数学中的柏拉图主义与反柏拉图主义

学术 2025-01-11 00:01 加拿大

文章来源于“哲学门”

选译自MARK BALAGUER《Platonism and Anti-Platonism in Mathematics》（关注哲学门并在首页留言“柏拉图”获取该书电子版）

引言

1. 本书的研究目标

本书是一部关于数学哲学的著作。但这究竟意味着什么？在数学哲学这一领域中，似乎存在两条主要路径，两种被认为是核心的研究目标。一种是诠释学的目标，即为数学理论和实践提供一个恰当的解释和说明；另一种是形而上学的目标，即回答是否存在抽象对象的问题。

首先，澄清一些术语。抽象对象是一种存在于时空之外的对象，或者更严格地说，是一种非时空性的对象，即一种存在但不在时空中的对象。这类对象是非物质的、非心理的，并且无因果关系的。对这类对象的信念被称为柏拉图主义，而对其不信则被称为反柏拉图主义。数学对象则是通常被认为属于数学领域的抽象对象，例如数字、函数或集合。数学柏拉图主义的观点认为数学对象确实存在，而数学反柏拉图主义则认为此类对象并不存在。为了行文优雅，本文将经常使用“柏拉图主义”和“反柏拉图主义”来指代这两种观点。

诠释学目标与形而上学目标当然并非完全独立。主要关注前者的哲学家几乎总会对后者提出一些看法，即他们会采纳柏拉图主义或反柏拉图主义的立场。而主要关心后者的哲学家几乎总会（实际上，在这种情况下，我们可能可以去掉“几乎”）对前者表达看法，即他们会对数学理论和实践采取某种解释。这两者的区别主要在于对重要性的态度。例如，在注意到数学家对本体论问题显得有些漫不经心时，倾向于诠释学的哲学家可能也会倾向于在本体论上采取一种轻松的态度，而倾向于形而上学的哲学家则绝不会这样；他们会问，这种数学家的态度对数学的本体论究竟能告诉我们什么（如果有的话）。

一个主要关注形而上学目标的哲学家的绝佳例子是哈特里·菲尔德 (Hartry Field)；他在数学哲学领域的几乎所有工作都致力于表明我们无需相信数学对象。而一个主要关注诠释学目标的哲学家的典范是大卫·希尔伯特 (David Hilbert)。一个更当代的例子是佩内洛普·马迪 (Penelope Maddy)，尽管她并不是一个很好的例子，因为她有时显然对形而上学目标非常关注。一个更合适但知名度较低的当代哲学家例子是乔迪·阿佐尼 (Jody Azzouni)。

本书主要关注形而上学目标。当然，这并不意味着我会忽视诠释学目标。我会呈现一种对数学的解释或“图景”，这种解释（毫不意外地）我认为完全符合数学实践。此外，我认为任何不满足这一要求的数学哲学（无论其主要关注诠释学还是形而上学）都因此而无法接受。因此，我将自己归入形而上学传统，只是为了表明我的研究最终目标是形而上学的；我希望通过研究数学理论和实践，看看它是否能告诉我们关于世界的任何信息，特别是它是否能告诉我们抽象对象是否存在。

关于形而上学目标，我将提出的论点是：它不起作用。也就是说，我想证明，通过研究数学理论和实践，我们无法找到任何理性理由去相信或不相信抽象对象。换句话说，在数学哲学中，并不存在支持或反对柏拉图主义的有力论证。

这看起来可能只是一个纯粹的否定结论，但从某种意义上来说，本书的发现不仅是积极的，而且是双重积极的。原因在于，我通过展示柏拉图主义和反柏拉图主义都是完全可行的数学哲学，来支持上述关于形而上学目标的否定结论。这是本书的主要内容。在第一部分中，我发展了一种新的柏拉图主义观点，并展示其如何经受住所有传统反对柏拉图主义的论证，特别是贝纳塞拉夫 (Benacerraf) 的两大论证；在第二部分中，我发展了一种新的反柏拉图主义观点（更准确地说，是一种捍卫最近发展出的反柏拉图主义观点的新方式），并展示其如何经受住所有传统反对反柏拉图主义的论证，特别是奎因-普特南 (Quine-Putnam) 的不可或缺性论证。

在本书的最后一章，我试图进一步强化我的结论。我首先论证，不仅仅是我们目前缺乏支持或反对数学柏拉图主义的论证，而是我们永远无法发现这样的论证。然而，这仍然是一个认识论命题，因为这里的主张是，我们永远无法得知数学对象是否存在。在最后一章的后半部分，我试图引入一个形而上学结论，即，实际上，并不存在关于抽象对象是否存在的事实问题。

（我之前提到，本书的大部分内容将致力于证明柏拉图主义和反柏拉图主义都是可辩护的观点。但现在我又提到，在最后一章中，我将论证是否存在关于柏拉图主义或反柏拉图主义正确与否的事实问题本身并无定论。从某种意义上来说，这使得我在最后一章的论点与我之前关于柏拉图主义和反柏拉图主义可辩护的主张相矛盾。因为论证两者无事实依据的正确性无疑是在某种程度上对这两个观点提出批评，从而表明它们并非完全可辩护。我认为这是正确的。但为了行文的优雅，我会在最后一章之前暂时忽略这一点。在前七章中，我将为柏拉图主义和反柏拉图主义辩护，以反驳对这些观点的最重要的传统反对意见，并将写作方式假定为我认为柏拉图主义和反柏拉图主义完全可辩护。但最后一章确实会削弱它们的立场。）

2. 数学柏拉图主义与反柏拉图主义

在对本书进行更详细的概述之前，我想进一步说明我要探讨的两个核心观点——即数学柏拉图主义和数学反柏拉图主义。大致来说，前者的观点是：(a) 存在数学对象，例如数字（这些对象是非时空的，独立于我们及我们的数学理论而存在）；并且 (b) 我们的数学理论描述了这些对象。而反柏拉图主义的观点则是：(a) 不存在抽象对象，例如数字，因此 (b) 我们的数学理论必须以其他方式进行解释。

然而，这两种思想体系都有各种不同的版本，我现在想要讨论的正是这一点。在 2.1 小节 中，我将初步勾勒出本书将要为之辩护的柏拉图主义版本，并描述它与其他版本的关系；在 2.2 小节 中，我将概述本书将要为之辩护的反柏拉图主义版本，并解释它在反柏拉图主义的不同版本中所处的位置。

2.1 柏拉图主义的各种版本

本书将要探讨和发展的一种柏拉图主义版本——我称之为 丰盈的柏拉图主义（plenitudinous platonism），或 完全柏拉图主义（简称 FBP）——在多个方面与传统的柏拉图主义版本有所不同，但所有这些不同点都源于一个关于数学对象数量的根本性差异。FBP 的观点可以用一种直观但稍显随意的方式表达，即：所有可能的数学对象都存在。

要消除这一定义中的第一个随意性，需要指出我在这里使用“可能”一词时是以其最广泛的意义来使用的。换句话说，FBP 的观点是：所有逻辑上可能的数学对象都存在。这确保了 FBP 与非丰盈版本的柏拉图主义不兼容，因为后者否认某些类型数学对象的存在，并断言这些对象在某种意义上是“形而上学上不可能的”。（关于“逻辑上可能”的确切含义需要进一步阐明。我将在第三章第五节中详细讨论这一点，但目前只需指出，这里所涉及的可能性是一种非常广义的逻辑可能性。）

然而，上述关于 FBP 的定义中仍然存在更多随意性需要处理。要理解这一点，可以注意到，如果我们将上述定义形式化，它将呈现如下内容：

是一个数学对象且在逻辑上是可能的存在]。

将定义以这种形式表述揭示了两个相关的问题。首先，这一定义似乎暗示了存在性是一个谓词，可以应用于某些领域中的对象但不适用于其他对象。其次，它似乎使用了一种 de re（对象层面的）可能性；也就是说，它似乎暗示存在一些可能的对象，它们可能是实际存在的，也可能不是。我想与这些观点保持距离。我并不认为存在所谓“并不存在”的对象，或“可能但不实际存在”的对象。在我看来，所有对象都是普通的、实际存在的对象。

FBP 背后的理念是，普通的、实际存在的数学对象已经涵盖了所有此类对象在逻辑上的可能性；也就是说，实际上存在着所有逻辑上可能种类的数学对象；换句话说，所有逻辑上可能存在的数学对象实际上确实存在；再换句话说，数学领域是丰盈的。

现在，我并不认为上一句中提出的 FBP 的四种表述能够完全避免原始表述中的所有困难，但在我看来，这四种表述结合起来可以相当清楚地表达 FBP 的观点——尤其是考虑到我对 FBP 不涉及的内容所做的说明。实际上，我认为唯一剩下的不明确之处是“逻辑上可能”究竟是什么意思；但我将在第 3 章第 5 节中讨论这一点。（我还应该补充一点，在第 3 章和第 4 章中，我将讨论 FBP 的一些重要后果；因此，到那个时候，“整体的 FBP 图景”会变得更加清晰。）

现在，有人可能会认为，如果我们想要一个真正精确的 FBP 陈述，我们应该简单地在形式语言中表述这一主张。对此我持保留态度，原因有两点。第一，我倾向于怀疑是否真的有一种适当的方法来形式化 FBP；第二，无论如何，我认为将 FBP 看作一种形式理论本身就是错误的。FBP 首先是一种非正式的数学哲学，而我将在本书中以这种方式发展和论证这一观点。

尽管如此，我确实认为，关于如何尝试在形式语言中表述 FBP，说几句或许有助于澄清 FBP。然而，在此之前，我想强调，我的唯一目的是帮助读者弄清楚 FBP 的含义；找到一种适当的形式化方法并不重要。

注意到这一点后，我想说，我们可以接近于用一种二阶模态语言来捕捉 FBP 的含义。为此，设 V 为一阶变量，Y 为二阶变量，令 'Mx' 表示“x 是一个数学对象”，并考虑作为初步尝试的以下公式：

这一公式之所以只能接近地表达 FBP，是因为虽然 FBP 主张所有可能存在的数学对象都确实存在，但上述公式并未必然表明任何数学对象的存在。原因在于，它对数学对象是否可能存在的问题保持沉默；换句话说，该公式的条件语句的前件是否会在任何代入实例中为真，这一点没有得到保证。

现在，这看起来可能是一个相当大的问题——大到我们甚至不应该声称这个公式能接近表达 FBP。然而，我认为这是对问题的夸大，因为这里讨论的可能性是一种逻辑可能性（即公式中的 "◇" 是被理解为逻辑可能性），而数学对象的存在在逻辑上是完全平凡的可能性。换句话说，在我看来，上述公式确实接近表达 FBP，因为如果我们将其与数学对象存在在逻辑上是可能的这一平凡命题结合起来，那么直观上，我们确实似乎接近表达了 FBP。（当然，这里关于“逻辑上可能”的确切含义仍然不够明确，但这一点我稍后会讨论。）

我想，我们可以通过以下公式更接近表达 FBP：

如果需要进一步接近表达 FBP，可以使用以下公式：

因为这个公式确实包含了对数学对象的存在性承诺，但这一改进是有限的。尽管它在某种意义上减轻了原始公式所遇到的困难，但并未完全消除这些问题。

无论如何，此时应该已经相当清楚 FBP 的观点是什么了。而且，我认为也应该清楚，FBP 是柏拉图主义的一种非传统版本。这仅仅是因为传统的柏拉图主义版本并不丰盈，或者说并不“完全”；也就是说，它们接受某些类型的数学对象，但不接受其他类型的数学对象。而柏拉图主义者在数学对象数量上的承诺这一问题在文献中几乎完全被忽略了，但我将在本书的第一部分中论证这是一个至关重要的问题。特别地，我将论证：(a) FBP 是一种可辩护的观点，(b) 所有非丰盈版本的柏拉图主义都是不可辩护的。

（我并不是想暗示我是第一个捍卫类似 FBP 观点的人。爱德华·扎尔塔 (Edward Zalta) 和伯纳德·林斯基 (Bernard Linsky) 曾捍卫过一个类似的观点；他们认为，“某一类抽象对象可能存在的数量有多大，它们实际上就有多大。”但他们对抽象对象的概念相当非正统，因此他们的观点在多个方面与 FBP 有很大不同。我不知道还有谁以 FBP 的方式声称数学领域是丰盈的，但确实有少数哲学家的言论让人联想到这种图景。例如，希尔伯特 (Hilbert) 曾在给弗雷格 (Frege) 的一封信中写道：

如果任意给定的公理及其所有推论之间并不互相矛盾，那么它们就是真的，并且由这些公理定义的事物是存在的。这对我来说是真理和存在的标准。

同样，庞加莱 (Poincaré) 也曾说过，“在数学中，‘存在’一词的意思是‘不矛盾’。”此外，迈克尔·雷斯尼克 (Michael Resnik) 也说过，“一个纯粹的[数学]理论可以通过证明它未能刻画任何模式，即它是不一致的，来被证伪。”并且在这样说时，他似乎认为，这种理论只能以这种方式被证伪。

但尽管这些表述让人联想到 FBP 的丰盈数学领域图景，我并不认为这些哲学家会支持 FBP。首先，很明显，希尔伯特和庞加莱都无意支持任何形式的柏拉图主义，更不用说 FBP 了。换句话说，他们并不想说存在一些独立于我们及我们的数学理论而存在的数学对象。至于雷斯尼克，如果他支持任何形式的 FBP 观点，那可能是 FBP 的一种结构主义版本，即认为所有可能存在的数学结构实际上都存在的观点。但我并不认为雷斯尼克会支持这种观点，因为 (a) 他根本不认为结构是实体，(b) 他似乎想避免在表述其观点时使用诸如“可能”之类的模态词汇。事实上，在我看来，如果有谁支持 FBP 的结构主义版本，那很可能是斯图尔特·夏皮罗 (Stewart Shapiro)。但无论我们如何评估这些哲学家是否支持类似 FBP 的观点，这里需要注意的重要一点是——至少据我所知——还没有人像我将在本书前半部分那样利用 FBP 来反驳对柏拉图主义的传统反对意见。）

柏拉图主义阵营中需要讨论的第二个分歧（第一个是 FBP 和非丰盈版本柏拉图主义之间的分歧）是对象柏拉图主义与结构主义之间的分歧。我之前将柏拉图主义表述为认为存在抽象数学对象的观点，但这并不完全准确。柏拉图主义的真正核心是对抽象的信念，即相信存在某种真实且客观的东西，这种东西存在于时空之外，并且我们的数学理论对此进行刻画。将这种抽象的东西视为一组对象的主张可以被抛弃，而不必放弃柏拉图主义。因此，我们可以严格地说，数学柏拉图主义是一种观点，即我们的数学理论是对一个抽象数学领域的描述——这个领域是现实中非物质的、非心理的、非时空的方面。

传统的柏拉图主义版本——例如由弗雷格 (Frege) 和哥德尔 (Gödel) 所捍卫的版本——是一种对象柏拉图主义。对象柏拉图主义认为数学领域是一个由抽象数学对象（例如数字和集合）构成的系统，而我们的数学理论（如数论和集合论）则是对这些对象的描述。因此，根据这一观点，句子“3 是素数”表示抽象对象“数字 3”具有素数这一性质。

然而，与对象柏拉图主义相对的一种非常流行的替代观点是结构主义。根据结构主义的观点，我们的数学理论并不是对特定抽象对象系统的描述，而是对抽象结构的描述。在结构主义中，结构类似于一种模式，或者说是一个“无对象模板”——即一个可以被任何展现该结构的对象系统“填充”的位置系统。

结构主义的核心动机之一是数学对象的“内在性质”似乎在数学上并不重要。数学上重要的是结构——即数学对象之间的关系。例如，在算术中，结构主义认为任何具有正确结构（即任何 ω-序列）的对象序列都可以与其他任何序列一样满足算术的需求。结构主义者坚持认为，算术关注的不是这些 ω-序列中的某一个，而是它们共同拥有的结构或模式。因此，根据结构主义者的观点，并不存在“数字 3”这一对象，只有自然数模式中的第四个位置。

（结构主义仍然被视为柏拉图主义的一个版本的原因在于，这里的结构和位置被认为是真实的、客观的，最重要的是，抽象的。）

对象柏拉图主义者和结构主义者之间的争论在本书中不会占据重要地位，因为我认为柏拉图主义者并不需要在这个问题上采取明确的立场。当然，结构主义者可能会质疑这一点；他们认为，通过采纳结构主义，柏拉图主义者能够更好地应对针对柏拉图主义的两大主要反对意见，即认识论反对意见和多重还原反对意见。然而，在本书中，我将证明这种看法是错误的。首先，我会论证，结构主义在这些问题上并没有真正发挥作用。（在这方面，我会非常简短地说明：我将在第 2 章第 6.5 小节讨论认识论问题时提到这一点，并在第 4 章第 3 节讨论多重还原问题时提到这一点。）但更重要的是，我会提供对这两个问题的解决方案，这些方案适用于结构主义和对象柏拉图主义。我将主张，柏拉图主义者可以通过采纳 FBP 来解决这些问题（并且只能通过这种方式解决它们），而 FBP 与对象柏拉图主义和结构主义都是兼容的。

上一段表明，没有理由偏向结构主义而不是对象柏拉图主义。但这里的问题更为深刻：甚至不清楚结构主义是否在重要意义上与对象柏拉图主义是不同的。我这样说并不是因为结构可以被视为数学对象——尽管我认为它们应该被视为数学对象——而是因为结构中的位置可以被视为数学对象。现在，要正确论证这一点，我需要对“对象”是什么给出一个非常明确的定义，但我不会在这里这样做，因为这个问题实际上是一个题外话——位置是否被视为对象与我将在本书中展开的论证完全无关。然而，初步来看，并没有明显的理由认为位置不应该被视为对象。我们可以用单数术语来指代它们，在一阶语言中对它们进行量化，赋予它们属性，等等。还需要什么其他标准呢？

也许有人会主张，位置不是对象，因为它们没有任何内在属性，也就是说，它们的本质仅仅是它们与其他位置之间的关系。我们稍后会看到，有理由怀疑“位置的本质仅仅是它与其他位置之间的关系”这一说法。但即便这一点成立，也很难看出为何它会得出“位置不是对象”的结论。在具体对象中，对象性与内在属性之间可能存在某种直观的联系，但我看不出为什么有人会认为在抽象对象中也存在这样的联系。

根据上述论述，有人可能会建议，结构主义者关于“对象与位置”的论述只是个干扰，结构主义应以其他方式定义。一种类似的建议由查尔斯·帕森斯 (Charles Parsons) 提出，他认为结构主义应被定义为这样一种观点：数学对象没有内在属性，也就是说，数学对象仅仅由它们与其他数学对象之间的关系构成。然而，很难认为有任何数学对象能满足这一限制；毕竟，数学对象具有一些属性，例如“非时空的”或“非红色的”，而这些属性似乎与它们与其他数学对象之间的结构关系毫无关联。事实上，在我看来，仅拥有结构属性这一性质本身就是一种非结构属性，因此这种对结构主义的定义实际上是自相矛盾的。

另一种建议是，结构主义应被定义为这样一种观点：数学对象的内在属性在数学上并不重要，也就是说，在数学中，结构才是重要的。然而，与前一种定义过于严格不同，这种定义则过于宽泛。正如我们将在第 4 章看到的，传统的对象柏拉图主义完全可以与数学对象的内在属性在数学上并不重要这一观点相容。实际上，在我看来，几乎所有自称为对象柏拉图主义者的人都会支持这一观点。因此，这一定义无法成为区分结构主义与传统对象柏拉图主义的依据。

我认为，结构主义者不会反驳这一点。也就是说，我认为他们并不想仅仅通过数学上什么是有趣的或重要的这一主张来定义他们的观点。他们似乎想超越这一点，提出一个能够明确区分他们的观点与传统柏拉图主义版本的本体论或形而上学主张。但问题在于，他们似乎难以提出这样的主张。我们已经看到，两种可能的建议都失败了：一是数学关注的是结构中的位置，而不是对象；二是数学对象仅具有结构属性。我不想进一步追究这一点，但无论如何，我怀疑结构主义者能否应对我提出的挑战。也就是说，我怀疑结构主义对数学对象作为“位置”的概念，与传统的数学对象概念之间是否存在任何重要区别。

我想在此重申，我同意结构主义的观察，即所有数学上重要的事实都是结构事实，而不是关于数学对象内在属性的事实。（事实上，我认为这是一个重要的观点，并将在第 4 章将其作为我的一个论证的前提。）此外，为了认可另一个结构主义的观点，我承认，柏拉图主义者有时将数学理论描述为结构是方便的，实际上，我在本书中也会有时以这种方式表述。我的观点仅仅是，当我们谈论结构（以及“结构中的位置”）时，我们并不是在谈论“非对象”或“缺乏内在属性的对象”；我们讨论的是普通的数学对象。此外，正如我在前几段中指出的，我认为，通过声称数学对象可以被视为“结构中的位置”，并不能解决任何柏拉图主义的哲学问题。

在继续之前，我想稍作旁注。我在前几段中提到，我无意讨论“对象”是什么的问题。这可能看起来像是一种疏漏，因为本书主要关注是否存在抽象对象这一问题，而弄清诸如“对象”“抽象”和“存在”这样的词语的含义似乎非常重要。但上述评论的要点在于，这里对对象的讨论并不相关。如果有人希望采用一个狭义的“对象”概念，那么本书关注的就不是是否存在抽象对象，而是是否存在某种抽象实体的问题。但无论如何，我不会采用狭义的“对象”概念；相反，我将采用一个广义的概念，使得我们可以谈论任何能够被提及的事物——例如，结构中的位置就是一个对象，这样“是否存在抽象实体”的问题就可以简化为“是否存在抽象对象”的问题。最后，关于“抽象”和“存在”这两个术语，我上面提到“抽象”意味着“非时空的”，但目前我不想对此再作详细说明。我希望在本书的大部分内容中，保持对“存在”和“非时空”这两个术语的“朴素”理解。不过，在最后一章，“是否存在抽象对象”这句话的真正含义将成为讨论的核心。

2.2 反柏拉图主义的各种版本

在反柏拉图主义阵营中，主要的分歧在于实在论者与反实在论者之间的对立。实在论者认为，虽然我们的数学理论并未描述抽象对象，但它们确实描述了具体的（即时空中的）对象。而反实在论者则认为，我们的数学理论并不涉及任何对象，也就是说，这些理论在事实上是空洞的。（一种表述现实主义反柏拉图主义的方法是将其视为这样一种观点：数学对象是具体对象。然而，这可能令人困惑，因为“数学对象”这一术语通常被用来暗示相关的对象是抽象的。）

表面上看，现实主义反柏拉图主义似乎有两种类型，一种认为数学是关于物理对象的，另一种认为数学是关于心理对象的。前一种观点的最著名支持者是约翰·斯图尔特·密尔 (John Stuart Mill)，他认为数学是最普遍的自然科学。根据密尔的观点，就像植物学给我们提供关于植物的规律一样，数学提供的是关于所有对象的规律。例如，“2 + 1 = 3”这句话告诉我们，无论何时将一个对象添加到由两个对象组成的一堆中，我们最终都会得到三个对象。它并未告诉我们任何关于抽象对象（如数字 1、2 和 3）的信息，因为根据这种观点，根本不存在抽象对象。

另一方面，认为数学是关于心理对象的观点被称为心理主义 (psychologism)。以同样的例子来说，这种观点认为“2 + 1 = 3”是关于我们头脑中的某些观念，即 1、2 和 3 的观念。在第 5 章中，我们会看到心理主义实际上更适合作为一种反实在论的版本来解读，因为它认为数学所涉及的对象并非独立于我们而存在。换句话说，与柏拉图主义者和密尔式经验主义者声称数学家发现了关于客观实体的事实不同，心理主义的支持者提出了一种反实在论的主张，认为数学家构造了他们的对象，因此主要是发明者。

除了心理主义之外，反实在论的反柏拉图主义还有其他几种不同的版本。一种是约定论 (conventionalism)，它认为数学命题是分析真理。在这种观点下，“2 + 1 = 3”类似于“所有单身汉都是未婚的”：它仅仅因为其中词语的含义而为真。另一种观点是演绎主义 (deductivism) 或称“如果—那么主义” (if-thenism)，认为数学为我们提供了诸如“如果 A，那么 T”（或“如果 A，那么 T 是必然的”）形式的真理，其中 A 是一个公理或多个公理的合取，T 是可以从这些公理中证明的定理。根据我们的例子，演绎主义者声称，“2 + 1 = 3”从严格意义上说是假的，但可以被视为一个更长句子的简写，即“（必然地）如果算术公理为真，那么 2 + 1 = 3”。

与此相关的另一种观点是形式主义 (formalism)，它认为数学为我们提供了关于各种形式系统中成立的命题的真理。例如，数学的一个真理是“2 + 1 = 3”是形式系统 PA（即皮亚诺算术）中的一个定理。形式主义的一个变体是游戏形式主义 (game formalism)，它认为数学是一种符号操作的游戏；根据这种观点，“2 + 1 = 3”是由 PA 的公理所指定的“游戏”的“合法结果”之一。

另有两个值得一提的反实在论版本是维特根斯坦的观点（在某些方面与游戏形式主义和约定论有关，但与二者又有区别）和奇哈拉 (Chihara) 的观点（后者试图用关于可以构造的开放句的断言替代数学中的存在主张）。不过，我并不想像对前述观点那样尝试用一句话简要定义这两种观点，因为我认为这是不可能的。捕捉维特根斯坦和奇哈拉观点背后的核心思想需要更详细的讨论，但这里并没有必要展开这一点。

我将在第 5 章论证，反实在论反柏拉图主义的最佳版本——实际上也是反柏拉图主义的最佳版本——是虚构主义 (fictionalism)。这种观点与其他反实在论反柏拉图主义版本的不同之处在于，它像柏拉图主义一样，将数学句子和理论视为表面意义上的陈述。虚构主义者同意柏拉图主义者的观点，即句子“3 是素数”是关于数字 3 的，特别是，他们认为这句话是说这个数字具有素数的性质。他们也同意，如果数字 3 存在的话，它将是一个抽象对象。

然而，他们与柏拉图主义者的分歧在于，他们不认为数字 3 存在，因此也不认为像“3 是素数”这样的句子是真实的。根据虚构主义者的观点，数学句子和理论是虚构的；它们可以与类似“圣诞老人住在北极”的句子进行比较。这个句子并不真实，因为“圣诞老人”是一个空洞的术语，即它并未指向任何实际存在的对象。同样地，“3 是素数”也不真实，因为“3”是一个空洞的术语——正如不存在圣诞老人一样，也不存在数字 3。

在我将要捍卫的虚构主义版本中，这意味着“3 是素数”这一句子是简单的错误。然而需要注意的是，这并不是虚构主义的核心要素。数学虚构主义的核心是：(a) 不存在数学对象，因此，(b) 数学单称术语是空洞的。至于这是否意味着像“3 是素数”这样的句子是错误的，或是它们没有真值，或其他含义，则取决于我们对“空洞”的理论。我将采用的观点是，这类句子是错误的，但这一点并不重要。

认为虚构主义是反柏拉图主义的最佳版本可能会显得奇怪，因为表面上看，声称“2 + 1 = 3”是错误的似乎近乎荒谬。但从某种意义上说，虚构主义是反柏拉图主义者最显而易见的选择。由于反柏拉图主义者不相信抽象对象，而表面上看数学是关于抽象对象的，因此反柏拉图主义者似乎应该声称数学是虚构的。此外，我将在第 5 章第 4 节论证，反柏拉图主义者通过以非表面意义的方式重新解释数学，使其看起来真实，并不会获得任何优势。有人可能认为，通过这种方式，他们可以更容易地解释数学的适用性，但我将论证，这种看法是一种错觉。

对于虚构主义者，一个显而易见的问题是：“既然‘2 + 1 = 3’是错误的，那么这个句子和‘2 + 1 = 4’之间有什么区别呢？”这种区别类似于“圣诞老人住在北极”和“圣诞老人住在特拉维夫”之间的区别。换句话说，区别在于“2 + 1 = 3”是某个众所周知的数学故事的一部分，而“2 + 1 = 4”不是。我们也可以用另一种方式表达这一观点，即尽管“2 + 1 = 3”和“2 + 1 = 4”都不是真实的，但存在另一种真值谓词——即“在数学故事中为真”——适用于“2 + 1 = 3”，但不适用于“2 + 1 = 4”。这似乎是菲尔德 (Field) 支持的观点，但在这个话题上还有更多需要讨论的内容。

首先，重要的是要认识到，上述评论并未赋予像“2 + 1 = 3”这样的句子任何形而上学或本体论上的特殊性。根据虚构主义，数学故事本身就是虚构的。更重要的是，还存在其他数学“故事”，其中包含并非标准数学一部分的句子。因此，“2 + 1 = 3”这样的句子与“2 + 1 = 4”这样的句子之间的真正区别在于，前者是我们数学故事的一部分，而后者不是。当然，虚构主义者需要解释为什么我们“使用”或“支持”这个特定的数学故事，而不是某个替代的故事，但这并不难解释。原因在于，这个故事在实践中是有用的、美学上是令人愉悦的，更重要的是，它与我们的“思维方式”契合。最后一点可能有点模糊，但在本书的论述中会变得更加清晰。现在，我只是通过一个例子来试图澄清这一点：我们“支持”的算术理论与我们的数字概念契合（实际上是为契合这一点量身定制的）。

其次，有人可能会担心，当虚构主义者支持句子

(A)“‘3 是素数’在数学故事中为真” 时，

虚构主义者可能被认为承认了抽象对象的存在。表面上看，对句子 (A)“‘3 是素数’在数学故事中为真”的最佳和最直接的解释似乎是：它表明某个句子类型（即“3 是素数”）是某个句子类型集合（即“数学故事”）的成员。我认为虚构主义者不应试图否认这一点；他们应承认这是解读 (A) 的最佳方式。因此，由于虚构主义者并不认为存在句子类型或句子类型的集合，他们应当说，像 (A) 这样的句子是虚构的，也就是说，严格来说是错误的。

有人可能会反对说，如果虚构主义者采纳这种立场，那么诉诸谓词“在数学故事中为真”并不能为他们提供区分“3 是素数”和“4 是素数”的方法。因为虚构主义者必须对像

(B)“‘4 是素数’在数学故事中为真”这样的句子说出与对 (A) 相同的话——即，它们是虚构的。

虚构主义者可以通过关注“3 是素数”和“4 是素数”的具体语句实例来回应这一反对意见，因为虚构主义者确实相信具体语句实例的存在。在这种情况下，虚构主义者应当说，具体的“3 是素数”语句实例具有某种具体的性质，而具体的“4 是素数”语句实例不具有这一性质。

如果我们借助柏拉图主义的术语，可以非常容易地捕捉这一事实：

但虚构主义者不能声称 (C) 是真的，因为这意味着承认抽象对象的存在。因此，看来他们需要找到一种唯名论的方式来描述这里涉及的这一事实。

在我看来，找到一种合适的唯名论描述这一事实的问题，是虚构主义更一般问题的一个特例，即适用性和不可或缺性的问题。适用性问题指的是，存在关于物理世界的某些事实，这些事实似乎只能通过引用抽象对象的句子来表达，例如经验科学中数学化的句子。（这是一个问题，因为如果确实存在这样的事实，那么我们似乎不得不承认抽象对象的存在。）当前的问题是，存在一个关于物理世界的事实（即上述关于具体“3 是素数”语句实例的事实），而这种事实似乎只能通过使用像 (C) 这样的句子来表达，而该句子引用了抽象对象。因此，这个问题显然是适用性问题的一个特例。

这是一个非常重要的观点。正如我们很快会看到的，适用性问题是虚构主义的核心问题。我将第 7 章全部内容用于解决这个问题。此外，我提供的解决方案将非常通用：它适用于所有我们使用抽象对象语言描述物理世界事实的情形，特别是它将直接适用于我在前几段中讨论的特例。因此，目前我不想再对此话题做更多说明。

3. 本书概要

我已经提到，本书的核心目标是通过证明柏拉图主义和反柏拉图主义这两种观点都是可辩护的，来表明没有支持或反对它们的充分理由，即没有充分的论证可以反驳其中任何一种观点。在第一部分，我论证柏拉图主义者可以通过采纳 FBP（完全柏拉图主义）来解决他们观点中的所有问题；而在第二部分，我论证反柏拉图主义者可以通过采纳虚构主义来解决他们的所有问题。

本书最后一章我要捍卫的结论依赖于这样一个主张：FBP 和虚构主义分别是柏拉图主义和反柏拉图主义唯一可行的版本。因此，本书的前半部分不仅包括对 FBP 的辩护，还包含对所有非丰盈柏拉图主义版本（即非 FBP 版本）的简要批判；而本书的后半部分不仅为虚构主义辩护，还包含对所有其他反柏拉图主义版本的简要批判。以下是对这些内容的简要总结：

在第二章，我以我认为最强的形式提出了由贝纳塞拉夫 (Benacerraf) 提出的反对柏拉图主义的认识论论证。简而言之，这一论证认为，柏拉图主义不可能是正确的，因为它与人类拥有数学知识的事实不相容。因此，对柏拉图主义者的挑战在于解释人类如何获得关于抽象数学对象的知识。在提出该论证之后，我分析了可能的回应，并逐一系统性地评估它们。我首先论证，柏拉图主义者不能通过声称人类能够以某种方式获取关于数学对象的信息来解决认识论问题。（这种策略有两个版本，一个与哥德尔 (Gödel) 相关，另一个与马迪 (Maddy) 相关；我认为两者都不能成功。）接着，我考虑了各种解释，即使人类无法与抽象对象建立任何接触，如何仍然能够获得关于数学对象的知识。我论证了其中一些解释（如奎因 (Quine)、斯坦纳 (Steiner)、帕森斯 (Parsons)、黑尔 (Hale) 和赖特 (Wright) 的观点）完全失败，而另一些解释（如雷斯尼克 (Resnik)、夏皮罗 (Shapiro)、卡茨 (Katz) 和刘易斯 (Lewis) 的观点）尽管可行，但仅在结合 FBP 时才能奏效。（然而，我也论证，由于这些哲学家并未承认他们需要依赖 FBP，或为这种依赖提供辩护，甚至根本未涉及 FBP 这一主题，他们对认识论问题的解决方案是有缺陷且不可接受的。）

在第三章，我将 FBP 推到了中心位置。我论证，如果我们接受这一观点，那么认识论问题可以非常容易地得到解决。我不仅通过找到贝纳塞拉夫论证中的漏洞来解决问题，而且还实际提供了一种方法，用于获取关于抽象对象的知识。也就是说，我清晰地解释了人类如何在无需与抽象对象接触的情况下获得关于它们的知识。与第二章中讨论的柏拉图主义认识论不同，我的认识论完全消除了人类如何作为时空存在却能够获得非时空数学对象知识的神秘感。这一成就的原因很简单：我放弃了传统柏拉图主义，转而支持 FBP，并在构建我的认识论时充分利用了这一转变。当然，有人可能会担心，从传统柏拉图主义转向 FBP 会引发和解决问题一样多的问题。但我在第三章中论证了这种担忧是错误的，没有理由认为柏拉图主义者不能接受 FBP，而且实际上，有独立的理由表明 FBP 是柏拉图主义的最佳版本。

在第四章，我论证，通过采纳 FBP，我们还可以解决柏拉图主义的另一个重大问题，即多重还原性或非唯一性问题。此外，在本书中，我还零散地提供了对柏拉图主义的其他一些担忧的解决方案。因此，在这一点上，我得出的结论是 FBP 是一种可辩护的观点，即它能够经受所有批评的考验。接下来，我转向第二部分，对反柏拉图主义进行批评。

在第五章，我使用了本质上源于弗雷格的论证，来驳斥所有非虚构主义的反柏拉图主义版本，并论证虚构主义唯一重要的问题是奎因-普特南不可或缺性问题，即如何解释数学在经验科学中的不可或缺的应用。这一问题有两种应对策略：虚构主义者可以 (a) 否认数学在物理学中有任何不可或缺的应用，或者 (b) 承认确实存在这样的应用，并从虚构主义的视角对其进行解释。我分别在第六章和第七章中讨论了这两种策略。

第一种策略是菲尔德的观点。他主张，数学实际上对经验科学并非不可或缺，数学的可应用性（即一种可替代的应用性）可以在不放弃虚构主义的情况下得到解释。他的第一个主张——数学是可替代的，即物理理论可以被唯名化——是这个计划中有争议的部分，而针对菲尔德提出的唯名化方法，也存在许多不同的反对意见。其中最紧迫的反对意见来自马拉门特 (Malament)，他声称菲尔德的方法无法扩展到量子力学（QM）。在第六章中，我回应了这一反对意见。我不仅证明了马拉门特的论证是错误的，还勾勒出了一种唯名化量子力学的策略，并对其细节进行了许多补充工作。不过，我并未完全实现量子力学的唯名化，也没有试图回应对菲尔德计划的其他反对意见。因此，第六章并未提供对奎因-普特南论证的完整回应。这里的重点仅仅是论证，这种回应策略比许多人想象的更为可行。

在第七章，我探讨了第二种虚构主义策略来应对奎因-普特南论证。换句话说，我假设数学在经验科学中的确有不可或缺的应用，并从虚构主义的角度对其进行解释。据我所知，之前没有人尝试过这一策略，因此我提出的解释可能是原创的。我的解释的主要优点之一是，它并未退化为经验科学的工具主义。相反，它解释了我们如何能够同时支持经验科学的实在论、数学的虚构主义，以及数学对经验科学不可或缺的主张。第七章完成了第六章未能完成的任务：提供了对奎因-普特南论证的完整驳斥。因此，我对这一论证的立场是，我怀疑可以通过菲尔德的唯名化计划解决它，但这并不重要，因为即使数学对经验科学不可或缺，虚构主义者仍然有另一种可行的解决方案。此外，正如我们将看到的，有多种理由表明这种解决方案优于菲尔德的方法。

由第二部分的论证可以得出，虚构主义与 FBP 一样，是一种可行的数学哲学。因此，我们最终得出两个观点：一种认为所有逻辑上可能存在的数学对象实际上都存在；另一种认为不存在任何数学对象——但我们没有办法决定哪种观点是正确的。这得出了本书的第一个结论，我称之为弱认识论结论：我们没有任何有力的论证支持或反对数学柏拉图主义，也就是支持或反对抽象数学对象的存在。（有人可能认为，仅仅因为没有有力的论证，根据奥卡姆剃刀原理，这就支持反柏拉图主义，即虚构主义。但我在第二部分的结尾论证了这种推理也是站不住脚的。）

最后，在第八章，我试图以两种方式强化我的结论。在第二节中，我论证了所谓的强认识论结论；在第三节中，我论证了所谓的形而上学结论。这两个结论可以表述如下：

强认识论结论：我们不仅目前缺乏一个能够解决数学对象争议的有力论证——我们永远无法获得这样的论证。
形而上学结论：我们不仅永远无法发现柏拉图主义或反柏拉图主义的真伪——实际上，并不存在关于哪种观点为真的事实问题。换句话说，并不存在关于抽象对象是否存在的事实问题。

需要强调的一点是，形而上学结论适用于所有抽象对象，而不仅仅是数学对象，而认识论结论仅适用于数学对象。当然，我认为认识论结论是可以推广的；换句话说，我认为这些结论的推广版本（适用于所有抽象对象）是正确的。但本书中给出的论证仅适用于数学对象这一特例。另一方面，我对形而上学结论的论证适用于所有抽象对象。

哲学园

哲学是爱智慧，爱智慧乃是对心灵的驯化。这里是理念的在场、诗意的栖居地。关注哲学园，认识你自己。