为什么需要采样
我们关注的大多数信号，尤其是在无线通信中的波形，都是连续时间信号。它们需要在实际的无线信道中传播，因此是连续时间的。
然而，在进行数字信号处理时，需要将这些连续时间信号转换为离散的数字信号（即一系列的数字数值）。为了实现这一点，必须对信号进行采样，将信号在时间上离散化成一组等间隔的数字数据。
从连续时间信号到离散时间信号
假设有一个带限的连续时间信号 s(t)，它在频域的表示是 S(F)，且具有一个带宽 B（通常带限信号的频谱有界限）。
离散时间信号 s[n]， 是通过对连续时间信号 s(t) 在等间隔的时间点上取样获得的。
也就是说，离散时间信号 s[n] 是在 t=nTs 时刻的连续时间上的信号值，其中，Ts 是采样周期，n 是整数。数学表示为：
采样周期（sampling period，sample interval）在时域中，连续信号被离散化成等间隔的样本，采样周期 Ts 就是两个相邻采样点之间的时间间隔。也就是说，Ts 是每个采样的时间间隔。采样频率（sample rate， sampling frequency）采样频率是采样周期的倒数，即 Fs=1/Ts。它表示每秒钟进行多少次采样，单位是赫兹（Hz）。采样频率是数字信号处理中最基本的参数之一，因为它决定了离散信号的时间分辨率。如果采样频率过低，可能无法充分捕捉到连续信号的细节，导致信号的失真或混叠现象。这个信号的频率是 F，其中 A 是幅度，θ 是相位。接下来，我们对这个信号进行采样，采样频率为 Fs=1/Ts（即采样周期为 Ts 秒）。通过采样，我们得到离散时间信号 s[n]：这表明，采样后的离散信号是一个离散时间的正弦波，频率为 F/Fs，这个频率是离散时间信号的频率。如果我们对另一个连续时间信号进行相同频率的采样，假设该连续信号的频率为 F+kFs，其中，k 是整数（k=±1,±2,…），这个信号的离散时间版本是（采用后的信号）：由于 2πkn 项只是一个常数，表示信号的相位偏移，k 的影响可以被忽略。因此，离散信号的形式与先前的 s[n] 相同，其频率同样为 F/Fs，即两者的离散频率是相同的。这表明，如果两个离散信号的频率差是采样频率 Fs 的整数倍，那么采样后，它们是无法区分的。
也就是说，如果多个连续信号的频率 F 满足以下关系：
那么，采样后的离散信号频率将会是相同的，无法区分。就像 30° 和 390°、-330° 等角度是等价的，具有相同的角度。
因此，以下所有频率范围都是相同的：
区间−0.5Fs → +0.5Fs，可以称为主频区间（Primary Zone）。前述连续时间信号 s(t) 的频谱，现在被画在下面的图中。红色虚线标出了主频范围，实线画出了该频率范围内的频谱内容，虚线画出了频谱的副本（即频谱的重复部分）。从上图所示的频谱副本可以明显看出，如果一个连续时间信号的带宽 B 大于 0.5Fs，它将作为低频信号混叠（alias）出现在范围 −0.5Fs ≤ F <+0.5Fs 之内，从而导致信号失真。下面的图示，说明了带宽 B 超过主频区间（primary zone）的信号会发生这种现象。因此，对于带宽为 B 的信号，采样频率应满足以下不等式，以防止采样信号发生失真：
或者写成另一种形式：
如上所示，时间域中的采样间隔 Ts，会在频域中产生周期性，周期为 Fs= 1/Ts。因此，带宽为 B 的带限连续时间信号，只要采样频率 Fs ≥ 2B（每秒采样 2B 次），就可以从它的采样中唯一地恢复出原始信号。0.5Fs 被称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency）或折叠频率（folding frequency），它是采样频率的一半，也就是频谱中的最高有效频率。如果信号的频率超出这个范围，就会发生混叠。频率 2B 被称为奈奎斯特率（Nyquist rate），是采样的最低频率，表示能够无失真地采样带宽为 B 的信号所需的最低采样频率。采样定理告诉我们，只要采样频率 Fs 足够高（至少是信号带宽的两倍），带宽为 B 的带限信号就可以通过采样得到，并从采样数据中恢复出来。采样定理是数字信号处理中的一个基础定理，确保了从离散信号中恢复连续信号的可能性。从小空间阅读到大空间分享，本文原作者QasimChaudhari，由 @阿米尔C 重新整理归纳。
