也谈2025年八省联考数学卷第11题

一石激起千层浪!

2025年，河南省等8个省区第五批高考综合改革地区将要首考落地，为实现平稳过渡，组织了2025年高考适应性演练，约350万考生参加考试，数学试卷(以下简称2025八省联考卷)由教育部考试院组织命题。由于“适应性测试昭示了未来高考改革的方向”，(见文章《高考测试题的作用、价值和启示》，载《中学数学教学参考(上旬)》2023年第4期)自然备受广泛关注。

在新一轮高考综合改革进程中，这类适应性演练已进行了5次。就数学学科命题而言，每一次都有新的尝试，传递出新的改革信号，昭示未来改革的方向。随着2025年八省联考的落幕，考前盛传一时的试卷结构将有所变化(20题，8+2+4+6)也不攻自破，江湖上的一些传闻也烟消云散。

从适应性演练试卷到当年高考命题，包括随后几年的命题，从整体上把握变化过程，进而理解适应性演练的意义，探索2025年高考数学命题的趋势，思考数学教学与高考备考的策略，应该是有积极的意义的。由于新高考数学卷Ⅰ是高考改革的风向标。这里主要对比适应性演练与新高考数学卷Ⅰ，分析如下表。

在2025年八省联考中，第11题引起轩然大波，出乎绝大多数人的意料，人们感到诧异：高考题还可以这样命题!这道题在考什么，今后怎样备考，怎样进行数学教学呢？网络上围绕这道题，见仁见智，众说纷纭。

先将第11题呈现如下：

有人说，“第11题是本卷最值得重视的题：拓扑学中的纽结问题，很多智商测试中常见，此外在公务员考试中也会出现，这是本卷释放的最大一个信息：新高考的题目将不局限于纯数学内容，以后会涉及类似于脑筋急转弯，智力题、空间想象题、甚至常识题!”；有人溯源究底，研究这道题的背景，例如，认为这道题属于“代数拓扑学在绳子、谜题、魔术题和结环中的应用”；有人推出姜伯驹先生“走进数学丛书”《绳圈的数学》；有人研究这类题的一般解法，甚至给出”高考备考要补充一点拓扑学“的建议，并给出一些参考的材料……

凡此各种，可谓是反应迅速，处置及时；但反应过度，过犹不及。怎样理解这道题，怎样整体认识这几次适应性测试，怎样把握未来高考命题改革的趋势，怎样思考当前的备考……与2024年九省联考过后，如何应对第19题一样，是值得探讨的重要课题，它关乎怎样把握高考备考的大方向，关乎高考备考与数学教学何去何从……

这里，笔者以自问自答的形式，也来说说2025八省联考第11题：

第一，2025年高考数学会出现2025年八省联考第11题题？

不一定。

因为“适应性测试昭示了未来高考改革的方向”。既然是方向，2025年高考数学就要有所反映；既然是未来，就不一定完全体现在2025年高考数学中。“一些在正式高考不可能出现的试题都在测试卷中出现了，对中学教师和考生既是一项告知，也是一项试探”(见文章《高考测试题的作用、价值和启示》，载《中学数学教学参考(上旬)》2023年第4期)联想2021年八省联考，基于北京大兴国际机场背景，给出新定义“总曲率”，一定意义下开立体几何命题之先河，但2021年高考立体几何题仍然是传统题型，随后几年也未曾出现；2023年四省联考基于“椭圆曲线加密算法”背景，给出新定义(定义运算)，2023年也未出现新定义问题；2024年九省联考基于“离散对数在密码学中的应用”情境，给出新定义“离散对数”，2024年高考以等差数列为背景知识，给出新定义“(i，j)－可分数列”。从这一过程应该可以看出，这几次的适应性测试屡次出现新定义问题，到2024年推出新定义问题，是方向的一再昭示，是成熟时机的耐心等待。

2025年八省联考又没有新定义问题，也使得一些人感到不解：意味着什么？怎样理解？这还是要回到顶层设计中共中央、国务院《 深化新时代教育评价改革总体方案》中所明确提出的“要改变相对固化的试题形式”的要求。试想，如果每一份试卷都必须要有“新定义题”，岂不是又将形成新的固化模式？命题的改革就是要反模式、反套路。这意味着哪道题在哪个位置，不是固定不变的，而是灵活处理的；考查内容可以选择，题目位置可以变化。

第二，怎样备考这类题？

坚持回归数学本源，回归数学教学本质，回归高考数学核心功能。

第11题昭示了高考数学可以这样考，给出的是命题立意高远，背景创设新颖，突出素养考查，但究竟命制怎样的题目，并无固化模式可套。也许这次是结绳，下次是游戏，再下次会是折纸……试图以题型渗透、模式积累去覆盖，试图从内容上去包含，让高考试题成为备考的“子集”，永远都是一厢情愿的事。

回想2024年九省联考后，特别针对第19题，江湖上乱象一片：过度解读，过度反应，过度焦虑……失去了本该有的理性思考、从容、坚定。把九省联考卷当成模式，试图用模式应对模式……并一厢情愿地制造模式，而自嗨：

专题教学新定义新情境创新题：考查范围超课标，无边无界；备考恶补新知识，乱象丛生。数论知识、线性空间、中值定理、曲率挠率，甚至泛函分析中的范数都引进来了，大量地出现在各地的模拟试卷中，其实是苦了教师，害了学生，误了备考……

2024年新高考数学Ⅰ卷第19题，立足核心知识数列背景，考查等差数列的基本性质，几乎不涉及二给结论，模式模型，可谓是对2024年九省联考第19题知识考查有“超标”之嫌的校正。这道题作为压轴题，压得住了吗？答案是肯定的，网络传闻的有关省份本题得满分的人数应该不是空穴来风。那么，之前备考所补充的大量的题型、模式，究竟起到多大作用，是值得质疑的。笔者认为，如果着眼于题型覆盖，作用寥寥无几；如果借助解题教学，突出教审题，教回到定义，教思考，自然将起到积极的作用。题目模型不是决定性的，重要的如何借助题目教数学，教思考，教素养。

同样地，面对2025年八省联考第11题，也不能指望通过题型覆盖来解决问题。

第三，这道题是全体学生都要追求的吗？

显然不!

作为选择题压轴题，自然要起到压轴把关的作用。尤其在一些著名985高校出台“数学成绩优秀者破格录取”的政策的背景下，压轴题压轴把关更加具有重要意义。就广大考生而言，在最后的几个月的备考过程中，能够解决的问题可能是有限的，能够提升的成绩的空间也是有限的。因此备考必须突出有效性，突出有效必然突出针对性，突出针对性必须基于学情教学。可以想象，一张高考数学试卷，类似于2025年八省联考第11题的题目不会太多，而且不是大部分同学可以追求得到的。既然如此，何必过于在意，反应过急？有人说，这道题对120分以下的同学没有多少意义，笔者持认同态度。

短短的几个月：需要做的可能很多，但能做的、能做到的可能非常有限了……只想当想的，只做能做的，只教当教的……

第四，怎样优化改进备考策略？

基于学情!

解答2025年八省联考第11题，显然具备较强空间想象能力是重要基础。因为面对画在纸面上的图形，却要通过空间想象去推理。当然对“不损伤”还要有准确的理解。因此，立体几何学习如何，将对解答本题产生重要影响。因此，备考要更加突出空间想象能力的发展。反之，如果刻意去为这样的题而教这样的题，选择一些“拓扑，结绳”专题材料，去教这类问题的一般解法，甚至为此做一些微专题复习，也许到了高考之时会再度遭遇“又白复习了”的尴尬。

再之，高考改革要处理好创新与继承、发展与稳定的关系，改革进程一定是循序渐进的。常规题型、似曾相识、似曾做过的题目仍然要占有很大比例。类似于2025年八省联考第11题的题型，可能会有，但一定不会多。一定意义下，对广大考生而言，相较于“必备知识”，传统题型，重点内容，考查热点，无论是数量，还是分值，第11题都将是微不足道的。如果不突出重点，不聚焦得分点，不着力于该做的事，而是盲目跟风，去做不容易做、充满变数的事情，岂不是本末倒置？

教学要回归课程标准，落实课程标准所要求的基础知识、基本方法、基本思想与基本活动经验；不盲目地、不顾及学情地、一味地去补充拓展知识；在落实基础知识的基础上，更加突出运用已有知识解决新问题的能力，促进学生创新思维能力发展；设置探究情境，提出新颖问题，加强情境活动，突出审题教学，体现化归转化。教方法、教思维、教能力，而不是教题型、教“超标”知识、教套路记忆……

不仅要教怎样解，更要教怎样想；

不仅要怎样想，还要教怎样写；

不仅要谋求完整解答，还要教得到可能的步骤分；

不仅要教知识发展，更要教能力提升；

不仅要教提高能力，还要教经验积累；

不仅要教经验积累，还要教心理疏导；

……

不念过往，不惧未来。坚信数学自有其本源，坚定高考命题自有其规律，坚持数学教学自有其本质。研究高考改革哪些不变，也不能变，为什么不能变，将以怎样的形式表达不变……坚持以不变应万变。那么，

2025年八省联考第11题，也就不那么第11题了。

……