重温扬哥南开大学考研数学分析全过程

NKU

2015 年 12 月 27 日上午, 扬哥考数学分析, 这天的经历终生难忘. 首先与公共课不同, 专业课的答题纸不是机读卡, 它长这个样子:

答题纸是在考试前五分钟发的, 并不在试卷信封里面. 另外, 答题纸为正反两面, 若没发现, 很可能会给判卷老师留下粗心大意的印象. 收到答题纸后, 第一时间把自己的各种信息写好, 等着发试卷:

接下来是重头戏, 监考老师将带有学校封条的小信封发给我们, 类似这样:

信封上面贴着我们的个人信息, 所以肯定不会出错. 看到它, 每个人都异常紧张, 因为不知道自己马上要面对的试题难度如何, 题型和往年是否一样, 自己能做出来多少...但是我需要装作很淡定的样子, 用刀子直接划开拆分线, 拿出来折叠的试卷, 试卷内没有封条, 封条是考试结束后监考老师统一发放的.

我慌张又小心地打开试卷, 胆怯地扫了一眼, 还好, 有两个熟悉的题目. 我不敢再去细看每个题目, 因为看到不会的题会导致极度慌张. 

我拿起笔准备从第一题开始作答, 这时发现自己的手特别抖, 因为备考一年付出太多, 我害怕功亏一篑. 但是即使抖也不能把字写得太难看. 3 个小时理论上很长, 我告诉自己不要慌张, 为了解答有条理, 我选择计算题先在草稿纸上计算出来, 然后抄到答题纸上, 抄的过程也是检查的过程. 证明题要先在草稿纸上写一下思路, 把语言组织好了, 再写在答题纸上. 这是备考时留下的好习惯. 

开始：

第一题比较简单, 因为我知道 ln(x) 怕被求导, 直接把 x^n 拿到 d 中, 之后分部积分即得结果. 简单的计算题不能大意, 要认真检查两三遍, 保证得满分. 我 5 分钟搞定.

第二题 20 分的计算题, 求空间曲线第一型积分一般是用参数方程化为定积分, 但是我发现本题积分曲线的参数方程表示起来较难, 这就卡住了? 冷静下来思考别的方法. 我总结过: 算曲线曲面积分时, 对称性要放在战略的高度! 此时我发现 x^2 与 y^2, z^2 积分都是一样的, 所以 x^2 的积分解决了(课本题). 现在想: 如果 yz 可以利用对称性得到零就完美了! 我着忙分析了一下, 的确是对称, 是零. 很高兴拿下第二题, 算是有惊无险. 差不多用时 15 分钟. (可最后发现错了, yz 利用对称性得不到零, 不过这是在出来成绩以后才知道的. 所以建议同学们考完不要再想题目有没有做对, 以免影响情绪)

继续看第三题. 这个题目比较常规, 也符合南开那些年的出题风格: 多考幂级数, 很少考傅立叶级数. 我令 x/(2+x)=t, 求导即可得到结果. 但这里分式化简容易出错, 我起初得到和函数为 ln(2x+1)-ln(x+1), 同时根据阿贝尔定理解出来收敛域是 x>-1, 这时候我感觉自己很可能算错了, 因为和函数没有充分体现 x>-1 的必要性. 于是我又认真检查了一遍, 发现的确是算错了! 改正后的和函数是 1/2ln(x+1), 这正好对应收敛域 x>-1, 此时我很确信它是对的. 考场上检查错误是非常重要的, 各种条件应该与结果完美契合. 本题计算容易出错, 需要花时间反复检查, 我用时约 15 分钟. 

第四题又是计算题. 对于这一类题, 我不太喜欢用拉格朗日乘数法, 因为解方程繁琐, 说明最值也比较繁琐. 所以我首选初等方法, 这就需要掌握一些初等不等式: 如平均值不等式, 柯西不等式, 三角函数变换与万能公式等等. 此题我们可以通过偏导为零找到 D 内部的可疑点. 其次是在边界上研究, 这就相当于限制 9x^2+4y^2=36, 再求最值. 我用三角替换: x=2sin(t),y=3cos(t) 将 f 化解为 

f=36+36(sin(t)cos(t)-sin(t))

再算 sin(t)cos(t)-sin(t) 的最大值, 我想到了万能公式, 将 f 化为 u=tan(t/2) 的分式函数, 利用导数得到了结果, 结果虽然有点麻烦, 但是很高兴. 这时候就开始祈祷: 希望别人都不用我的方法, 都算不出来, 虽然很自私, 但不可否认这是鼓励自己的好方式. 由于题目计算繁琐, 本题用时约 25 分钟.

第五题. 终于来了证明题, 这个题我很害怕, 因为函数列与函数项级数掌握的不太好. 我会两点: 一是 3ε 法则, 二是分段证一致. 这个题首先想到放缩

|f(x')-f(x'')|≤|f(x')-f_n(x')|+|f_n(x')-f_n(x'')|+|f_n(x'')-f(x'')|

这样就直接得到了答案, 但我感觉题目不应该这么简单, 经过几分钟的思考, 我认为应该用分段证明一致, 于是急忙把分段解答方法写了上去, 整整写了一页纸. 由于函数列与函数项级数学得不够扎实, 加上多余的过程, 这个题我用时约 20 分钟. 

下面看第六题, 虽然没有见过原题, 但是我总结过此类题目先想分段积分: 考虑在 [0,M] 与 [M,A] 积分, 便可直接得到结果, 题目比较简单, 用时约 10 分钟. 

来看第七题. 我总结过 n[(1+1/n)^n-e] 的极限计算方法: 将 (1+1/n)^n 变形为 e^[nln(1+1/n)], 稍加化简提取, 再用泰勒展开. 对于这个题, 我的总结派上了用场, 但是因为计算量比较大, 最后的结果我丢了一个 e. 幸好收卷之前检查的时候发现了, 小窃喜! 小小套路, 用时 15 分钟.

至此, 整体感觉还是满意的. 因为前面 120 分的题目我都会, 而自己定的"保底 110" 的目标基本完成了. 还有一个多小时的时间, 面对最后两个问题, 心态稍显平静.

这题 20 分! 之前没见过, 感觉很新颖. 看到本题我的第一反应是格林公式. 但是冷静分析了一下, 发现题目的积分和格林公式没有直接关系, 并且结果的 π/4 不知道怎么出来. 虽有一丝熟悉, 但思考几分钟未果. 我决定暂且搁置, 先看最后一个题. 

首先我注意到最后这个题是 10 分, 是全卷分值最低的题目. 其次, 面对此题我很懵逼, 因为没有任何思路. 然后我找了一个特例 |sin(πx)|, 画了一下它的图像, 发现证明 |sin(nπx)|≤n|sin(πx)| 依然是没有很好的思路(实际可以用归纳法), 权衡了一下: 第八题我有想法, 并且分值高, 而此题没有想法且分值低, 所以我选择放弃这个题! 但是放弃也不能空着, 于是我根据特例 f(x)=|sin(πx)| 大致写了一些简单情况, 希望可以得一两分. 整体用时 15 分钟. 

这时候还有一个多小时的时间, 我把目光投向了第八题. 因为全卷做的还算满意, 所以突然来了信心: 我相信自己一定可以把第八题做出来!

经过各种尝试, 我开始对圆周 x^2+y^2=1(a^2) 进行分析, 同时又引入了我比较擅长的极坐标变换, 结果奇迹发生了, 我竟然算出来了! 之所以称为奇迹, 是因为一般情况下我思考出来的题目都记忆犹新, 但是这个题目我过了一年才想起来自己在考场上想到的方法. 下面是扬哥的简要思考过程:

当然, 现在同学们也知道本题可以通过格林恒等式解答:

铃声响起, 老师给我们每人发了一张密封条, 将试卷和答题纸放进信封, 然后贴上封条, 待老师收完试卷即可离开考场. 交了卷子就可以安心走了, 路上随便买两个包子当做午饭, 吃完赶紧休息. 下午考试是两点, 在外地考试的同学很多只定了两天的宾馆, 下午还得带着全部东西去考场, 要把握好时间. 至于路上肯定会有人说: 没考好, 题太难, 多数不会, 回本校, 下午不考了, 出题人变了, 题目太偏了, 要二战, 答题纸没有发现反面, 签字单名字写错了地方等等, 这些可能是矫情, 也可能是“活该”. 不要理他们, 安心吃完饭, 休息好, 下午考完高代随你疯狂.

——Younger