一个闭区间：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么f(x)在[a, b]上的值域也是一个闭区间[m, M]，其中m和M分别是f(x)在[a, b]上的最小值和最大值。
直观解释： 连续函数的图像在闭区间上是一条没有间断的曲线，所以函数值一定能取到最小值和最大值，且能取到这两个值之间的所有值。
我觉得这个用的最多，把它摆在第一个，就是区间的值都在两个最值之间。
连续函数的零点存在性定理（即零点定理）：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，那么存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
直观解释： 如果函数在区间两端的值异号，那么函数的图像一定穿过x轴，即存在零点。
连续函数的单调性与值域的关系：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调递增，那么f(x)在[a, b]上的值域为[f(a), f(b)]。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调递减，那么f(x)在[a, b]上的值域为[f(b), f(a)]。
直观解释： 单调函数的图像是一条不断上升或下降的曲线，其值域就是函数在端点处的取值所构成的区间。
这个平均值定理书上好像没有
证明的时候是用推论第一个
在换了一个位置以后，可以看到，把矩形给穿了
对同一个连续函数，我们可以通过选择不同的误差区间来说明连续
ϵ是值是非常小的，但是又大于0，在极限定义里面肯定是选择相对小的，就第二个。
可以沿着整个曲线都是不刺破的
这个就是定义
连续是说明不了一直连续的，反过来可以
就算放大这个范围都没有用
先看一段板书
极限的性质
几何表示，这个是大于0
这个是小于0
还有一个推论
给出了更加具体的值
这个定理我感觉是说明了一个小局部的整体性
看图说话
也就是说，是单向的
用了定理会多了计算的公式，局部保号性说的是只要足够小就一定可以保号。
是通过极限保的函数的符号。
别急下面才开始：
极值的时候
驻点（Stationary Point）指的是一个函数的一阶导数为零的点。也就是说，在驻点处，函数的图像的切线是水平的，就像函数在该点“停顿”了一下。
如果函数f(x)在点x=c处可导，且f'(c)=0，那么点c就是函数f(x)的一个驻点。
驻点的几何意义
水平切线： 在驻点处，函数图像的切线与x轴平行。
函数值不再增加或减少： 在驻点附近，函数值可能从增加转变为减少，或者从减少转变为增加。
罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例。拉格朗日中值定理将罗尔定理中的“区间端点函数值相等”的条件放宽了。
一个函数f(x)满足以下条件：
在闭区间[a, b]上连续；
在开区间(a, b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)；
那么，在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
至少之外的事情，很多
旁边就是拉格朗日
这段看不清是吗？没事
终于开始写了！！！！
我们证明是用着已经有的结论证明的，我们现在就是有罗尔中值定理。
这个是先通过图像给出来的公式
上面的公式的意思就是这个AB直线的斜率
因为这个f(a)≠f(b),所以罗尔定理就用不了。所以这里就想设计一个和f函数密切联系的函数（辅助函数），辅助函数g（a）=g（b）,最后转到f上面。
你觉得这个g（a）=g（b）在哪里取到?我们可以看图，是不是这个划线的地方，就挤在一起的这里是相等的，其实就是两个端点值一样了。
再细致点说，x=a，x=b就在这个定义域走来走去，我们要他们的值相等的一点。对于两个函数来看，把他们联系在一起的枢纽就是同样的x值，也就是说很自然的用x和M点和N点之间的差值，因为往右，就是图中相交的时候：
懂了吗？其实相等的时候不是我们上面的图在左右清爽的分开，其实相交在一起了。
现在就简单了，MN之间的值如何表示：
AB的方程
然后也就是M-N的方程，这个就是我们熟悉的方程
证明的时候是倒着写，先设计一个辅助函数：
这个函数是原函数和端点值构成斜率之间的差值，x的值a=b，带进去成立，几何上面是在交点处获得。
就是这里
证明题就要注意两个端点值，可导，变换到要求的形式上面
这个辅助函数g(x)实际上是在原函数f(x)的基础上减去了一条直线，这条直线的斜率正好是f(x)在区间[a, b]上的平均变化率。
就是最后一句话
书上面写了这个，你看很多人都说什么中值定理证明好用，但是我以前觉得，这个东西平平无奇，而且重要的是我感觉限制很多，就是在一段函数里面只有一点满足，为什么会有用。
存在性足够：在许多应用中，我们只需要知道某个点存在，并不需要精确地求出这个点。
还有什么呢，就是我很难说那种感觉，就是这个点可以划过区间的每一点，就在整个区间说了可以实现。（注意这里是错的，但是还是写了）
驻点不一定是极值点
极值点也不一定是驻点，因为极值点可以是不可导点
4个？不对，是三个
高中的时候也学什么穿根法
第一个中值定理
余项Rₙ(x)的意义：
余项表示了用泰勒多项式近似原函数时产生的误差。
o((x-x₀)ⁿ)表示当x趋近于x₀时，余项Rₙ(x)比(x-x₀)ⁿ的趋于零的速度更快。也就是说，随着n的增大，泰勒多项式对原函数的近似程度会越来越高。
误差越来越小： 随着n的增大，余项Rₙ(x)趋于零的速度越来越快，也就是说，用泰勒多项式去近似原函数的误差越来越小。
高阶无穷小： 余项Rₙ(x)是(x-x₀)ⁿ的高阶无穷小，这意味着当x趋近于x₀时，余项Rₙ(x)比(x-x₀)ⁿ更快地趋于零。
这个东西也叫皮亚诺，只是说这个误差应该是什么样的，但是没有具体说，下面的第二定理才是说明了这个问题。
拉格朗日中值定理告诉我们，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得：
f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)经过证明，一坨
最后的结果，这个叫拉格朗日余项,n=0的时候就是泰勒中值定理
这就是我们极限计算的大头
带拉格朗日余项的麦克劳林公式
这样的
误差估计
啊，不想学了
将拉格朗日中值定理应用到泰勒公式的余项中？
考虑泰勒公式的余项R_n(x)，可以将其看作一个新的函数。然后，对这个新的函数在区间[a, x]上应用拉格朗日中值定理。这样，就可以得到拉格朗日型余项的表达式：
R_n(x) = (1/(n+1)!)f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)其中，ξ是介于a和x之间的某个值。
这个表达式： 泰勒公式的余项可以用函数的高阶导数在某个中间点ξ处的取值来表示。当x趋近于a时，(x-a)^(n+1)这一项会趋于0，因此余项也会趋于0，这就说明了泰勒多项式对原函数的近似程度。
最后一个积分中值定理
这个是反物质的探测器
