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之前在讲解01背包二维dp数组实现的时候，有以下两点没有讲清楚：
1、关于dp[i][j]的定义，我直接给出定义（默认大家都会了），并没有说明这个 dp[i][j] 的定义是怎么来的
2、关于递推公式的证明，没有画图把递推公式怎么来的讲清楚，造成大家理解困难。
所以这次针对以上问题，我对 01背包二维dp数组 重新讲解一遍（补了几张图和证明过程），大家的疑惑我都重点关注了。
背包讲解最新文字版已经更新到代码随想录网站：programmercarl.com
以下为01背包二维dp数组的重新讲解：（哪里感觉没有讲清楚可以在本文下留言）
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
（为了方便表述，下面描述 统一用 容量为XX的背包，放下容量（重量）为XX的物品，物品的价值是XX）
二维dp数组01背包
依然动规五部曲分析一波。
1. 确定dp数组以及下标的含义
我们需要使用二维数组，为什么呢？
因为有两个维度需要分别表示：物品 和 背包容量
如图，二维数组为 dp[i][j]。
那么这里 i 、j、dp[i][j] 分别表示什么呢？
i 来表示物品、j表示背包容量。
（如果想用j 表示物品，j表示背包容量 行不行？都可以的，个人习惯而已）
我们来尝试把上面的 二维表格填写一下。
动态规划的思路是根据子问题的求解推导出整体的最优解。
我们先看把物品0 放入背包的情况：
背包容量为0，放不下物品0，此时背包里的价值为0。
背包容量为1，可以放下物品0，此时背包里的价值为15.
背包容量为2，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。
以此类推。
再看把物品1 放入背包：
背包容量为 0，放不下物品0 或者物品1，此时背包里的价值为0。
背包容量为 1，只能放下物品0，背包里的价值为15。
背包容量为 2，只能放下物品0，背包里的价值为15。
背包容量为 3，上一行同一状态，背包只能放物品0，这次也可以选择物品1了，背包可以放物品1 或者 物品0，物品1价值更大，背包里的价值为20。
背包容量为 4，上一行同一状态，背包只能放物品0，这次也可以选择物品1了，背包可以放下物品0 和 物品1，背包价值为35。
以上举例，是比较容易看懂，我主要是通过这个例子，来帮助大家明确dp数组的含义。
上图中，我们看 dp[1][4] 表示什么意思呢。
任取 物品0，物品1 放进容量为4的背包里，最大价值是 dp[1][4]。
通过这个举例，我们来进一步明确dp数组的含义。
即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
2. 确定递推公式
这里在把基本信息给出来：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
这里我们dp[1][4]的状态来举例：
求取 dp[1][4] 有两种情况：
放物品1 还是不放物品1
如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
推导方向如图：
如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
容量为1，只考虑放物品0 的最大价值是 dp[0][1]，这个值我们之前就计算过。
所以 放物品1 的情况 = dp[0][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[0][1] + 物品1 的价值)
以上过程，抽象化如下：
不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3. dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
代码初始化如下：
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
dp[i][0] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
初始-1，初始-2，初始100，都可以！
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
如图：
最后初始化代码如下：
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。
4. 确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）
例如这样：
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。
5. 举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题去练习，题意是一样的，代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
cin >> n >> bagweight;
vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
vector<int> value(n, 0); // 存储每件物品价值
for(int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> weight[i];
}
for(int j = 0; j < n; ++j) {
cin >> value[j];
}
// dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
// 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
// j < weight[0]已在上方被初始化为0
// j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
cout << dp[n - 1][bagweight] << endl;
return 0;
}
总结
背包问题 是动态规划里的经典类型题目，大家要细细品味。
可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。
下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异。
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