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南开·高代
2015 年 12 月 27 日上午考完数分, 中午快速吃了午饭, 休息片刻, 下午带着所有的书籍奔赴考场!
试卷扫了一眼, 发现有一个原题, 有一点激动, 但也害怕遇到完全没有思路的题, 所以没敢细看, 明确一共有 10 个题目后, 我选择从第 1 题开始, 有序作答.
第 1 题送分题! 就是把第一行元素都改为 1, 算一下行列式(箭形行列式)即可. 用时约 5 分钟.
第 2 题, 这是南开常考的矩阵空间上的线性变换. 一看 X 是 3 级矩阵, 那么这里定义的线性变换所在的空间就是 9 维的, 通过假设 X, 计算出来核与值域的基, 发现它们的维数之和为 9, 我确定我的计算是正确的. 因为矩阵较多, 写起来稍微费时间一些, 用时约 15 分钟.
第 3 题, 仔细读了一下, 意思是给了两个相似的矩阵, 求过渡矩阵 P. 我思考片刻, 感觉好像可以走通, 开始直接在答题纸上作答, 写了几行, 发现思路不对. 再次思考, 回想了一下自己之前总结过的知识点, 发现没有见过这类题. 我开始纳闷, 明明感觉很简单, 为什么思路又不对? 想了几分钟, 确实不会做, 我选择先看下一题.
第 4 题, 看题发现如果 AB=O 就可以满足条件了, 而取线性方程组 AX=0 的解作为列向量即可得到想要的 B. 题目简单, 用时约 5 分钟.
第 5 题, 矩阵的可交换问题. 只是换了一种语言而已! 原型是: 实对称矩阵 A, B 满足 AB=BA, 证明 A, B 可以同时合同于对角矩阵. 这是最基本的可交换问题, 装模作样写解答速度挺快, 用时约 10 分钟.
第 6 题, 我发现南开好像不是按难度排的题(其实很多学校都是这样), 这题显然嘛! 利用维数公式与正交补可以直接搞定. 用时 5 分钟.
第 7 题, 这个题目有点害怕, 因为看似是完全没有见过的类型! 认真读题, 发现其实 |D|=|A+αα'|, 由此想到了打洞原理, 立马得到
|A+αα'|=|A|(1+α'A^{-1}α)=|A|(1+α'Bα).
上面的式子展开就是题目要求的结果! 当然, 打洞原理作为引理还是要证明一下的. 用时 15 分钟.
第 8 题, 看到这个题我很激动, 这不就是分水岭的结论嘛! 因为自己总结过, 所以题目都没有读完, 只是看到了 f(x) 的分解与所要求的直和, 就误以为是证明课本上的定理, 开始写写写, 快写完时, 发现自己根本没读完题, 题目让证的是值域, 而我证明的是核, 顿时自己吓出来一身冷汗. 因为我把所有的引理证明都写上了, 整整一页, 过程花费了很多时间, 如果错了, 那就完蛋了! 我稍微冷静下来, 思考我所求的核与这里的值域是不是一样的呢? 在草稿纸上证明了一下, 发现我的猜测是对的. 这时候我松了一口气, 把最后的核等于值域的证明补上, 算是有惊无险. 因为写的非常多, 整体用时约 30 分钟. 建议同学们考试时一定不要慌张, 要认真审题! 虽说很多学校都有出原题的可能性, 但遇到"原题"不能掉以轻心, 一定要要仔细审题, 看看和自己见过的题目的条件与结论有没有出入.
第 9 题, 我一看到题目给的 A 与 A^{-1} 的分块, 就知道自己遇到原题了! 这个题目是位于丘维声创新教材线性空间的补充题里. 它的方法非常巧妙, 第一步是 α=A^{-1}Aα, 然后构造 W 到 U 的线性映射 σ, 这是一般人想不到的操作. 认真作答的同时, 我也祈祷: 希望所有的人都没有看过丘维声, 即使看过, 也没有注意这个题, 让我自己多得 15 分(又开始自私了...). 题目要证的是同构, 我先证明了 σ 是单射, 又证明了满射, 从而得到了同构. 证明的最后给又加了一个括号, 说"有限维空间上单射等价于满射, 所以满射可以不证, 直接得到同构", 从考场出来感觉这句补充的不好, 画蛇添足. 后来发现这句话直接是错误的! 是有限维线性空间上的线性变换单射等价于满射; 同时如果 dimU=dimV, 且 σ 是 U→V 的线性映射, 那么 σ 是单射等价于满射. 所以建议大家在做题的时候要干脆利索, 不要拖泥带水, 更不能故弄玄虚, 自命不凡. 整个题目用时约 20 分钟.
第 10 题, 也是最后一个题(南开高代比数分多一题, 但最后一题都是 10 分). 这个题目南开考过 n 多次. 我上来就直接作答! 最后发现有问题, 因为我一开始想证的是同时对角化, 后来发现记错了, 这里是同时上三角化. 这也说明一个问题: 我们认为显然的题目, 或者认为自己已经掌握很好的题目, 很可能在考场上突然不会写甚至写错. 所以最后两天还是建议同学们一定要动手, 把解答落实到写上, 保证会的题目可以得满分! 由于时间充分, 我把用到的小结论都证明了一下. 例如这个题就用到了线性变换 AB=BA, 得到 A 的特征子空间是 B 的不变子空间, 再次得到 A, B 有公共的特征向量(不要说矩阵的不变子空间). 虽然有点小卡顿, 但是整体还算理想, 用时约 15 分钟.
这时候, 距离考试结束还有近一个小时的时间, 只剩下了第 3 题, 由于题目较为熟悉, 加上时间充分, 我很有信心拿下它:
因为看了两遍丘维声, 相信自己的高代能力. 我就开始回忆学过的知识点, 越想越带劲, 感觉这是一个很重要的问题, 但就是没有思考过. 最后我想起来矩阵方程 AX-XB=0 解的问题: 两个矩阵 A, B 要是有 k 个公共的互异特征值, 方程就有秩为 k 的矩阵解. 用到这个题上, 直接就求出来了过渡矩阵 P. 我异常兴奋, 感觉一年的坚持在这一刻显得那么值. 加上思考时间, 本题用时较长, 约 35 分钟.
后来我发现, 这个题目用它们相似于同一对角矩阵, 即求出来对应的 Q, R 使得
Q^{-1}AQ=diag{1,1,-1}=R^{-1}BR
这时候显然有 B=RQ^{-1}AQR^{-1}, 也就是 P=QR^{-1} 满足 B=P^{-1}AP. 但不知道为什么在考场上竟然没想出来这么简单的方法.
最后还有十几分钟的时间, 我对全卷做了一个大致的检查, 基本没有问题, 不过第 8 题解答过程太长, 用到的引理太多, 所以过程不是很完美, 但是证明题写得不好也没有办法修改. 所以建议同学们做证明题的时候, 要先在草稿纸上写一下主要思路和用到的小结论, 权衡一下哪些引理需要证明, 作答时要先证明引理.
这样, 扬哥高兴地拿下了所有的高代题目, 想着 140+ 没有问题! 走出考场, 真的很轻松, 人流涌向大巴车所在的广场, 没有看出来别人的心情, 只觉得自己回去可以尽情地释放. 上车的时候遇到了舍友, 我们坐在一起. 他说感觉考得还可以, 我说我也还行, 就是有点担心英语. 之后他打开了一个红牛, 我喝了一口, 感觉自己的努力得到了回馈与安慰. 回头看, 考研也是一次修行, 它让我们明白奋斗的意义.
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