如果使用 COMSOL Multiphysics® 软件及其附加的 AC/DC 模块与优化模块进行电磁线圈设计，您将能够快速地提出优化的迭代设计。今天，我们将研究如何通过改变线圈的驱动电流来设计线圈系统，以实现所需的磁场分布，并介绍三种不同的优化目标和约束条件。如果您对线圈模拟或优化感兴趣，这篇文章将满足您的好奇心!
我们要探讨的问题是优化一个 10 匝轴对称线圈结构，如下图所示。xy 平面两侧各有 5 匝线圈，其中每一匝线圈对称并分别通入驱动电流。
此示例线圈既具有旋转对称性，又关于 z=0 平面对称，因此可以将计算模型简化为二维轴对称模型，如下图所示。使用一个无限元域将模拟域截断。使用理想磁导体边界条件模拟关于 z=0 平面的对称性。因此，模型被简化为一个 1/4 圆域，其中 5 个独立线圈使用线圈域特征模拟。
如果所有线圈均通入 10A 的电流来驱动，可以绘制出中心线上磁通密度的 z 分量，如下图所示。我们的目标就是通过优化改变一部分中心线上的磁场分布。
从上图可以看出，由于每个线圈通入的电流都为 10A，一部分中心线上存在磁场。我们希望通过调整线圈中的电流来改变磁场分布。控制变量为 5 个独立的线圈电流：。这些控制变量的边界条件为：
，也就是说，电流不能过大，否则线圈会过热。
接下来，我们来研究三种不同的优化问题：
使中心线处的磁场尽可能接近期望的目标值 在几个点上对场量的最小值进行约束的情况下，尽可能降低驱动线圈所需的功率 在一个点上对场量的最小值进行约束的情况下，尽可能降低中心线上的磁场梯度
使用数学语言对这些优化问题进行描述，第一个优化问题可以表述为：
这个问题的目标是使计算得到的 Bz 场与目标值 B0 = 250μT 之间的差异最小，该目标值是通过沿着线圈中轴线 Bz，从 z = 0 到 z = L0 进行积分得到的。注意，该目标已经相对于 L0 和 B0 进行了归一化处理。这样做是为了使目标函数的量级接近 1。对于任何一个优化问题，都应该对目标函数进行缩放。
现在，我们来看看如何在 COMSOL Multiphysics 中实现这个优化问题。首先在模型中添加一个优化接口，该接口包含两个特征。第一个特征是全局控制变量，如下面的屏幕截图所示。我们可以看到设置了 5 个控制变量：I1,...,I5。这些变量用于指定磁场接口中 5 个线圈特征的电流。
通过 2 个全局参数 I_init 和 I_max，指定这些变量的初始值、上限和下限。同时不要忘记设置比例因子，以使控制变量的量级也接近 1。对于所有三个示例，使用相同的控制变量设置。
接下来，通过积分目标特征在边界上定义目标函数，如下图所示。请注意，乘以 2πr 选项未勾选。
如下图所示，我们在研究中添加了一个优化步骤。由于可以计算目标函数关于控制变量的解析梯度，我们可以使用 SNOPT 求解器。该求解器利用计算的解析梯度，在几秒钟内求解优化问题。其他所有求解器设置都可以保留为默认设置。
求解完成后，我们可以绘制场和结果。下图显示了计算的 Bz 场与目标值非常接近。
第二个优化问题是尽可能降低驱动线圈所需的总功率，并对中心线上若干点的场最小值进行约束。这个问题使用数学表达式可描述为：
式中，Po 是所有线圈消耗的初始总功率， 是第 k 个线圈消耗的功率。
进一步将中心线上 M 个点处的磁场限制在 B0 值以上。
使用与之前问题相同的全局控制变量特征实现优化，并通过全局目标特征尽可能降低线圈总功率，如下图所示。可以直接使用每个线圈特征中的内置变量（mf.PCoil_1,...,mf.PCoil5）表征消耗的功率。将相对于初始总功率的目标值进行归一化处理，以使其接近 1。
必须使用模型中的一组离散点实现对场的最小值约束。本例中，我们在优化区域引入了均匀分布的 5 个点。如下图所示，每一个约束必须使用单独的点总和不等式约束特征添加。再次进行归一化处理，使约束的大小为 1。请注意，因为这些点位于中心线上，所以乘以 2πr 选项未勾选。
我们可以使用与之前问题相同的方法来求解这个问题，结果如下图所示。值得注意的是，求解的最小的功率并未在目标区域产生均匀分布的磁场。
最后，我们考虑尽可能降低优化区域的磁场梯度，在中心点对场进行约束。使用数学表达式可以将此问题描述为：
这里的约束规定线圈中心点处的场。尽管优化接口有明确的等式约束，但可以通过设置上限和下限相等的不等式约束获得相同的结果。再次进行归一化处理，以使约束实际上为 ，如下图所示。
尽可能降低目标区域内场的梯度的目标是通过积分目标特征实现的（如下图所示）。相对于 z 轴方向的 Bz 场梯度是使用导数算子 d(mf.Bz,z) 计算的。
我们可以使用与之前相同的求解器设置。这个示例的优化结果如下图所示。可以看出，优化区域内的场非常均匀，并且与中心点的目标值一致。
虽然这个示例中优化后的场看起来与第一个示例几乎完全相同，但线圈电流的解却截然不同，这就引出了一个有趣的问题。存在多种线圈电流组合，能在尽可能降低场差异或梯度方面得到几乎相同的解。也就是说，目标函数有多个局部最小值点。
SNOPT 优化求解器采用了基于梯度的方法，对不同的线圈电流在不同初始条件下求解局部最小值。虽然基于梯度的求解器将收敛于局部最小值，但不能保证这就是全局最小值。一般来说（除非在设计空间内进行彻底的搜索），我们很难保证优化的解就是全局最小值。
此外，如果要增加这个问题中的线圈数量，可能会遇到线圈电流的多种组合几乎同样最优的情况。也就是说，设计空间（即线圈电流的组合）内不存在单个最优点，而是存在值几乎相等的“最优线”或“最优表面”。优化求解器不会直接反馈这一点，但在这种情况下往往会收敛得更慢。
这篇文章，我们介绍了 3 种不同的方法来优化线圈不同匝中的电流。在这 3 种方法中，我们引入了不同类型的目标函数和约束，这些函数和约束也适用于其他各种情况。根据线圈设计问题的整体目标和要求，您可以使用其中任何一个，甚至完全不同的目标函数和约束集。这些示例表明同时使用 COMSOL 优化模块与 AC/DC 模块的强大功能和灵活性。
当然，对于这些问题，还可以做更多研究。在文章“电磁线圈设计的仿真优化”中，我们将重点关注调整线圈匝的位置。
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