火箭推进速度上限的估算

学术 2024-10-16 08:47 中国香港

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本文用简洁的方法，探讨几种原理上可能的火箭推进方式的速度上限。

撰文 | 吴从军 (西湖大学物理系新基石科学实验室)

来源 | 选自《物理》2024年第9期

我国长征5号B火箭的第一级采用液氢液氧做推进剂。相比较于传统燃料 (例如四氧化二氮搭配偏二甲肼)，液氢液氧燃料的推力大幅度增加，大大提高了火箭的有效载荷。长征五号B的成功，标志着我国加入了世界火箭发展的第一梯队，令人振奋。

目前，化学燃料仍然是各国火箭的主要推进剂，但是其推进原理有很大的局限性，而且这个局限性是本质的。化学键的能标 (energy scale)，即形成或打破化学键时能量的变化范围，只有几个电子伏 (eV) 的数量级。这样小的能标决定了单靠化学燃料难以把火箭推进到第三宇宙速度 (16.7 km/s)。化学燃料推进可以实现太阳系内的行星际航行，但是要像科幻小说《三体》中描述的那样，翱翔于星辰大海，进行恒星际航行，就需要摆脱太阳引力，对于这个目标化学燃料显然是力不从心了。

要提高推进速度的上限，则需要提高推进原理的物理能标。本文不分析技术性的困难，只讨论原理上的可能性。文献中经常提到的离子推进 (ion propulsion)，属于电磁推进 (electromagnetic propulsion) 的一种，很容易把能标提高到千电子伏 (keV) 量级¹⁾。在科幻小说里流行的核动力推进，其能标在兆电子伏 (MeV) 量级。更加奇幻的正反物质湮灭推进，则可以把火箭推进到逼近光速的程度。下面我们通过简单地推导，来估算这些推进速度的上限。

火箭通过喷射气体获得反冲而被推进

先回顾一下大学物理课上学过的Tsiolkovsky (齐奥尔科夫斯基) 方程。最简单的火箭，莫过于二踢脚了。尽管简单，原理并没有什么不同，也是以喷射火药燃烧的气体来驱动。设其喷射速度相对于火箭为v_p。如图所示，在时刻t，火箭的飞行速度为v(t)；在此之后dt的时间内，向后喷出了质量为-dm的气体 (火箭质量在减小，所以-dm>0。) 根据动量守恒，有mdv+dmv_p=0。对此式进行积分，可得喷射完成时的火箭速度，

其中，r=m_f/m₀被称作火箭的干湿质量之比。火箭喷射结束时的质量m_f被称为干质量，火箭初始质量称为湿质量m₀。如果火箭有多级结构，则可以得到，

其中，r_i是第i级推进阶段结束和开始时的干湿质量之比。

v_p也叫做比冲 (specific impulse)，即燃烧单位质量的燃料使得火箭得到的冲量，

文献中，比冲也有另外一种定义，即把式(3)中的单位质量换成单位重量，这样定义的比冲为v_p/g，其单位是时间 (g是重力加速度)。

下面对各种推进原理的比冲v_p进行数量级估计，包括化学燃料推进、电磁推进、核动力推进、正反物质湮灭推进等。

化学燃料推进

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化学燃料的燃烧，其实是化学键的断裂和再形成的过程，这中间能量的释放形成火箭推进的动力。化学键是原子间的电子成键，其键能在几个eV量级，因此可以推断其燃烧热为c×6×10²³eV/mol≈c×100 kJ/mol，其中c是数量级估计中不能确定的常数，大致介于1到10之间。可以查到H₂的低热燃烧热，即生成物为水蒸气形态时的燃烧热为120 kJ/g，即240 kJ/mol。这个数据和上面的估算在数量级上是相符的。1 mol H₂燃烧生成1 mol水，其质量为18 g。据此可以折算出每生成质量为1千克的水蒸气，其放热约Q=13 MJ。设这些能量完全转化为水蒸气喷射的机械动能，则给出化学燃料推进的比冲上界，

水是分子量最小的燃烧生成物，氢氧燃料火箭只生成水，其比冲是最佳的。因此，v_chm(值为5 km/s)可以作为化学燃料比冲的上限。

再考虑(2)式右方的对数因子。以长征5号B火箭为例，其总重837吨，载荷25吨。火箭除了载荷以外，不会全是燃料，还有箭壳等。估计一下，等式右方的对数之和不会超过。所以，对于一个完全采用化学推进的火箭来说，它所能达到的速度上限可以被估计为，

这样，我们可以得出结论：只采用化学燃料推进方案的火箭，可以达到第二宇宙速度 (11.2 km/s)，但对于第三宇宙速度则是很勉强的。

电磁推进

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这是一种用电磁场来加速工作介质并喷射，从而获得反冲的驱动方式。比如“离子推力器” (ion thruster) 方案，先将惰性气体电离，用电场把离子加速后喷出。离子动能可以很容易地达到1 keV的量级。Deep space、Dawn等航天器上采用的氙气推进，其比冲可以达到1700—3300s (以时间为单位)，也就是17—33 km/s (以速度为单位)。

可以通过简单地估算来验证这些数据的合理性：氙的原子量为131，其原子的质量用eV做单位是131 GeV。如果用1 kV的电压来加速氙离子 (设只带一个正电荷)，获得动能1 keV。其比冲可以估算为

其中c=3×10⁸m/s是光速。

离子推进的比冲大，并不代表其推力 (specific thrust) 大。推力反映的是火箭的加速性能，而比冲决定了最终能达到的速度。离子推进远比化学推进所产生的推力要小，一般小于1牛顿。这是因为在单位时间内，能够喷射的离子数目非常少。离子推进只能在无重力高真空的环境中使用，使得火箭经过长时间微小的加速来达到高速度。

核反应推进

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核反应的能标在MeV水平，非常高。先考虑裂变，一个铀235核裂变放出200 MeV能量。质量M为1千克的铀235，即4.25 mol，里面有2.5×10²⁴个核，释放出5×10²⁶ MeV的能量，也就是E=8×10¹³J。1克TNT的能量是1 kcal。简单换算可知，1千克铀235爆炸的当量相当于2万吨TNT。

假设把核反应生成物喷射出去来实现推动。裂变反应的质量亏损只有千分之一左右，可以忽略不计。如果能量利用率η=0.2，也就是说只有20%可以转换为喷射物的动能，那比冲大致为

这已经超过了光速的百分之一。

核聚变的能量要更高一点，其相应的比冲会更加可观。考虑聚变核反应：

质量M为1千克核燃料，其中氘核、氚核等数目混合。这将生成200 mol氦核，放出E=200×6×10²³×17.6=2×10²⁷MeV的能量，合3.2×10¹⁴J。这是裂变能量的4倍左右。同样假设20%的能量转换为喷射物的动能，比冲可以达到：

这已经达到了光速的1/30。

在《三体》一书里面，人类的星际战舰的推进速度，可以达到光速的1/10。考虑到在上面的估算中对能量转化率估计得比较保守，再考虑到火箭干湿质量的对数因子，核聚变推进确实可以使得火箭达到1/10的光速。这时候相对论效应开始出现，但还不明显，式(1)还可以适用。

正反物质湮灭推进

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正反物质湮灭发射γ射线，采用这种方式来推进火箭，有望逼近光速。这时需要考虑相对论效应，公式(1)就不再适用了。下面来推导相应的火箭运动方程。假设γ射线可以由反射装置全部向后方喷射。当然设计能够反射γ射线的镜子并不容易，那是未来科学家们的事，我们现在就假设其可行好了。

在地面参照系中，设在时刻t火箭的速度为v(t)，并沿着x方向；火箭的静止质量为m(t)。则火箭的能动量四矢量为

其中。在此之后Δt的时间内，喷出的γ射线能动量四矢量为。

能动量守恒给出。因为γ光子的能动量四矢量的x分量和时间分量之和为0，所以火箭能动量四矢量的相应分量之和则是一个和时间无关的常量：f=。从，经过简单的代数运算可得，

设火箭从静止开始推进，对上式进行积分可得，

其中r是火箭干湿质量比。

总结

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各种火箭推进原理的物理能标不同，这决定了它们能达到的速度的上限。化学燃料推进的能标是eV，比冲的上限5 km/s；电磁推进的能标是keV，其比冲可以达到30—40 km/s的量级。核动力推进的能标是MeV，其比冲保守估计可以达到10000 km/s的量级。这些方案中的喷射物运动都是非相对论的。在相同能量转化率的条件下，比冲和能标的平方根成正比。对于正反物质湮灭的推进方案，其喷射物是γ光子，比冲就是光速本身。

再考虑上火箭干湿质量比的对数因子，化学燃料火箭的推进速度可以达到第二宇宙速度，但是要达到第三宇宙速度会很困难。因此，化学燃料推进是行星际航行的驱动方式。将化学燃料驱动和电磁驱动结合，可以超越第三宇宙速度，是恒星际航行入门阶段的驱动方式。核动力驱动可以达到1/10光速的驱动速度，是恒星际航行正常的驱动方式。当然，正反物质湮灭推进可以逼近光速，是驱动原理的天花板，是星系际航行的推进方式。

致谢 感谢西湖大学程子正、刘鸿祎同学检查本文中的计算。本工作得到了新基石科学基金会的资助。

本文经授权转载自微信公众号“中国物理学会期刊网”。

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