迁移率反映了半导体中载流子的输运能力，即在外加电场下载流子能够获得的平均迁移速度。迁移率是半导体的一个很重要性质，影响着半导体微电子器件的很多电学性能比如导通电流，开关比，响应速度等。计算半导体中载流子的迁移率有着很重要的理论意义和实践指导作用。
目前已经有类似文章谈及到载流子迁移率的计算，比如《VASP计算二维材料的载流子迁移率》。在这篇文章中，作者详细介绍了二维材料中载流子迁移率的计算方法。但是正如文中所言，该计算方法是基于形变势理论，意味着并未考虑电子和声子尤其是光学声子之间的相互作用。而本征半导体中载流子的迁移率则主要受声子散射的影响，想要得到更为准确的本征载流子迁移率必须要考虑声子散射，这篇文章详细介绍了考虑由声子散射支配下的本征半导体载流子迁移率计算。
固体晶格振动的能量子称为声子，声子作为一种具有能量和动量属性的粒子很好的描述了晶格的振动。
声子包含声学波声子和光学波声子，声学波声子主要是由一个晶胞中所有原子一起“同向”振动引起，这种声学波声子引起的原子位置变化会造成电子感受到的周期势场的变化，从而对电子产生附加势而对其运动造成散射。这种周期性势场的变化称之为形势变(acoustic deformation potential)，所以声学波声子散射可以用“形变势理论”求解。对于硅锗这样的非极性半导体而言，声学波声子散射为主要散射机理，可以直接用形变势理论计算。
相反，光学波声子则主要是由一个晶胞中所有原子一起“相向”振动引起，这种光学波振动不会引起晶体形变，但是会产生一个极化电场。举个例子，比如GaAs，当Ga原子和As原子相向运动（光学声子）时候，由于Ga带有正电荷而As带有负电荷，这时候就会产生一个附加电场，这种附加电场会影响电子的运动，即产生散射。GaAs这种极性半导体中光学声子散射作用远远强于声学波声子散射，是最主要的散射机制。
声学波声子散射支配下的载流子迁移率可以用形变势理论计算，前文已经提到有文章做过解释，这里不再赘述。在这里主要介绍极性半导体中由光学波声子散射支配下的载流子迁移率的计算。迁移率可以用公式表示：
其中e是电子电量，m*是有效质量，τ是每两次散射之间的自由时间即弛豫时间。有效质量的计算比较简单，相对麻烦一点的是弛豫时间的计算。严格的弛豫时间计算需要计算得到密度很大的电子-声子耦合矩阵元素，这样计算量非常大。在最近发表的一篇论文中（J.Appl. Phys. 126, 185701 (2019)）笔者给出了弛豫时间τ可以由如下公式近似求出：
式中是普朗克常量，ωLO 是Gamma点的光学纵波频率，κ0和κ∞分别是高频和零频下的介电常数，ε0是真空静电常数。Nω是由玻色-爱因斯坦分布函数给定的声子占有数，Ek表示电子能量。弛豫时间τ是电子能量Ek的函数，即τk。将不同电子状态的τ求平均得到平均自由时间《τ》：
式中f是费米-狄拉克分布函数，D是态密度函数。介电常数和声子频率都可以通过VASP计算得到，电子结构态密度也可以通过VASP计算得到，从而弛豫时间τ也可以计算得到。实际情况是，光学波频率不止一个，那么需要对所有光学波的散射作用叠加求和：
式中λ表示第 λ支光学波，w表示归一化的叠加权重。叠加权重可以理解为不同的光学波其振动模式对电子的散射强度不同，在论文J.Appl. Phys. 126, 185701 (2019)中，笔者推导出归一化的权重w可由如下公式计算得出：
式中Zj是第j个原子的波恩有效电荷，Mj是第j个原子的质量，eλjq是第第 λ支晶格振动波的振动单位振幅矢量。分母中对所有不同支声子振动模式的散射强度叠加求和完成归一化操作。权重（即散射强度）与波恩有效电荷及振动振幅矢有关可以这样理解：离子所带电荷越多，其振动时偏离平衡位置而引起的附加电场就越强；振动单位矢决定了声子与电子耦合的强弱：当振动矢与声子波矢平行时（纵波），声子产生的散射电场最强，当振动矢与声子波矢垂直时（横波），声子完全不产生有效散射电场。波恩有效电荷在用VASP计算介电常数时候可以一并得到，同样振动单位矢量在用VASP计算Gamma点的声子频率时候也可以一并得到。
总结来说，我们计算载流子迁移率需要知道如下3类信息：（a）电子结构（有效质量及电子态密度），（b）声子频谱（振动频率及振动矢）（c）介电常数及波恩有效电荷，然后代入公式求解即可。下表是笔者根据该方法计算得到的一些常见极性半导体的迁移率，可以看到计算秩和实验值吻合的很好。
需要说明的是，载流子迁移率是由声子-电子相互耦合作用决定的，更为准确的求解是对第一布里渊区进行积分求解。在这里我们的计算方法做了一个近似处理，即用Gamma点的声子谱代替了全布里渊区的声子谱。对于光学波声子而言，这个近似有一定的合理性（爱因斯坦近似），这个近似也避免了全声子谱的计算从而极大简化了计算量。
