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018 时域采样定理

文摘 2024-12-22 22:00 江苏

传送门：LTE合集

上一篇提到了连续时间信号的采样，以及频域的采样定理。本篇继续探讨时域的采样定理。

时域采样定理

采样是对连续信号进行离散化处理的过程。现在考虑一个余弦波，假设采样间隔为Ts（即两次采样之间的时间间隔），如下面的图形所示。

如果频率为0（即信号为常数，用数字1表示），那么无论在哪里采样，得到的值都是相同的。

对于低频波形2，同样可以采集两个样本点，这两个样本点可以将其与波形1区分开来。对于波形3也可以这么说，其周期T>2Ts。

然而，对于频率更高的波形4，其周期T<2Ts，它在第二个采样点的位置与波形3相交。这种情况下，仅通过这两个采样点，我们无法区分波形3和波形4。

这就是采样定理在时域中的理解方式：

对于一个频率 F=1/T 的波形和采样率 Fs=1/Ts，若满足：

则可以唯一确定信号。这个条件确保了信号的最高频率成分（1/T）低于奈奎斯特频率（1/2Ts），从而允许从采样数据中无失真地恢复原始信号。

或者说，频率高于 0.5Fs 的信号，在离散域中看起来是一个与其频率相差 Fs 的信号，这两个信号无法区分。

在时域中这表现为不同的正弦波（它们之间频率相差 Fs）在采样点处重叠，这一点可以从下图中理解。

观察上图可以发现，由于正弦波的周期性，有无数个正弦波（它们之间相差 Fs）都会通过相同的采样点。在采样后，这些正弦波变得无法区分，因为它们都产生了相同的采样值序列。

时域采样定理是信号处理中的一个重要原理，它规定了采样率必须满足的条件，以确保从采样数据中能够无失真地恢复原始信号。当信号的频率高于奈奎斯特频率时，会发生混叠现象，导致不同的信号在采样后变得无法区分。

离散域中的时间概念

在离散域中，只要我们知道采样间隔或采样率，就可以很容易地确定信号的周期或频率。

在离散时间环境中，周期通常以样本数来衡量。以下图的正弦波为例，其周期T显然是10个样本，要将其转换为实际秒数，必须知道采样间隔Ts或采样率Fs。

对于采样间隔Ts=0.1秒的情况，周期T=10×0.1=1秒，其频率F=1/T=1 Hz。

对于采样间隔Ts=0.002秒的情况，相同的离散时间正弦波具有周期T=10×0.002=0.02秒，其频率F=1/T=50 Hz。

在离散域中，这两个正弦波的样本都将作为一系列数字存储在内存中，且没有区别。

这是因为，我们仅从样本本身无法得知原始信号的采样间隔，因此也无法直接确定其周期和频率。要确定信号的周期和频率，我们需要知道采样间隔或采样率。

在实际应用中，了解信号的采样间隔、周期和频率对于信号的分析、处理和重建至关重要。例如，在音频处理中，不同的采样间隔会导致不同的音频质量和带宽要求。在数字图像处理中，采样间隔决定了图像的分辨率和细节程度。

混叠总是有害的吗？

混叠是指高于奈奎斯特频率（0.5Fs）的频率成分在采样后，会在主频区（-0.5Fs ≤ F < +0.5Fs）内重新出现，导致信号失真或混淆。混叠是不遵守采样定理的结果。

混叠并不总是坏事。事实上，混叠有三种类型：

有害混叠：这种混叠会扭曲信号，导致在离散域中无法正确表示原始信号。它通常发生在采样频率Fs低于信号带宽的两倍（即Fs<2B）时。为了避免有害混叠，需要确保采样频率足够高，以捕获信号中的所有重要频率成分。

有用混叠：通过精心设计的系统，可以利用混叠效应将信号的频谱带上下移动，以实现所需的频率转换。这在以多个时钟速率运行的系统中特别有用，例如在某些类型的数字信号处理应用中。有用混叠允许在不增加额外硬件复杂性的情况下，实现频率的灵活调整。

无害混叠：这种混叠对系统性能没有直接影响，既不会提高也不会降低系统性能。它可能出现在某些特定情况下，如带限脉冲成形设计中，以避免符号间干扰（ISI）。在这种情况下，混叠效应不会引入额外的失真或错误，因此可以被视为无害。

其他说明

在一个固定的数据采集时间间隔内，如果我们增加采样率（即每秒采集的样本数），那么我们将能够采集到更多的样本。采集的样本越多，所得离散信号的能量就越高。

ADC（模数转换器）用于将连续模拟信号转换为离散数字信号。ADC的位数决定了其能够表示的分辨率，即能够区分的最小信号变化量。ADC每增加一个额外的位，信噪比（Signal to Quantization Noise Ratio，这里特指信号与量化噪声比）就会提高6dB。

从小空间阅读到大空间分享，本文原作者QasimChaudhari，由 @阿米尔C 重新整理归纳。

无线协议开发

阿米尔C，2016年CSDN博客之星。予人玫瑰，手留余香。

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