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矢量磁路及应用初探
秦伟1，程明1，王政1，马钲洲1，朱洒2，顾珉睿1，朱新凯3，花为1
（1. 东南大学电气工程学院，江苏省 南京市 210096
2. 河海大学能源与电气学院，江苏省 南京市 211100
3. 华北电力大学电力工程系，河北省 保定市 071003）
DOI：10.13334/j.0258-8013.pcsee.232113
磁路理论是电机、变压器等电磁设备的关键理论和分析方法，为解决复杂电磁问题和优化电磁设备性能提供重要分析工具。尽管磁路理论在电磁设备分析中得到了广泛应用，但相较于电路理论，其应用范围仍然有限。
例如，在《电机学》教材中感应电机和变压器的分析均基于等效电路，难以定量揭示铁心损耗所引起的磁通与磁动势间的相位关系等。分析可得以下主要原因：
1）磁路元件/参数单一。在传统磁路理论中，有且仅有一个磁阻元件，难以准确表征磁路中磁动势与磁通间相位差。当采用复数磁导率时，磁阻元件不仅代表磁场能量，还同时用于表征磁路中的损耗，虽然这种处理方法在数学上有其可行性，却缺乏实际物理意义。
2）磁路属性难以定量表征。除磁阻外，磁性材料的涡流和磁滞特性仍停留在概念性描述，在磁路中缺少能够进行直接定量数学表征的参数。
3）磁路功率无法直接计算。目前的磁路理论常用于磁动势和磁通求解，缺少通过磁路直接计算功率的定律，未能给出磁路功率和电路功率间的转换关系。当涉及到功率计算时，常需要将求解所得磁路变量转换为电路变量再进行求解，导致功率计算繁琐、复杂。
4）缺少可供工程应用的磁路物理元器件。众所周知，电路中，通过电阻、电感和电容的合理配置，可有效调控电流、电压的大小和相位等。但现有磁路参数多从建模分析角度提出，缺少清晰的物理意义，因此，难以主动设计、利用磁路参数，构建可调控电磁设备中磁通幅值和相位的实际磁性物理器件。
为了与传统的标量磁路相区别，参考电机及其控制中磁链、电压、电流空间矢量的大小和方向代表磁链、电压、电流幅值和相位角等相关概念，将既可表征磁量幅值也可表征磁量相位的磁路称为“矢量磁路”。
本文突破了从与电路对偶中定义磁路参数的思维定式，以标量磁路理论为基础，尝试基于基本磁路物理属性定义磁路元件/参数，初步形成了矢量磁路理论，体现为：
1）基于经典麦克斯韦方程，推导获得包含磁阻、磁感和虚拟磁容3元件的矢量磁路。物理意义方面，分别在磁路中表示磁性材料传导磁通的能力、磁路中闭合导电回路对磁通的阻碍作用(涡流效应)、磁性材料的磁滞效应。
2）基于电路和磁路间的功率平衡关系，定义磁路虚拟磁功率，提出磁电功率定律，建立磁路和电路间功率转换关系，从而厘清矢量磁路3元件和实际电磁装备磁路功率间的关系：磁阻的功率对应磁路的无功功率，磁感功率可表征铁心涡流损耗，虚拟磁容功率可表征磁路的磁滞损耗。
3）矢量磁路理论既表征了磁路中磁动势与磁通之间的幅值关系，也可以表征两者之间的相位关系，而且还有效考虑了磁动势与磁通动态变化之间的关系，不仅适用于磁路中磁链、磁通变量的稳态分析，也可以适用于磁路变量的动态分析和调控。
4）初步形成了较为完整的矢量磁路理论框架和分析方法，为电机等电磁设备的设计、分析和性能优化提供坚实理论基础。
1）磁路元件及其物理本质。
磁动势源：通常说来，磁动势源主要由磁路上缠绕的励磁绕组来实现，磁动势大小可由安培环路定律来计算，对图1(a)所示磁路来说，磁动势的计算式为
磁阻元件(Reluctance)：磁阻元件的端口特性为
磁感元件(magductance)：磁感在物理定义上可表述为磁路中单位磁通在磁感元件上所产生的总运动电荷(电荷链)，即：
当磁感元件的磁感值被假定为与时间无关的定值()，则可以得到磁感元件的端口特性：
磁感元件仅对交变磁通有阻碍作用，该作用可被磁感值定量化表征。由式(4)可知，磁感可定量反映磁路中等效匝链闭合回路的磁通所产生感应电流对磁路中磁场的阻碍作用。通过在等效磁路中引入磁感项，可直接计算磁路中闭合回路电磁感应作用产生的感应磁动势。
虚拟磁容元件(hysteretance)：磁通对时间积分与虚拟磁容磁动势的比值，即：
假设虚拟磁容不随时间而变化，即，可以得到虚拟磁容元件的端口特性：
虚拟磁容用于表征交变磁通下磁性材料的磁滞效应，它也会影响磁动势与磁通间相位，使虚拟磁容元件的磁动势超前磁通。由式(6)可知，虚拟磁容对磁通的影响与电路中电容对电流的影响存在根本差异，磁路中也没有“磁荷”概念，因此虚拟磁容与电路中的电容间不存在对偶关系。
根据磁电功率定律中磁路虚拟功率和实际功率间的关系，得到磁路的实际功率
其中，磁路有功功率为
无功功率为
楞次定律的定量化表征：楞次定律表述为闭合导电回路中感应电流所产生的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化，电磁感应电动势公式中用一个负号来定性表征。而磁感元件可定量地表征磁感元件(闭合导电回路)对磁通的阻碍作用的大小。
图3 在变压器的有限元模型与实物中构建磁感元件
磁感在磁场调制电机里的应用：根据电机气隙磁场调制统一理论，调制器主要有凸极磁阻、多层磁障和短路线圈3种类型。磁感元件可用于表征短路线圈调制器对电机气隙磁场的调制作用，不仅会改变磁通密度幅值，还会改变其基波分量相位。利用该特性，通过构建非对称磁障/磁感复合调制器，将磁感(图中的磁障槽)的轴线偏离凸极轴线一个角度，以补偿磁感产生的相位偏移，增加电机的平均转矩，降低转矩脉动。
图4 非对称多层磁障/磁感复合调制器
磁性材料的损耗计算：在不考虑磁路饱和的情况下，基于推导的磁路参数，应用所述磁电功率定律，可求解不同频率下铁心磁路的损耗：
图5所示为磁路损耗理论分析与实验测量结果的对比，二者高度吻合，验证了磁电功率定律的准确性。
图5 磁路有功损耗对比结果
基于矢量磁路的永磁电机动态模型及控制：应用矢量磁路和磁感元件概念，可通过磁路形式推导并建立计及涡流对磁场反作用的电机控制数学模型，改善模型精度。基于改进后的电机控制模型，可有效减小电机电流预测误差，提升模型预测控制等控制算法的性能。
图6 基于矢量磁路计及涡流反作用的电机控制模型
图7 不同负载下电机电流预测误对比
引文信息
秦伟，程明，王政，等．矢量磁路及应用初探[J]. 中国电机工程学报，2024，44(18)：7381-7394．
QIN Wei，CHENG Ming，WANG Zheng，et al．Vector magnetic circuit and its preliminary applications[J]．Proceedings of the CSEE，2024，44(18)：7381-7394(in Chinese)．
作者介绍
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责编：陈 娟
审核：乔宝榆
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