作者 | Patrick Honner, quantamagazine.org/the-imaginary-numbers-at-the-edge-of-reality-20181025/
翻译 | 演绎

在数学教室第一次接触虚数之时，你是否与我一样脑中闪过："我什么时候会用上这玩意？"，有什么要比学习这样一个虚构出来的数更让人搓火呢？

但虚数和它们所定义的复数，却被证明是非常有用的。它们对物理学、工程学、数论和几何学有着深远的影响，人们利用它才步入另外奇异的数字系统世界。让我们来看看这些陌生的数字是如何扎根于我们所知道的数字，但同时又与我们所想象的任何东西都不同。

整数和实数，自然是我们最熟悉的一些数学对象。它们是所有可以用十进制符号表示的数字，如 、、、、，再者还有 、。我们可以对这些数进行加、减、乘、除，在课堂上和日常生活中都得上。但实数并不足以解决我们所有的数学问题。

在 15 世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺试图找到多项式方程的一般解法。起初，在解决像  这样的方程时没有困难，因为很容易找到两个数的和为 、积为 ：即  和 。这意味着  可以被分解为 ，将这个多项式表示为两个因子的乘积，使得解此类方程变得容易。

但是对于像  这样的方程就不那么容易了。找到两个相加为 、相乘为  的数似乎是一个不可能的挑战。如果两个数字的乘积是正数，那么它们的符号一定相同，由于它们的和是正数，这意味着它们一定都是正数。但是如果两个正数相加为 ，它们必须都小于 ，这意味着它们的乘积就要小于 。似乎没有办法使这个问题得到解决。

然而，卡尔达诺发现，如果他允许计算过程中涉及 ，即 -1 的平方根，就可以找到解来。这是一个令人不安的结论。

如对任意一个实数平方，结果必为正数：例如，，，。这意味着任何实数乘以自身都不可能等于 ：卡尔达诺使用  来解决上面那个棘手的实数方程，但  本身并不是一个实数。

卡尔达诺对待这些非实数，或者说"子虚乌有之数"的数犹豫不决，甚至即便用它们所做的算术描述为无用。但他惊讶地发现，这些奇异的数也遵守了许多与实数相同运算性质。虽然后来虚数方面进展缓慢，但卡尔达诺对  无奈之下应用还是推动了复数的发展，这是实数的一个强大和富有成效的扩展。

复数

复数是由实数部分和虚数部分组成的。它们的形式是 ，其中  和  都是实数，而 ，也被称为 "虚数单位"。它们一开始可能看起来很奇怪，但我们很快发现，我们可以像对待实数一样对复数进行加减乘除。

要对复数进行加减，你只需将实数部分和虚数部分分别结合起来，像这样。

这类似于将多项式相加时的 "同类项 "组合在一起。

复数的乘法是利用我们对实数使用的同样的"分配律"来完成的。分布性质告诉我们乘法和加法是如何一起工作的。例如，当你把 2 和(5+i)相乘时，你把 2 分配给 5 和 i 的总和。

要将 2+3i 和 5+i 相乘，你只需应用两次分配律。这里，(5+i)的乘法首先分布在 2 和 3i 之和上。也就是说，。

注意我们的答案 ，并没有  的形式。这真的是一个复数吗，还是别的什么？这里我们要用到  的事实。

由于可以把  写成  的形式，我们知道它确实是一个复数。这说明运算满足闭合特性。当你把两个复数相乘时，还是会得到另一个复数，而不会跑到其他数系里去。

复数的乘法甚至也满足交换律。这意味着当你把两个复数按任何顺序相乘，结果都是一样的。例如，你可以验证 。我们经常想当然地认为实数的乘法是换元的--例如，--但正如我们以后所看到的，这个重要的事实并不是对每个数系都成立。

因此，可以对复数进行乘法运算，但如何对它们进行除法运算呢？关键在于理解除法和乘法之间的关系。

我经常告诉学生，基本计算里是没有除法这回事，只有对倒数的乘法。当我们看到  这个表达式时，我们通常会想到 "10 除以 2"，但我们也可以把它看作是 ，或者 "10 乘以 2 的倒数"。

一个实数、非零数  的倒数能被写成 ，并且当与 a 相乘时，结果为 1。比如， 的倒数是 ，因为 。值得注意的是， 是一个实数，即 0.5。

数学中，加法中的反数和乘法中的倒数称为逆元。

现在，这可能看起来是一个不必要的复杂的除法方法，但当你开始考虑像  这样的数字时，它就会得到回报。" 除以  "的含义可能不是很清楚，但延用实数下的除法运算思路考虑哪个数乘以  会等于 。

利用  这一事实，以及实数和复数的其他一些重要性质(让我们在表达式前面加上负号)，我们看到 ，所以  确实是  的倒数。这意味着，如果我们想用一个数字除以 ，我们可以用  来代替它。

对于其他复杂的复数，计算可能会变得有点困难，但倒数的概念仍然有效。例如，为了计算 ，需要找到  的倒数。为了做到这一点，我们将使用一个涉及复数里"共轭"(Complex Conjugate)的技巧--也就是把虚部的符号取反得到的相应复数。

注意当我们用复数  乘以其共轭数  时会发生什么。也就是说，。

复数与它的共轭复数的乘积是一个实数! 这在一般情况下是真的，因为 ， 和  总是实数。

共轭复数的这一特性有助于我们计算任何复数的倒数。由于 ，我们把方程两边都除以 ，然后做一些代数。

由于  和  相乘为 ，我们知道  是  的倒数。当我们想除以  时，只需直接乘以 。所以要计算 ，我们要乘以。

这个新的虚数单位  的诞生，给数学家开启了全新的数学世界。探索这个奇怪的世界，其中平方后的结果可以是负数，但其运算结构与我们所熟悉的实数非常相似，而这种对实数的扩展只是一个开始。

四元数的诞生

1843 年，爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿爵士(William Rowan Hamilton)创立了另一个数学世界，其中有许多不同的 "虚数单位"，并由此发现了四元数(Quaternion)。

四元数的结构类似于复数，但另有额外虚数单位，哈密顿称之为  和 。每个四元数的形式为 ，其中 、、 和  为实数，。你可能认为任何人都可以发明一个新的数域系统，重要的是要问它是否会有我们想要的各种运算结构和性质。例如，这个系统在乘法运算下会不会是封闭的？是否能够进行除法？

为了确保四元数具有这些属性，哈密顿必须弄清楚如何处理 。所有四元数都需要看起来像 ，而  却不是。当我们第一次将两个复数相乘时，我们也遇到了类似的问题。我们最初的结果中有一个  项，这似乎并不合适。幸运的是，我们可以利用  这一事实，把这个数字放在适当的形式中。但是对于  可以做什么呢？

哈密顿自己也在努力理解这个乘积，当灵感迸发的时刻终于到来时，他把自己的见解刻在了散步所经过的桥上。

世界各地的人们仍在访问都柏林的布鲁姆桥，分享这一数学发现的时刻。

哈密顿在虚数单位 、 和  之间的著名关系使我们能够对四元数进行乘除，并得到大多期待的结果。让我们看看这如何解决  应该是多少的问题。

从  开始，我们将方程的两边(在它们的右边)都乘以  并进行简化。

从上面得出关系中，我们看到 。在这里，我们将  这一事实与其他属性一起使用，包括乘法的"结合律"，即当两个以上的东西相乘时，你可以选择哪一对先相乘。

其他的乘积也可以用类似的方法推导出来，所以我们得到一个虚数单位的乘法表，看起来像这样。

这些四元数的乘法规则可以用下图表示。

在这里，沿着箭头的方向绕着圆圈移动可以得到相应的乘积 ，而在相反的方向移动则会引入一个系数 (例如 。注意这意味着，四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的。(这就是为什么我们必须在上面的方程  的两边都乘以右边的 )。两个四元数以不同的顺序相乘，可能会产生不同的结果!

为了在四元数中得到我们想要的那种结构，我们必须放弃乘法的交换性。这是一个真正的损失。交换律是一种代数对称性，而对称性在数学结构中总是一种有用的属性。但抛去这个性质，我们就获得了一个系统，在这个系统中，我们可以像处理复数那样进行加、减、乘、除。

为了加减四元数，我们像以前一样合并同类项。乘法时，我们仍然使用分配律，只是计算麻烦点。四元数的除法，我们仍然使用共轭的概念来寻找倒数，非零元素仍有唯一的逆元素。因为就像复数一样，任何四元数与其共轭的乘积都是一个实数。

例如，如果我们想除以四元数 ，我们利用  的事实，这使我们能够找到  的倒数，即。

因此，四元数是复数的延伸，我们可以进行加、减、乘、除运算。和复数一样，四元数也有令人惊讶的作用。它们可以用来模拟三维空间的旋转，这使得它们在渲染数字景观和球形视频，以及在我们的三维世界中对飞船和手机等物体进行定位和定向方面具有宝贵价值。

八元数

这些超越实数的扩展仍然在八维的八元数中继续，这是哈密顿的同事发现的一个更奇怪的数系，它共有七个虚数单位。

就像我们看到的所有其他数系一样，你可以对八元数进行加减乘除。就像四元数一样，我们需要一些特殊的规则来管理如何乘以所有的虚数单位。在这里，它们在一个被称为 "法诺平面 "的图中得到了体现。

如同四元数的表示方法，沿箭头方向相乘得到的是正积，而逆箭头方向相乘得到的是负积。

像四元数一样，八元数的乘法不满足交换律。并且当把数的概念扩展到八元数上，也失去了乘法结合律。当三个八元数 、 和  相乘时， 不一定是真的。例如，利用上图，我们可以看到

但是这样就时不同的结果了：

所以现在我们有一个不满足结合律、交换律的乘法和 7 个虚数单位的数字系统。什么时候有人会用到这个？一些物理学家认为，八元数可能是描述强、弱和电磁力如何作用于夸克、轻子及其反粒子的关键。如果是真的，这可能有助于解决现代物理学中的一个巨大谜团。

数学家最初从整数、实数开始 ，不断扩展来创造更大的数字系统--复数、四元数、八元数，在其中可以进行加减乘除的同时，还会失去一些熟悉的运算性质。这样一路走来，虚数可能远离了与我们周遭真实事物的联系，但同时得到了思考另外奇异数学世界的新方法，在那里的某个时刻数学家总能找到这样或那样的用途。