希尔伯特的挑战

1900 年 8 月酷暑里的一个炎热潮湿下午，大卫•希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上进行了一次永垂史册的讲演。

即便对于这位德国哥廷根的 38 岁伟大数学家而言，这也是项艰巨的挑战任务。当他刚开始演讲的时候，甚至可以听到声音中的一丝丝紧张，因为聚集在索邦大学的都是一流数学家。

几个月来希尔伯特一直在担心他该说些什么。毫无疑问，刚迈入新世纪的这届数学家大会上应该出现比仅仅复述旧定理更令人振奋的东西。

所以希尔伯特决定做一个非常大胆的演讲。他计划谈论当时数学家还不知道的事情，而并非已经证明的事情。他用 23 个未解决的问题勾勒出整个 20 世纪数学研究的宏伟蓝图，以此用来挑战新世纪的数学家。

他认为“问题是数学的生命血液”。在数学家的发现之旅中，如果没有任何问题，数学就会停滞不前。这 23 个问题为整整一个世纪的数学探索者奠定了基础。它们的存在，像一座座山峰，等待数学家们征服。

一个数学问题要够难，才能引起我们的关注；但又不能太难，难到完全高不可攀，反过来嘲笑那些徒劳无功的人们。它要能指引着我们穿过一条条迷宫般的路径，寻找隐藏其中的真理，并能让我们在最终得到答案后品味成功的喜悦。——希尔伯特, 摘自人邮图灵《悠扬的素数》

随着上个世纪的结束，所有的问题绝大部分都解决了，余下几个中最重要的一个就是黎曼猜想。

它是希尔伯特所有问题中的珠穆朗玛峰。实际上也是希尔伯特最喜欢的问题。当被问及如果 500 年后他会再次复活后会做的第一件事时，他说：“我会问，黎曼假说是否得到了证明。”

但至今各种迹象表明，答案仍然是“没有”，它似乎是数学书籍中最难的问题之一。

当数学家进入千禧年的时候，决定继续希尔伯特的挑战。通过解决七个千禧年大奖难题中的一个就能获得百万奖金和闻名天下，而黎曼猜想是唯一一个同时出现在希尔伯特的问题清单和这个新世纪的问题清单中的问题。

从大自然寻找奇妙规律的人群

黎曼猜想涉及到要成为一个数学家所具备的核心能力：寻找规律与模式。

对规律的搜寻通常与那些出现在课堂上的挑战大同小异，比如，找到数列的下一个项。下面是一个挑战列表，供您尝试。能找到规律并填写下一个数字吗？

前两个可能没有什么问题。第一个数列称为三角数。数列中的第 n 个数记录了有 n 行的三角形中的石头数量，也就是说，前 个数的总和：。

第二个数列则是大自然偏爱的序列之一了。在十三世纪数学家斐波那契第一次认识到这列数的重要性之后，人们称这数列为斐波那契数列，序列中的每一个数都是通过把前两个数相加而得到的。一朵花的花瓣数量总是这个序列中的一个数字。

找出第三个数列可能更具挑战性。事实上，如果你能预测 46 是这个序列中的下一个数字，那建议你可以下周六买一张彩票。因为这组数字是英国 2003 年 10 月 22 日的彩票一等奖中奖号码。

最后一个数列当然就是素数序列，这些不可分的数字只能被自己和 整除。它试图去解释黎曼猜想所涉及的素数序列。

面对这些一系列的数字，许多问题也随之产生。除了寻找某个规律来预测下一个数字的挑战外，数学家们也热衷于尝试去理解是否能有一些公式可以帮助得到这些数字：有没有一种方法可以在不计算前 个数字的情况下直接生成列表中的第 个数字？

在我们的前面三个序列中，前两个确实有生成其序列的公式。例如，要得到第 个三角形数，只需在 公式中令 。这比把 到 之间的所有数字相加要简单得多。（挑战：你能证明为什么这个公式总是有效吗？这里有一个提示：取两个三角形，构建一个 行、 列的矩形。）

但是当你看素数的序列时，会发现它们似乎与彩票的数字有更多的共同之处。我们似乎很难预测下一个素数何时出现，更不用说去生成某个公式，并告诉你第 个素数是 。

尽管素数具有随机性，但它们是无穷无尽的。就如彩票号码没有什么特别的，从一周变到下一周。素数是永恒存在于宇宙结构中的数字。 是素数这一事实似乎印在了宇宙的本质上。宇宙的另一边可能有不同的化学或生物学，但 仍然会是素数。这就是为什么许多科幻小说作家（例如卡尔·萨根，在他的经典小说《接触未来》中，也被制作成同名电影）选择素数作为外星生命与地球交流的方式。这个数字序列有一个特别的地方，如果在遥远的星系中有某种符合这个数列的律动，我们一定会注意到。

外星人可能在数百万年前就发现了素数，但人类发现素数的第一个证据是什么？有人认为，第一个认识素数的文化产生在 8000 多年前。考古学家在中赤道非洲发现了一块现在被称为 Ishango bone（伊尚戈骨的骨头），它的侧面刻有三列柱状刻痕。这根骨头上的痕迹似乎与数学相关。在其中一列中，我们发现了在 到 之间的素数。但也有人认为，这些骨头与记录日期有关，由于素数的随机性，日期列表很可能是素数列表。

第一个真正理解了素数对整个数学体系意义的是古希腊文化。他们认识到素数是所有数字的基石。每一个数字都可以通过把素数相乘而得到。

素数就相当于是算术的原子。每门学科都有它的基本组成部分，比如化学中的周期表，列出了构成物质的 种元素；物理学家有基本粒子，它们覆盖了夸克和胶子等不可思议的东西；生物学正在寻找人类基因组的序列，人类基因组是生命的构建工具。

但是几千年来，数学家们一直在聆听素数，也就是数学的心脏跳动，却无法理解或预测下一次跳动何时到来。

对数学家来说，这是一个终极的戏弄：尽管数学是一门模式、秩序和对称的学科，然而它却是由一组似乎没有韵律或理由的数所构成的。

当然，有一种可能性，就像化学中的原子一样，比如说只有 个素数可以用来建立所有的数字。如果这是真的，我们不需要担心寻找规律来预测素数，因为我们只需要列一个有限的素数列表就可以完成。但伟大的希腊数学家欧几里得早在他那个年代就排除了这种可能性。在许多人眼中，欧几里得给出的这个定理是数学的第一大定理，他解释了为什么素数无穷多。

也许素数开始时相当不可预测，然后才会稳定下来形成一个模式。让我们看看 附近的素数情况，看看这里是否出现了一个模式，我们是否可以找到一个预测素数涨落的公式。 之前的 个数中是有 个素数：

但看看 之后的 个数中出现的素数只有 个：

这样看来似乎没法找到一个公式，可以得出一个素数列表，或能直接告诉我们第 个素数就是 。

就像听一首曲子和听白噪音的区别一样。曲调的内在逻辑允许你在听过几次后再吹出这段旋律，而随机的白噪音却没有给你下一步旋律的线索。素数的神奇之处在于，尽管第一次听到的只是白噪声，但转向数学的另一个领域的转变将揭示一种意想不到的和谐，这便是高斯和黎曼的伟大见解。就像西方人听东方的音乐一样，在我们理解导致这种随机性的模式之前，我们需要一个不同的视角。

横向思维者

数学家具有很强的横向思维能力。普林斯顿大学教授 Enrico Bombieri 认为，假如遇到了不可逾越的障碍：“当问题难以解决时，合理的做法通常是停下来问问自己：我的问题是可解的吗？”

最先开始尝试改变问题的是一个十五岁的男孩——卡尔·弗里德里希·高斯。十九世纪初，由于一颗小行星，高斯一夜间成为了科学界的新星。这个世纪的开始伴随着一个新星球的发现，人们幸运地发现了位于火星和木星之间的一颗行星，并将它命名为谷神星。它的路径被连续追踪了几个周，但是，它在靠近太阳时隐没在眩光中——失踪了。高斯面临的挑战是在收集到的数据中找到规律。他向天文学家指出了可能会看到谷神星的天空区域。当然，他计算出的结果是对的。

高斯不仅仅喜欢在星空寻找规律，他更热爱数字。在他整个数学世界中，素数是最钟情的珠宝。他幼时有一本关于对数的书，末尾附有一张素数表。就是通常被读者忽略的表格，高斯设法在对数与素数两者之间找到了联系。

高斯尝试计算出有多少素数，而不仅仅是预测哪些数是素数。这就是最终解开素数的秘密的横向思维。他问：素数在全部数字中占多大比例？他发现数字越大，素数越少.他做了一张表，记录着素数所占的比例的变化.

既然素数的分布看起来如此随机，也许掷骰子能够提供一个很好的素数分布模型。也许大自然用“素数骰子”来选择 左右的素数，“素数”写在一面，另五面空白。为了决定 是不是素数，大自然掷骰子来看它是否落在素数的一边。当然，这只是一个启发式模型。一个数要么是素数，要么不是素数，但高斯认为这个“素数骰子”也许会产生一个与真正的素数序列具有相似性质的数字序列。

当我们检查越来越大的数字的是否为素数时，骰子有几个面？对于 大小左右，大自然似乎使用了一个六面骰子；对于 左右的数，需要一个 面骰子。

高斯发现，他那本含有素数表的书中的对数表就为确定素数骰子上有多少面提供了答案。

让我们再看一遍高斯的素数统计表。每当高斯把第一列的数字变成原来的的十倍时，记录骰子面数的最后一列中的数字大约会增加 。这样，我们就得到了有关素数的一个规律。高斯意识到，还有一个函数也有同样的功能，能把乘法变为加法，这就是对数函数。

17 世纪，苏格兰男爵约翰·纳皮尔第一次发现了对数函数在数学中的重要作用。当时的人们普遍认为纳泊尔与恶魔结盟，因为他肩上扛着一只黑乌鸦，拎着一只小笼子里的蜘蛛在城堡里边走边咕哝着关于他的创世纪代数理论的预言。但时至今日，他因发明了对数函数被后人铭记。

高斯猜测一个数 是素数的概率是 ，其中，对数的底数取 。这是掷出一个有 面的骰子，“素数”面朝上的概率即为 。注意，当 变大时， 也会变大，自然素数那面朝上的概率随之变小。随着数字增大，素数的分布会越来越稀疏。

如果大自然将素数骰子掷 次，有着不同面数的骰子分别能得到多少素数？如果骰子有一个固定的边数，比如 ，那么得到的素数个数大约是 。

现在高斯改变每枚骰子的面数，得到的素数的个数应该分别是

高斯将素数的这一猜测精确化为一个称为对数积分的函数，用 表示。他的猜想与真实素数情况相比如何？我们可以看下面的图表。红线是高斯用他的素数骰子得到的，蓝线记录的是素数的真实数目。

高斯的猜测并不完全准确。但当数字越来越大时，它是否足够好呢？最佳的评价方法是记录百分比误差：看看高斯对素数的预测与实素数之间的差异占真实素数的百分比。

高斯认为，随着我们的考虑的数字越来越大，百分比误差会越来越小。他不相信有什么可怕的惊喜等着我们。他的猜想被称为：高斯素数定理(Prime number theorem)：百分比误差随着计数的增加而越来越小。

我们已经有了很多证据来证明这一点，但怎样保证更大的 仍然符合这一规律呢？

1896 年，法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦·莱普森先后独立给出证明，论证了高斯是正确的。

高斯还认为他的猜测总是会高估素数的数量。表中的数据让这一点看起来无比正确.但 1912 年，剑桥的数学家利特尔伍德找到了一个反例，证明了高斯这点是错的。尽管，高斯的猜测第一次低估素数的个数，是当 比可观测宇宙中的原子数还要多时——这决不是实验能够揭示的。

高斯发现了大自然用来选择素数的“素数骰子”。这些骰子的边数随着所选择的素数增大而增加，像对数函数一样增长。现在的问题是要确定这个骰子是如何落下的。

高斯的学生黎曼，发现音乐可以最好地解释如何从高斯猜想的图像得到素数的真实图像。正如我们将在另一篇文章中发现的那样，《黎曼的音乐》可以解释大自然的素数之骰子是如何真正地降落的。(完)

创作团队：
翻译：行可爱   校对：曾麟程/演绎  排版：演绎

原文：
- https://plus.maths.org/content/prime-number-lottery
参考：
- https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
- 人邮图灵《神奇的数学》