016 加性高斯白噪声 (AWGN)

文摘   2024-12-06 22:00   江苏  
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《015 一个简单的通信系统》一文中,讨论了数字通信的基本概念,尤其是信号的离散化表示与符号映射过程,并分析了噪声如何影响传输的可靠性。通过介绍比特与符号之间的关系,以及最小距离决策规则的应用,我们得以更好地理解信号如何在噪声干扰中恢复原状。
在这种数字信号传输过程中,噪声对通信性能的影响不可忽视。接下来,进一步讨论加性高斯白噪声这一通信系统中的关键噪声模型。

热噪声和AWGN

在通信系统中,一个重要的性能指标是误码率(BER,Bit Error Rate),即在接收端检测到的错误比特与发送的总比特数的比例。

热噪声(thermal noise)是影响这一性能的关键因素之一。 热噪声主要来自于接收器内部电子元件的原子和分子的热运动,这些运动产生了随机的电磁信号,这些信号叠加在接收到的信号上。

AWGNAdditive White Gaussian Noise,加性高斯白噪声)是描述通信系统中噪声的一种理想化模型。AWGN是加性噪声的一种特例,它假设噪声是高斯分布且在频域中是白噪声。

由于热噪声在数学上可以用AWGN模型来描述,所以在很多通信分析中,热噪声常常被当做AWGN来处理。加性高斯白噪声这一术语的起源如下:

加性
AWGN 被视为加性噪声,因为它是叠加在原始信号上的,即接收到的信号 r(t) 是原始发射信号 s(t) 和噪声 w(t) 的总和。
AWGN 噪声在统计特性上与信号是相互独立的,即噪声的发生与信号的值没有关联。

白噪声

白噪声在整个频带内的所有频率上都有相同的功率。因此,白噪声的功率谱密度(PSD)在所有频率上都是恒定的,即噪声在频域中是均匀分布的。
奈奎斯特发现,热噪声的PSD与温度成正比,比例常数为k(玻尔兹曼常数)。它的功率与接收器前端的等效温度成正比,因此得名热噪声。上述图中指示的此常数值,即热噪声的PSD常数,通常表示为N0/2,单位是瓦特/赫兹。
热噪声可以视为一种特殊类型的白噪声。由于热噪声在频域上是平坦的,且它也符合高斯分布,因此它是一种“白噪声”。不过,热噪声是由温度驱动的,而白噪声的来源则不一定与温度相关。
根据傅里叶变换的特性,频域中一个常数(恒定的谱密度)对应时域中的单位脉冲。换句话说,频域中的恒定功率谱密度的IDFT是一个在时域中表现为“脉冲”的信号。
对于一个理想的白噪声(其频谱是恒定的),它的自相关函数是一个单位脉冲。或者说,在时域中,信号与自身在同一时间点的相关性是最大(即1),而在不同时间点的相关性则为零。
换句话说,序列中的每个噪声样本都与该序列中的任何其他噪声样本不相关。由于白噪声样本之间没有相关性,因此,如果你从一个无限长的白噪声序列中随机抽取许多样本,白噪声的平均值为零。
高斯
高斯分布是一种连续概率分布,也称为正态分布,其形状像一个钟形曲线。噪声样本的概率分布是高斯分布。
在时域中,样本值可以是正的或负的,接近零的值出现的概率更高,而远离零的值出现的可能性较小,如下图所示。由于高斯分布的对称性和均值为零,大量噪声样本的平均值将接近零。

噪声的频谱与滤波
在无线通信中,我们感兴趣的频率范围(从几千Hz到几百GHz)内,噪声的频谱可以被认为是理想平坦的(即白噪声)。然而,对于更高的频率,这种理想平坦性可能不再成立。因为各种因素(如电子元件的非理想特性、信号衰减等)会导致噪声在不同频率上的分布不均匀。
每个无线通信系统都会涉及滤波,滤波会去除信号频带之外的噪声能量,从而只保留我们感兴趣的频带内的信号和噪声。由于滤波器的作用,我们无法确定滤波器之外的频谱是理想平坦还是部分平坦,可以在滤波之前假设它是平坦的,因为我们只关注滤波器内的频谱。
采样定理(也叫奈奎斯特定理)规定,要准确地恢复连续信号,需要以至少是信号带宽两倍的采样频率来采样。这是为了避免混叠现象。混叠指的是由于采样频率不足,导致高频信号成分被错误地映射到低频区域,造成信号失真。
为了避免混叠,采样之前需要对信号进行低通滤波,限制信号的带宽。对于采样率为 Fs 的离散信号,该滤波器在±Fs/2范围内。
理想低通滤波器的频率响应是:在±Fs/2范围内,滤波器的增益为1(即完全通过),在其他频率上增益为0(即完全阻止)。

下图中红色显示了所得带内功率,而其余部分被滤除。

需要注意的是,当我们试图通过某种方式(如通信、信号处理等)利用某个特定带宽时,这个带宽内会不可避免地存在噪声功率。这种噪声功率是自然存在的,无法通过技术手段完全去除。

因此,我们在设计和实现相关系统时,需要考虑到这种限制,并采取相应的措施来减小噪声的影响,提高系统的性能。
噪声功率谱密度(N0)等于噪声功率(Pw)除以带宽(B)。
在实际采样中,带宽通常被定义为采样频率的一半(Fs/2),我们可以将B = Fs/2 代入上述等式,得出采样带限系统中的噪声功率为:
因此,噪声功率与采样阶段的系统带宽成正比,即带宽越大,噪声功率越大。

AWGN信道与星座点最小距离
AWGN 服从高斯分布,为了最大化信号的接收质量,我们需要通过最小化接收到的信号星座点与目标(或原始发送的)星座点之间的距离来实现
在数字通信中,信号通常被映射到特定的星座点上,这些星座点代表了不同的符号或比特序列。当信号在传输过程中受到AWGN的污染时,接收到的信号星座点可能会偏离其原始位置。
最小距离规则指出,如果接收到的信号星座点与某个目标星座点之间的距离最小,那么我们就可以更有信心地认为这个接收到的信号代表了该目标星座点所代表的符号或比特序列。
为了实现这一点,我们可以设计通信系统,使得不同符号或比特序列对应的星座点之间的距离尽可能大。这样,即使信号受到噪声的干扰,接收端仍然可以根据最小距离规则来准确地识别出原始发送的符号或比特序列。
AWGN信道模型作为理想模型,在实际通信系统中并不完全适用。现实中,信号在传播过程中受到多种因素的影响,比如信号的衰减、多径传播、阴影效应、载波和定时偏移等。这些因素会导致信号的畸变,增大接收信号的误码率。
然而,AWGN模型作为一个简化的基础模型,在理论研究中有着重要的意义,因为它去除了复杂的实际环境因素,能够清晰地展示噪声对信号的基本影响。
从小空间阅读到大空间分享,本文原作者QasimChaudhari,由 @阿米尔C 重新整理归纳。

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阿米尔C,2016年CSDN博客之星。予人玫瑰,手留余香。
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