本文来源于“哲学门”
柏拉图主义
“某个没有任何烦恼的地方。托托，你觉得真的有这样的地方吗？一定有。那不是一个你可以乘船或乘火车到达的地方……某个地方，在彩虹之上，高高的天际，有一个我曾在摇篮曲中听说过的地方。”
——多萝西·盖尔（早期）
反对柏拉图主义的认识论论证
1、简介
在这一章中，我将讨论贝纳塞拉夫（Benacerraf）针对柏拉图主义的认识论论证，该论证简而言之认为，柏拉图主义不可能是正确的，因为它排除了数学知识存在的可能性。我将首先以我认为最好的方式阐述这一论证，然后讨论一些可能的解决方案。这一讨论将同时作为柏拉图主义者对认识论问题实际回应的历史性回顾，以及对可能解决方案的逻辑空间的探索。我将涉及七种不同的解决方案：由哥德尔（Gödel）提出的一种；马迪（Maddy）提出的另一种；一些当代柏拉图主义者（尤其是帕森斯）的解决方案；赖特（Wright）和黑尔（Hale）的解决方案；奎因（Quine）、斯坦纳（Steiner）和雷斯尼克（Resnik）发展的一种方法；卡茨（Katz）和刘易斯（Lewis）的观点；以及雷斯尼克和夏皮罗（Shapiro）的理论。我将论证，前五种解决方案完全失败，而对后两种方案，我不会完全反驳，但我会表明：(a) 它们只有在基于某种其他认识论（即对贝纳塞拉夫论证的回应）时才能奏效；(b) 它们不如这种其他认识论。
这种“其他认识论”就是我自己的认识论。在第三章中，我将详细论证，这一认识论提供了一个可以接受的解释，说明人类如何能够获得关于抽象数学对象的知识，因此，它对贝纳塞拉夫式的挑战作出了可以接受的回应。第三章和第四章的重点在于证明我所发展的柏拉图主义版本——即 FBP（完全柏拉图主义）——是一种可行的柏拉图主义版本。而本章的重点在于证明 FBP 是唯一可行的柏拉图主义版本。因此，我将在与卡茨、刘易斯、雷斯尼克和夏皮罗的观点相关的讨论中表明，他们的认识论只有在假设 FBP 的情况下才能奏效。同时，我将论证，所有其他柏拉图主义认识论完全失败。
2. 认识论论证的表述
我从陈述贝纳塞拉夫经典的认识论论证版本开始，该版本受到其开创性论文《数学真理》（"Mathematical Truth"）的启发。之后，我将说明如何改进这一版本的论证。
之所以说这一经典版本受到贝纳塞拉夫论文的启发，是因为它实际上并未在论文中明确表述。它隐含在贝纳塞拉夫的论证中，即主张数学的标准塔斯基语义与我们最好的认识论（或贝纳塞拉夫认为最好的认识论，即因果知识理论，CTK）不相容。CTK 的广义表述是，为了某人 (S) 知道 (P)，(S) 必须以某种适当的方式与 (P) 的事实发生因果关系。然而，由于“适当的因果关系”可以有许多不同的解释，因此存在许多不同版本的 CTK。贝纳塞拉夫大致论证了 CTK 与数学的塔斯基语义不相容，因为它与柏拉图主义不相容。于是，尽管贝纳塞拉夫并未如此表述，其论文包含了一个以 CTK 为前提的反柏拉图主义论证，该论证大致如下：
人类完全存在于时空之中。 如果存在抽象数学对象，那么它们存在于时空之外。
因此，根据 CTK：
如果存在抽象数学对象，那么人类无法获得关于它们的知识。
因此：
如果数学柏拉图主义是正确的，那么人类无法获得数学知识。
人类拥有数学知识。
因此：
数学柏拉图主义是不正确的。
(3) 的论证是这一切的关键。如果 (3) 可以成立，那么 (6) 也可以成立，因为 (3) 显然蕴含 (4)，而 (5) 毋庸置疑，(4) 和 (5) 又显然蕴含 (6)。关于 (3) 的论证，首先需要注意的是，(1) 和 (2) 蕴含人类无法与任何数学对象发生因果关系。（实际上，这似乎仅由 (2) 得出：如果数学对象存在于时空之外，那么它们是因果惰性的，因此无法与我们发生因果关系，因为它们无法与任何事物发生因果关系。）但如果我们将“人类无法与数学对象产生因果关系”的主张与因果知识理论（CTK）结合起来，我们似乎会被引导得出结论 (3)。
大多数针对贝纳塞拉夫论证的回应是否定 CTK。柏拉图主义者承认他们的观点与 CTK 不相容，但他们声称问题出在后者而非前者。一些柏拉图主义者认为，某些版本的 CTK 是正确的，但这些版本与柏拉图主义兼容。换句话说，他们承认知识存在因果约束，但主张这些约束非常宽松，以至于允许获得关于数学对象的知识。然而，无论具体论证如何，否定 CTK 以回应贝纳塞拉夫的总体策略几乎被柏拉图主义者普遍接受。此外，我认为这一策略是可以接受的；也就是说，我认为存在针对 CTK（或至少那些威胁柏拉图主义的 CTK 版本）的有力论证。（第三章中可以找到我的论证。我在其中解释了人类如何能够在不满足任何非平凡因果约束的情况下获得数学对象的知识。因此，我简单地为 CTK 提供了一个反例。）
然而，CTK 的整个主题实际上是一个“伪问题”，因为认识论论证可以被重新表述，使其不依赖于这一理论。反柏拉图主义者可以这样论证：“(1) 和 (2) 意味着数学对象（如果存在的话）对我们完全不可接近，也就是说，信息无法从数学对象传递给人类。这产生了一个表面上可能无法回答的担忧：人类是否能够获得关于数学对象的知识。换句话说，这表面上给出了一个理由支持 (3)，即人类无法获得数学对象的知识。因此，由于 (3) 显然蕴含 (6)，它也表面上给出了一个理由支持 (6)，即柏拉图主义是错误的。”
因此，我的建议是，与其将因果知识理论（CTK）加入 (1) 和 (2) 以试图确立 (3)，不如让 (1) 和 (2) 独立存在，因为它们本身已经提供了一个表面上的理由来相信 (3)。现在，如果我们按照这种方式推进，那么这个认识论论证不会证明柏拉图主义是错误的，但它会产生一个表面上的理由来怀疑柏拉图主义是错误的，而我认为这正是反柏拉图主义者所需要的。毕竟，如果有表面上的理由怀疑柏拉图主义是错误的，那么除非我们能够找到一种方式来回答这种表面上的怀疑，否则我们可能无法安心地支持柏拉图主义。
尽管如此，我认为反柏拉图主义者无法在此基础上做得更好；他们无法证明 (3)，因为正如我将在第三章中解释的，我认为 (3) 是错误的。换句话说，我认为人类可以获得关于抽象数学对象的知识，因此我不认为上述类型的认识论论证能够证明柏拉图主义的错误。
换种方式理解我的认识论论证：我用 (1) 和 (2) 激发对柏拉图主义是否能够解释人类拥有数学知识这一事实的怀疑，然后简单地向柏拉图主义者提出挑战，要求他们解释这一事实。从这个角度看，我的论证几乎与菲尔德的观点一致。他也没有试图用认识论论证证明柏拉图主义的错误。他论证的是，(1) 和 (2) 引发了怀疑，认为柏拉图主义者无法解释我们的数学信念的可靠性。虽然这听起来与我的论证略有不同，但我认为这两者之间并无重要区别，因为挑战柏拉图主义者解释数学信念的可靠性，与挑战他们解释人类如何获得数学知识是相同的。因此，在接下来的讨论中，我会提及这两种挑战，并假设它们可以用一个统一的解释来回答。
3. 柏拉图主义者回应的分类
我们已经看到，应对我提出的反对柏拉图主义的认识论论证的唯一方法是削弱对 (3) 的表面理由。这可以通过以下三种方式实现：
否定 (1)：主张人类心智能够以某种方式接触数学领域，从而获得关于该领域的信息。这是哥德尔的策略（或至少我将论证是这样）。 否定 (2)：主张人类能够通过正常的感知手段获得关于数学对象的信息。这是马迪的策略。 接受 (1) 和 (2)，同时解释为何 (3) 不成立，或者更准确地说，解释为何 (3) 尽管如此仍然是错误的。这是当代柏拉图主义者中最流行的策略，其支持者包括奎因、斯坦纳、帕森斯、黑尔、赖特、雷斯尼克、夏皮罗、刘易斯和卡茨。
我提出的认识论论证的一个优点在于，这三种回应方式都需要构建某种认识论。贝纳塞拉夫版本的论证的一个主要缺陷是，它允许柏拉图主义者采取纯粹否定的方式进行回应，例如通过反驳 CTK。然而，反柏拉图主义者真正希望从柏拉图主义者那里得到的是一种认识论，即解释人类如何能够获得关于抽象数学对象的知识。我版本的认识论论证的优点在于，它迫使柏拉图主义者以这种方式回应，因为所有三种可能的回应策略都涉及构建一种关于人类如何获得数学知识的解释。
需要注意的是，第三种策略与前两种有很大不同，因为它涉及构建一种可以称为“无接触认识论”的理论。前两种策略主张人类能够以某种方式接触数学对象或与之建立某种关联。换句话说，这种观点认为，信息可以从数学对象传递到人类身上，因此我们能够获得关于这些对象的知识。相比之下，采用第三种策略的柏拉图主义者承认，我们无法与数学对象建立任何形式的接触，但他们尝试解释为何我们仍然能够获得关于这些对象的知识。
无论如何，我们现在已经对柏拉图主义者应对这一认识论论证的策略进行了分类。在第 4 节中，我将讨论并否定哥德尔的策略。在第 5 节中，我将讨论并否定 Maddy 的策略。在第 6 节中，我将考察第三种策略的各种版本，并发现它们都有问题。然后在第 3 章中，我将提出一种第三种策略的新版本，并论证这一版本是可行的，也就是说，它能够成功地解释像我们这样时空中的生物如何能够获得关于抽象数学对象的知识。
4. 接触其他世界：哥德尔
在第 4.1 小节中，我将描述并反驳第一种应对 Benacerraf 挑战的策略，即否定 (1) 的策略。我会非常简洁，因为我认为这里探讨的观点在表面上极其不可信，针对它的论点也非常明显且决定性。事实上，这一观点如此站不住脚，以至于人们可能会想知道为什么我要花时间讨论它。原因是，我认为这一观点正是哥德尔的观点，因此我认为值得花时间来驳斥它。当然，关于哥德尔是否真的持有这一不可信的观点，这一说法是有争议的；因此，在第 4.2 小节中，我将稍微偏离主要论点，提供一些文本证据来支持这一解读。
4.1 否定 (1) 的策略及其反驳
如果要为否定 (1) 的策略找到任何动机，可能会是这样的：有人可能认为，回答 Benacerraf 提出的挑战的最佳方式，是主张我们获得抽象数学对象知识的方式，与我们获得具体物理对象知识的方式非常相似。抱有这种态度的柏拉图主义者可能会声称，正如我们通过感官知觉获取关于物理对象的信息一样，我们通过某种数学直觉能力获取关于数学对象的信息。然而，这一观点的问题在于，我们似乎无法从数学对象那里接收到信息：因为数学对象是抽象且无因果力的，它们无法产生携带信息的信号。而且，认为某种信号可以从非时空的数学领域传递到我们的大脑，这一建议看起来完全无法理解。
但柏拉图主义者可以通过声称，这种观点之所以无法理解，是因为它假设数学直觉涉及一种跨领域的接触，即信息从非时空的事物流向存在于时空中的事物。他们可以主张，只要否定 (1)，这种无法理解的情况就可以得到消除。这个观点的核心是，如果我们认为人类心智本身是非物质的、非时空的——即它们并不依赖于大脑——那么我们可能构建出这样一种观点：即使数学领域没有信号传递到时空中，我们也能够从数学对象中获取信息。
这一观点可以很快被驳斥。首先，认为通过否定 (1) 可以避免跨领域接触观点中的无法理解性，这一说法显然是错误的。因为即使心智是非物质的，也并不能使其与数学对象建立信息上的联系。信息从一个非时空对象传递到另一个非时空对象，这一观点并不比信息从非时空对象传递到物理对象的观点更容易理解。信息传递的概念是一个因果的、时空的概念；它只有在发送者和接收者都是物理对象时才有意义。
因此，否定 (1) 的第一个难点在于，它无助于解决柏拉图主义的认识论问题，即缺乏访问的难题。第二个难点同样显而易见：(1) 实际上是正确的。当然，我不会在这里为这一主张发展一套论证，因为在一本关于数学哲学的书中突然展开一场反对笛卡尔二元论的讨论显然是不合适的。但值得强调的是，支持否定 (1) 需要一个非常强（因此也非常不可信）的二元论版本。仅仅通过论证存在真实的心理状态（如信念、欲望和疼痛），或者通过论证心理语言无法被还原为物理语言，是无法动摇 (1) 的。必须论证一种本体论上的命题，即确实存在非物质的人类心理实体。
显然，数学直觉的支持者对此会做出回应，认为上述论点虽然正确，但完全无关，因为它们针对的是一种不可信的数学直觉理论版本。正确的发展这种理论的方式要么是：(a) 像 Maddy 那样主张数学对象是时空性的，并认为数学直觉基于普通的感官知觉；要么是 (b) 像 Parsons、Steiner 和 Katz 那样否认数学直觉能力涉及任何形式的信息接触数学对象。事实上，基于否定 (1) 的理论的显然不可信性，以及反对它的论点的明显有效性，表明几乎没有人会认真相信这种理论，尤其是像哥德尔这样才华横溢的人。我们当然应该按照无接触理论来解读哥德尔关于数学直觉的评论；我们应该将他的言论理解为一种模糊的建议，而这种建议已经被 Parsons、Steiner 和 Katz 以不同方式更明确地阐明了。
我同意，否定 (1) 策略是发展数学直觉理论最不可信的方式。但这并不意味着我犯了“稻草人谬误”（straw man fallacy），因为我将讨论发展这一理论的其他两种方式：在第 5 节，我将处理 Maddy 的理论；在第 6.2 小节，我将处理无接触理论。在此之前，我想稍作旁枝讨论，论证哥德尔并没有采用无接触理论（或 Maddy 的理论），而是实际上采用了否定 (1) 的策略。读者应该记住，这些解释性的评论确实是一次偏离主要论点的插曲。我在本章的主要任务是考察所有逻辑空间中对认识论论证的合理策略。哥德尔心中的策略究竟是哪一种并不重要。因此，即使我对哥德尔的解释是错误的，也不会造成任何损害，因为我不会忽视可以归因于他的其他观点，即无接触理论。
4.2 解读哥德尔
我并不认为哥德尔主张一种“非时空接触”的数学直觉理论，而不是“无接触”理论，这一点显而易见。毕竟，他在这方面的评论寥寥无几，而且都相当隐晦和具象化。此外，我承认，认为哥德尔可能持有这样一个不可信的观点，确实让人感到困惑。然而，我认为文本证据表明，他确实持有这一观点。非时空接触理论的三个核心主张——也是将其与无接触理论区分开来的主张——包括：(i) 数学直觉类似于感官知觉；(ii) 数学直觉涉及一种抽象数学对象与人类之间的信息传递；以及 (iii) 命题 (1) 是错误的。以下是一些表明哥德尔相信这三个主张的证据。
关于 (i)，我认为可以公平地说，贯穿哥德尔所有关于数学直觉评论的核心主题是其与感官知觉的类比。事实上，哥德尔关于这个主题最常被引用的评论之一，直接声称直觉是“某种类似于对数学对象的感知的东西”。现在，我并不认为仅凭这一点就足以支持哥德尔认同非时空接触的数学直觉理论。毕竟，弗雷格也曾提到一种“非感官的对抽象对象的感知”，但我并不认为他试图承诺本文所讨论的这种理论。然而，哥德尔与弗雷格不同，因为他似乎同时支持 (ii) 和 (iii) 这两个主张以及（i）。
关于 (iii)，也就是命题 (1) 是错误的这一主张，重要的一点是，哥德尔不仅相信人类心智是非物质的——仅这一点不足以说明问题——而且他认为我们通过反思数学得出了这一结论。例如，他表示，我们“被迫采取某种生命力主义的观点”，并且没有“对心理和神经过程的纯粹机械解释的可能性”。不过，问题在于，哥德尔并没有在讨论数学直觉时提出这些评论。如果他这样做了，那么我认为可以明确他确实持有我的解读。哥德尔的想法是，心智的非物质性来源于他的“不完全性定理”。这一定理表明，对于任何一致的公理系统，都存在该系统中不可判定的命题。然而，哥德尔声称，尽管如此，所有数学命题都不是绝对不可判定的，也就是说，“不是仅在某个特定公理系统内不可判定，而是在人类心智可以构思的任何数学证明中都不可判定”。从这一点，再结合不完全性定理，我们得出，人类可证明的数学命题集不能被递归公理化，因此，人类心智不能被还原为图灵机。由此，哥德尔进一步得出结论，人类心智不能被还原为任何形式的机器。
我并不认为这是一个支持心智非物质性的好论证，但这是另一个话题。我们在此的问题是，哥德尔是否想将这种非物质性应用于他的数学直觉理论。我认为答案取决于哥德尔是否认同主张 (ii)，即他是否认为数学直觉涉及数学对象与人类心智之间的信息传递。现在，我依然无法完全确信哥德尔确实支持这一主张，但我怀疑他确实如此。例如，考虑以下段落：
应当指出，数学直觉不必被视为一种直接给予有关对象知识的能力。相反，它似乎更像是在物理经验的情况下，我们基于直接给予的其他事物形成对这些对象的想法。
在同一段稍后，他提到，虽然关于物理对象的数据来源于感官知觉，但数学数据“存在于我们之中，可能是由于我们与现实之间的另一种关系”。所有这些对我来说，都非常暗示一种基于接触的信息传递数学直觉观。这里的暗示似乎是，在数学直觉中，某种东西被给予心智。当然，这种“给予”的不是数学对象本身——那将与柏拉图主义的观点相冲突，即数学对象存在于我们的心智之外——而是数学的类似于感官数据的东西，即某种类似于“直觉数据”的东西。哥德尔似乎认为，心智通过这些数据，形成对某些客观实体的信念，这些实体以某种方式通过“我们与现实之间的关系”产生这些数据。简而言之，他似乎认为，数学直觉实际上就像感官知觉。
无论如何，这就是我的看法。我承认，哥德尔的言论可以用其他方式解读。但鉴于这些问题与本书的主题无关，我将继续展开下一部分的讨论。
