2025 这个数字有什么特别之处？
百科
2025-01-10 21:02
北京
2025 是三阶幻方中所有数字的：和平方、立方和。在讨论 2025 之前，我们先来玩一个经典的数学小游戏：幻方。现在给你一个 3*3 的方阵，依次填入 1-9 这九个一位数，要求每行每列的结果相同。这个比较简单，我们可以直接注意到以下的一个结果：这也就是所谓的「载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中腹」，此时每一行的求和结果均为 15，每一列的结果也为 15。这时，实际上我们便找到了我们藏起来的 2025：横行之和与竖排之和的乘积恰为（15+15+15）（15+15+15）=2025除此之外，我们如果对上述幻方中每个元素求 3 次方，再求和也将得到 2025，即：不，其实是因为使用了一个 misleading 的小技巧，把本不必要的幻方包装进来了，所以才是一个小魔术。实际上，上述性质只利用到了 2025 的以下性质：我们从最基本的性质一点一点来：首先我们对 2025 分解质因数，可以得到 2025 是一个等位数，即分解质因数后把指数部分放下来后的位数和原数位数相同，但继续迭代上述操作是发散的；所以我们可以注意到指数部分都是偶数，所以 2025 是个完全平方数，是 45 的平方。此外，我们还可以注意到 45 也是 1-9 的求和结果，那么我们还可以得到：45 同样又可以理解为 3 个 15 的累加，那么我们自然可以联想到「载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中腹」的幻方：对于 3 阶的幻方而言，我们可以注意到横行的求和结果恰为 15，再累加的结果为 45；对于竖列也是一样的，这样横向和竖向累加的结果之积恰为 2025；同时，此幻方所有数的立方和也为 2025。连续自然数的立方和 及 连续自然数和的平方
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以上两个性质能同时成立。下一个满足条件的数是 3025，算千里挑一的数。
作为一名 90 后，2025 年大概是我这辈子唯一一次可以表示为一个四次幂和一个立方之和的年份：出生于 1956 年前且活到了今年的人们很幸运，因为他们一辈子可以经历三次这样的年份：而明年（2026 年）才出生的孩子们就没这个福气了，因为下一次这样的年份要等到：当然，2025 年大概也是所有读到这篇回答的读者这辈子唯一一次可以表示为一个四次幂和一个六次幂之和的年份：有一回，哈代去拜访患病住院的拉马努金。哈代向拉马努金抱怨说，他来时乘坐的出租车车牌号 1729 是个无聊的数，让他不禁怀疑这是个不好的兆头；拉马努金则反驳说，1729 是个非常有趣的数，因为它是最小的可以同时表示为两个立方数之和的数（即 1729=1^3+12^3=9^3+10^3）。据说物理学家朗道曾经对他的数学家朋友在哥德巴赫猜想上的工作做了如下评价：「质数是用来相乘的，不是用来相加的！」同理我们也可以说：「幂是用来相乘的，不是用来相加的！」2025 年到了，恭喜大家成为人类历史上少有的可以经历雷劈数年的罕见幸运儿们。所谓雷劈数，也叫 Kaprekar 数。印度数学家 Kaprekar 在一次狂风暴雨中发现了一块被雷暴劈成两半的路牌，上面的 3025 四个数字分为了两半（30 和 25），Kaprekar 的数字嗅觉告诉他（30+25）^2＝3025，此后相似性质的数字都被称为雷劈数。聪明的你一定发现 1、100 或者 10000 都是雷劈数，但是他们是特殊的（1＝（0+1）^2、100＝（10+0）^2 等等），我们如果去掉这些特殊的雷劈数而只在乎平凡雷劈数的话，四位数中其实只有 2025、3025 和 9801 这三个。如果我们放宽一点，考虑四位数以内，平凡雷劈数也只有这三个加上 81。所以至少目前为止，可以肯定的是，人类历史上没有任何人一生中经过两个平凡雷劈数年（上一次在东汉，下一次是 1000 年后，再下一次就要 7000 多年后了）。另一个可以肯定的结论是，人类历史上的大多数人都没有机会在自己的一生中接触哪怕一次雷劈数年。所以各位，2025 要开心，你们已经书写了人类历史，成为了人类历史上的幸运儿们。
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