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计数原理是初等数学中一个十分独特的内容，包括以下三部分内容：
分类加法计数原理与分步乘法计数原理(见例1)； 排列与组合(见例2)； 二项式定理(见例3,例4)。
计数原理对于解决许多实际问题，进一步学习概率论、行列式等知识而言十分重要。
事实上，早在1963年，排列组合的知识就进入了《数理化自学丛书》等教材，为2000年概率与统计正式进入高考考纲铺平了道路。1977年恢复高考后，1981年全国卷(理2文3)第一次考察了有关排列组合的知识，1982年全国卷(理2(1)文2)第一次考察了有关二项式定理的知识。
现行人教版数学教材上的绝大部分例题、习题都出现于60年前，本文挑选了历届数学教材上的经典计数原理问题，带领读者一同品味新中国第一批数学教育家们的教研成果。
本文中出现的题目难度分级如下，供不同数学水平的学生练习使用：
文末的参考文献是我使用的教材与资料的基本信息，如果你手边也有这些资料，可以和我一起翻到对应的页码。
本题解答如下：
本题是数学课本上关于加法与乘法原理的一道例题，计算量与思维深度都不大，创设了计算机专业中“debug”的情境(相信许多程序员与许多理工科研究生都为此抓耳挠腮过)，很适合作为高考中的第一道解答题出现。尤其是第(2)问考法灵活，需要考生优化对已有程序的测试方法。在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个程序模块。这样，就可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，再测试各个模块及首尾间的信息交流是否正常。
本题既体现了加法原理（强调分类原则）与乘法原理（强调分步原则）的区别，又提醒考生乘法原理并不能彻底取代加法原理，过度依赖乘法运算可能会造成巨大的程序调试负担。
2014年新一轮高考改革实施以来，高考数学加强了对学生在信息时代应具备的阅读理解、信息整理、语言表达、批判性思维、辩证思维等关键能力的考查。
教育部考试中心，2019
应用题的创新可以通过合理的情境创设，要求学生在真实情境或学术情境中主动思考，以解决实际问题。情境化试题的呈现方式比较灵活，不再是对基础知识的单一机械回忆、重复或再现。
赵轩，任子朝，翟嘉祺，2021
许多命题人在命制难题、压轴题时反复雕琢，却很少在简单题、中档题上下功夫，这么做也许对拔尖人才的选拔具有积极意义，却未能实现对全体考生数学学科核心素养与关键能力的考察。对于简单题、中档题的题位，也可以像本题一样，创设一些简单、合理的情境，或设计成开放型问题，引导考生借助中学数学的知识解决生活中的实际问题甚至学术问题。
本题由浅入深，层层递进。本题第(1)问解析如下：
如果直接要求考生完成第(2)问，相信绝大多数人都无从下笔。但在第(1)问的铺垫下，此题就可以实现多解了，为考生提供了一个展示个人数学能力的平台。本题第(2)问解析如下：
《普通高中数学课程标准》指出，考生应通过实例理解排列、组合的概念，并且能利用计数原理推导排列数与组合数公式。
中华人民共和国教育部，2020
本题很好的兼顾了最新版《课标》对计数原理的两大考察要求：实例理解+代数推导。
事实上，人教版数学课本设置了高考升学、艺术表演、体育运动、旅游合影、合格品鉴定等多类实例，帮助考生理解排列与组合在生活中的实际应用，同时也经常反过来要求学生举一些例子来说明排列数与组合数恒等式的实际意义。遗憾的是，在高三的日常训练中，甚少看到此类开放式问题。
数学课本上还有许多类似的问题，这里一并罗列如下，对此类问题不太敏感的同学可以动笔试试看：
2007年人教B版《选修3-1：数学史选讲》在“古代数学精英”一节中重点介绍了杨辉的事迹——
杨辉，南宋人，著有《详解九章算法》(1261)。他对《九章算术》的题目按照深浅程度进行了重新编排，并在书中指明我们所熟知的“杨辉三角”为贾宪(北宋数学家，约11世纪)所用。杨辉提倡循序渐进和熟读精思的学习方法，还为初学者制定了“习算纲目”，具体给出了各种数学知识的学习方法、学习时间及参考用书，他还特别强调要“明算理”“讨论用法之源”。
人民教育出版社课程教材研究所，2007
与其说他是一名数学家，不如称他为一名伟大的数学教育家，杨辉本人先进的教育思想与教学方法对中国基础数学教育的发展具有不可磨灭的作用。
1666年，莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)在他的第一篇数学论文《论组合数》(De ArtCombinatoria)中提出了莱布尼茨三角形(Leibniz triangle)，实际上就是将杨辉三角中的每一个数都取倒数，再在分母中乘上每个数所处行的行数所得的三角形数表（如下图）。
莱布尼兹的上述研究为他后来创立微积分奠定了基础，也使他跻身于组合数学研究者之列。细心的同学可以发现，不难从莱布尼茨三角中直接观察得到本题的答案为1+r或n-1-r。
不熟悉中外数学史的考生应当如何独立完成本题呢？本题解析如下：
两位相隔四世纪的数学家的讨论，不禁让我们进一步思考中西方思维范式的差异。在杨辉三角中，组合数加和的顺序是自上而下的，即“一生二，二生三，三生万物”；而在莱布尼茨三角中，组合数加和的顺序却是自下而上的。在某种程度上，这也是对中西方文化与价值观差异的诠释。
漫游数海的所有五星级例题均取自数学课本，旨在引导学生探究数学问题、思考数学本质，在否定之否定中全面提高数学素养，因此不在正文部分提供解析。
近年来，在教育部命制的新高考全国卷样卷中多次出现涉及组合数数列的试题，例如2019年新高考适应性测试（海南卷）第6题、2021年八省联考第6题以及2023年四省联考第20题等。但在近5年的高考真题中，尚未出现此类问题，值得广大考生与教师朋友们重点关注。
在后面的推文中，我们将看到更多教材上的经典好题！
参考文献
教育部考试中心. 中国高考评价体系说明（2019年版）[M]. 北京: 人民教育出版社, 2019, 11.
赵轩, 任子朝, 翟嘉祺. 高考数学科情境化试题设计研究[J]. 数学通报, 2021, 60(12): 1-3+66.
中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京: 人民教育出版社, 2024, 46.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学选修3-1 数学史选讲[M]. 第2版. 北京：人民教育出版社, 2007(4): 19-20.
数理化自学丛书编委会数学编写小组. 数理化自学丛书：代数（第四册）[M]. 第1版. 上海: 上海人民出版社, 1963: 1-41.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学选修2-3[M]. 第2版. 北京：人民教育出版社, 2007(4): 1-37.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书A版：数学选修2-3[M].第2版. 北京：人民教育出版社, 2009(3):1-42.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中教科书A版：数学选择性必修（第三册）[M/OL]. 1-38. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学选择性必修（第二册）[M/OL]. 1-40. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
人民教育出版社数学室. 高级中学课本（甲种本）（第三册）[M]. 北京：人民教育出版社, 1985(9): 42-83.
审稿：林老师
