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大家好，我是科学羊。这里是数学篇第五季第28篇。
据说，公元前9世纪，腓尼基国王贝鲁斯统治着位于今天黎巴嫩沿海地区的泰尔。
在国王贝鲁斯去世后，他的小儿子皮格马利翁为了独揽大权，暗中策划刺杀了姐姐狄多的丈夫西谢。
狄多在丈夫被害后，不得不带着几名忠诚的随从，开始了在地中海上的漫长流亡之旅。
经过一段时间的航行，狄多和她的随从最终抵达了今天的突尼斯湾地区。
面对陌生的土地，狄多决定在此地落脚，并与当地的领主展开了谈判。领主们提议，允许狄多在一张牛皮可以丈量的土地上建城，心中暗自讪笑，认为这块土地不会太大。
然而，狄多却巧妙地接受了这个提议，她命令手下将牛皮切成尽可能薄和长的皮条，意图最大化地利用这块牛皮。
这一行动的结果让所有人瞠目结舌...
牛皮条圈出的面积大到足以建立一座新的城池，这就是迦太基城的起源。
迦太基遗址，图源 wiki
如果从几何学的角度来看，这个故事尤其具有启发性。
维吉尔在他的著作《埃涅阿斯纪》中生动地描绘了这个传奇，而这段历史也成为了解释周长和面积关系的经典案例。
01 周长与面积的奇妙关系
一块牛皮的面积大约为2平方米，但狄多巧妙利用牛皮条圈出的面积却达到了数平方千米。我们今天在突尼斯以东仍能看到的古迦太基城遗址绵延4平方千米，这让人不禁感叹狄多的智慧。
狄多的冒险展示了周长和面积之间的微妙关系。
图 1.1
如图1.1所示，我们可以看到，第二块地的面积比第一块地大，但第一块地的周长更长。
这意味着，如果让一名运动员沿着这两块地的四边跑一圈，跑完第二块地的时间会更短；
而如果让一位园丁修剪这两块地上的草坪，修剪第一块地所需的时间会更少。
这种比较揭示了加法和乘法之间的对比。“哪个图形更大？”
这个问题有两种不同的回答方式，根据具体的情境，两种回答可能有一种更贴切。
在某些情况下，这两个量度会得出一致的结论，但在一些特殊情况下，结果可能会有根本性的分歧。
02 狄多悖论与几何学的启示
狄多悖论的关键在于，她并没有用牛皮覆盖迦太基的面积，而是用一条轮廓线圈出了它的面积。
一张牛皮虽然从面积上看不大，但从周长上看却潜力巨大。一个平面图形无论多么小，都可以通过足够细的切割产生相当可观的轮廓线。
这个悖论在某种程度上与英国海岸线悖论相似。
海岸线轮廓
海岸线和边境线在面积上被包含在有限的领土中，但它们的长度却是无穷大的。
如果把英国的海岸线展开，其长度绝对可以绕地球一周。
面对这一现象，我们可能和突尼斯湾的领主们在看到狄多展开牛皮条时一样困惑。
03 佩亚诺曲线：从有限到无限的探索
迦太基建城的传说可以追溯到大约三千年前，但其中蕴含的数学思考在很长一段时间内未引起足够的关注。
面积和周长的区别，几何学家早已了解和掌握，但人们对这个问题的兴趣仅限于好奇心，并未深入探讨。
直到19世纪末，一些科学家才开始以新的眼光看待这个问题。
1890年，意大利数学家朱塞佩·佩亚诺发表了一篇名为《论能够填满平面区域的曲线》的文章。
皮亚诺曲线的构建
如上图所示，他展示了一种可以将狄多的想法推进到无限的几何构造。
佩亚诺通过逐步绘制的过程构造了一条线，其中第1步非常简单，就是画一个直角“2”字形。
在第2步，佩亚诺用交替的“2”字形和“5”字形（即“2”字形的对称图形）填充成一个3×3的网格，然后将它们彼此连接起来。
依此类推，每一步都以同样的过程由上一步推导出来。
在第3步，将9个第2步的复制图形放到3×3的网格中，每两个图形中有一个对称图形，然后将它们连接起来。
这种构造可以无限继续下去，每一步细节变得愈加细密和密集，最终形成一个填满整个平面的复杂曲线。
这条线最令人惊讶的特性是，它完全填满了其勾勒出的正方形。佩亚诺向我们展示，这条线绝对经过正方形内的所有点，一个都不遗漏。
如果我们以正确的方式描绘这条线，最好的办法就是将正方形完全涂黑，但这仍无法呈现曲线在正方形中弯折盘绕的细密痕迹。
佩亚诺曲线验证了几年前格奥尔格·康托尔在集合论中公布的一个结果：一条线上的点和一个实心正方形中的点一样多。
康托尔的集合论提出，一条线和一个正方形的点数是相等的，这一发现颠覆了当时的常识。
04 从康托尔到佩亚诺：几何学的发展
康托尔的发现虽然重要，但仍显得抽象。
而佩亚诺的构造则更具直观性。康托尔曾在1887年给同僚理查德·戴德金（Richard Dedekind）的信中的一封信中写道：“我看到了，但我不相信。”
他在面对自己的理论与直觉相悖时，花了一段时间才确信自己没有弄错。
当然，佩亚诺曲线在1890年发表后引起了轰动。
它不仅验证了康托尔的理论，还为几何学提供了新的视角。
这条曲线成功地将狄多的切割推向了无穷。如果狄多能够切割出佩亚诺曲线，她的牛皮条就能将整个地球、太阳系、甚至银河系都圈进来！
佩亚诺曲线的发现对几何学界来说是一次启示，揭示了线和面之间的深刻关系。
短短几年之间，两位学者彻底改变了人们对几何的认知，突破了自欧几里得以来的传统观念。
总结：
通过狄多的传奇故事和佩亚诺的几何构造，我们看到了数学中无限的魅力和智慧的力量。
这些发现不仅拓展了我们的知识边界，还激励我们在探索未知的道路上勇往直前。
好，今天就先这样啦～
科学羊🐏 2024/08/08
祝幸福~
更多阅读推荐（适合中学生的读物）：
参考文献：
[1]. 《雨伞下的数学》
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