[译者 演绎]：在Steven Strogatz的笔下，通过约翰·冯·诺伊曼的这个故事，窥见了数学的一个奇妙空间——无穷级数。文章不仅展示了数学的力量，也让我们看到了数学与日常生活之间的紧密联系。冯·诺伊曼以其敏锐的直觉，简洁地解决了一个看似复杂的问题，从而向我们展示了数学的美丽和实用性。
文章中的其他例子，如苍蝇和自行车的问题，以及讨价还价的模型，都生动地展示了数学在解决现实问题中的应用。这些例子不仅让数学变得更加趣味生活，也激发了我们思考如何用数学的眼光去看待问题，感受它的美丽和力量。
作者 | Steven Strogatz
翻译 | 演绎
要论起来聪明才智，极少有人能超过约翰·冯·诺伊曼，他作为现代计算机的设计师和博弈论的创始人，因其快如闪电的心算和过人记忆力而成为传奇。
有个关于他的故事：曾经有人向他提出了一道问题。两个骑自行车的人从长 20 英里的路两端相对出发，速度是每小时 10 英里匀速行驶。当最开始时，一只停在其中一辆自行车前轮上的苍蝇开始以每小时 15 英里的速度向另一辆自行车飞去。当它到达那里时，立即扭转方向回飞，再向第一辆自行车飞去，然后又飞回第二辆，如此反复。它不断地来回飞，直到最后自行车相遇时，它被挤在前轮之间。问在被压扁之前，这只苍蝇总共飞了多远？
这个问题听起来很棘手，苍蝇来回飞行距离由无限多的部分组成，每一部分都比前面的部分要短，把它们加起算清楚似乎是一项艰巨的任务。
一种解决思路的窍门是这样，如果考虑到骑自行车的人，而非苍蝇，这个问题就变得简单了。20 英里长的路，两个骑自行车的人以每小时 10 英里的速度互相靠近，1 小时后会在中间相遇。而在这一小时内，无论苍蝇走什么路，它一定走了 15 英里，因为它的时速是 15 英里。
当时，冯-诺伊曼听过这个难题时，立即就答到："15 英里"。提问者显得有点失望："你也发现了这个窍门。" "什么？我只不过对无穷级数进行求和计算。"冯·诺伊曼笑道。
无穷级数——遵循某种规则的无穷数字、变量或函数之和。在微积分这出大戏里，导数和积分自然是出尽了风头，而无穷级数也占有重要一席之地。
那么为什么要研究它们呢？无穷级数有助于寻找困难问题的近似解，也有助于说明数学严谨性的微妙之处。只不过对于无穷级数的介绍，课堂上老师往往没有给出现实世界的实际应用，而少数出现的示例，比如年金、抵押贷款、化疗方案的设计，对于学生而言来说似乎很遥远。
学习无穷级数最令人信服的理由（我是这么告诉我的学生的）是它们是非常重要连接工具，揭示了数学不同领域之间的联系。只有当触及到了微积分的这一部分后，真正数学世界的大门才被推开，其真正结构展示出来。
在我解释之前，让我们看一下另一个涉及无穷级数的问题。逐步解决它将阐明冯·诺伊曼是如何解决上面苍蝇飞行问题，并且为更广泛地思考无穷级数问题奠定基础。
假设你想从一个街头小贩那里买一顶漂亮的帽子。他要价 24 美元。
"12 美元怎么样？"你直接对半砍价说。
他回答："让我们各退一步，18 美元吧"。
就这样，取个均值价格似乎也不错，但如果你读过一本谈判手册《无限讨价还价的艺术》，就会接着用下一个的提议来再砍价，可以分担均值，只不过现在是在 12 美元与 18 美元之间："15 美元，就这么定了。" "哦，不，我的朋友，那我就亏了，16.5 美元吧。"卖家说，这种情况一直持续下去，直到你们的价格趋于一致。那么这个终极价格是什么？
答案是一个无穷序列之和。要想知道它是什么，请观察一下，连续的报价都遵循下面这个模式。
, 商家第一次报价 , 你的第一次报价 , 取 和 均值。 ，去 和 均值。
关键是等号左边的数字是由右边不断延长的数值序列地建立起来的。序列中出现的每个数字（）都是上一项的绝对值的一半，但符号相反。因此，在极限中，你和卖家将同意的价格 就是
公式里的省略号就意味着这个序列将永远持续下去。
与其在这样一个无限长的表达式上绞尽脑汁，我们可以玩一个数学里常用的狡猾技巧，使问题求解变得简单，它允许我们消去那些令人困惑的无限项，只给留下一些简单的余项来得到答案。
微积分的先驱们发现，当时他们所熟悉的所有函数都可以转换为 "幂级数"这一形式。
具体来说，让我们把上式两边都加倍。因此有
这对解决问题有什么帮助？请注意， 中的无限项几乎与 本身相同，只有第一项 不同，余下数字的正负号都是相反的。因此，如果我们把 的数列加到 的数列上，其他一切都会成对抵消。所以 ，意味着 ，因此
这就是你在讨价还价后最终为这顶帽子所付的钱。
苍蝇飞行问题也遵循类似的数学模式。只要稍加思考，就可以推断出，苍蝇的每一段来回路程都是前一段路程的 。冯·诺伊曼会发现，对由此产生的"几何数列"进行求和是小菜一碟，这是我们一直在考虑的一种特殊数列，其中所有连续的项都有相同的比率。对于苍蝇问题，公比是 ，而对于讨价还价的问题，公比为 。
一般来说，任何几何数列 的形式为：
其中 是公比， 是所谓的首项。如果比率 在 和 之间，就像我们的两个问题一样，上面使用的技巧可以通过不乘以 而是乘以 来调整，以表明数列的和是
具体来说，对于砍价问题， 是 美元， 是 。把这些数字代入公式中，立即就得到 ，等于 美元。
这是苍蝇在来回旅程的第一段路程中所走过的距离，所以要计算它，我们必须弄清楚以飞行速度每小时 英里的苍蝇在哪里与以每小时 英里的速度接近它的自行车相遇。因为它们的速度形成了 ，也就是 的比例，它们相遇时，苍蝇已经走了最初 英里距离的 ，即 英里。
类似的推理显示，苍蝇每次回转飞行时，距离都会以 的比例缩小。这些过程，冯·诺伊曼不过是瞬间考虑完毕，利用 公式，给出苍蝇飞行的总距离。
现在回到更一般的问题上：像这样的数列是如何起到连接数学各部分的作用的？要看到这一点，需要站得更高一点，考虑下面等比数列的求和公式()：
与其把 看作是一个特定的数字，如 或 ，不如把 看作一个变量。然后这个公式说了一些惊人的事情；它表达了一种数学点金术，好像铅可以变成金子一样。它断言，一个给定的 的函数（这里是 ）可以变为数学上更容易处理的东西，如 的简单幂次的组合，比如 和 等等。
奇妙的是，在科学和工程中几乎随处可见的大量其他函数也是如此。微积分的先驱们发现，他们所熟悉的所有函数，正弦和余弦、对数和指数函数都可以转化为幂级数。
而当他们进行这些转换时，会得到了惊人的结论。例如，这里是余弦、正弦和指数函数的幂级数。
这里 代表阶乘。例如，4！意味着 。
特别注意， 函数的幂级数看起来似乎非常像上面两个公式的混合。只要 和 中正负符号的交替再相加。
正是这种巧合，让莱昂哈德·欧拉发现了数学史上最令人惊叹和影响深远的公式之一：欧拉公式。
其中 是虚数，定义为 。
欧拉公式表达了一种数学中最非凡的联系，它断言正弦和余弦，即周期和波，与指数函数存在着这样关联，即体现增长和衰减--但只有当我们考虑 在复分析领域（暂不管那意味着什么）。
欧拉公式可以由无穷级数直接验证出来，现在是电气工程、量子力学和所有与波浪和周期有关的技术学科中不可缺少的概念。
文至此处，我们可以迈出最后一步，来看经常被描述为所有数学中最美丽的方程——欧拉恒等式，其实也就是欧拉公式的一种特殊情况，即 的情形。
欧拉恒等式连接了数学中最著名的几个常数。每一个数都象征着整个数学的一个分支，这样一来，这个方程可以被看作是某种数学之光的汇聚，数学统一性的证明。
代表虚无、空虚，但它并不代表那里缺了个数。零是使我们整个数字书写系统成为可能的。 然后是数的单位 ，人类计数和数字的基石。 接下来是圆周率 ，圆和完美的象征，但它也有神秘无穷的一面，小数点后永远不会结束，令人难以捉摸。 还有虚数 ，代数里的一个标志，体现了创造性想象力的飞跃，使数字能够打破标量大小的桎梏。 最后是自然对数的底数 ，微积分的吉祥物，意味着运动和变化。
当我还是个孩子时，父亲告诉我，数学就像一座金字塔。一个概念建立在下一概念之上，加法建立在数之上，减法建立在加法之上。就这样，通过代数、几何、三角学和微积分，一直上升到 "高等数学"--这是一座高耸入云的结构。
但是一旦我了解了无穷级数，就不能再把数学看作是一座塔。它也不是一棵树，它的不同部分并不是分裂开来、各奔东西的枝丫。在我看来，数学是一张网，它的所有部分都相互连接支持。数学的任何部分都不能从其他部分中割裂开来，它是一个网络，有点像一个神经系统。或者说，就像个复杂奇妙的大脑。
英文: quantamagazine.org/how-infinite-series-reveal-the-unity-of-mathematics-20220124
