Doctor Curious 56：浅谈乒乓球运动中的一些物理知识

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乒乓球被誉为中国的国球，在国内拥有深厚的群众基础。可以毫不夸张地说，在神州大地的任何一个角落，都能找到会打乒乓球的人。尽管我们很多人会打乒乓球，但对它的理解却常常不够深入。作为一个经常打球的人，我相信许多人在看着这颗小白球时，会和我一样思考：为什么这个球的弧线如此奇特？为什么有时候一碰球就飞了出去，而有时候却直接下网？怎样才能实现最大程度地发力？接下来，我将以上述问题为切入点，综合我个人日常打球时的体会，并运用基础的中学物理知识，对这颗小白球进行简要介绍。

1  乒乓球运动中的一些基本术语

在正式分析之前，我们先对乒乓球运动中的一些术语进行简单介绍。乒乓球是一项隔网运动，运动员需要在乒乓球第一次弹起后（在它再次触及台面或地面之前）进行单次击打，使球直接越过或绕过球网装置，或者在触及球网装置后（擦网）再触及对方台面，这样的还击才是合法的，否则将被判负。因此，非法还击主要有三种情况：第一种是没有打到球上，也称为“漏球”；第二种是被球网挡住没有过去，也称为“下网”；第三种是过网后的球没有落到对方台面上而是落在对方台面外，这种情况称为“出界”。

如果忽略乒乓球的形变，可以将其视为一个理想的刚体，其运动可以简单地分解为质心的平动和绕质心的转动，后者对应乒乓球的旋转。旋转是乒乓球区别于羽毛球的关键部分，也是这颗小白球的魅力所在。根据旋转轴的取向以及质心运动的方向，可以将旋转简单分为三种——上旋、下旋和侧旋。通俗地说，上旋是指乒乓球在飞行过程中，球的上部向前旋转（角速度方向在水平面质心运动分速度的左侧），如图1(b)所示；类似的，下旋是指乒乓球在飞行过程中，球的下部向前旋转（角速度方向在水平面质心运动分速度的右侧），如图1(a)所示。可以发现，上下旋的定义与球的质心运动方向相关，一旦图1中的   反向，那么相应的上下旋也会颠倒。而实际的乒乓球旋转通常是上旋、下旋和侧旋的混合，下面我们将主要分析上旋和下旋，其他旋转的分析类似。值得注意的是，这里的上旋和下旋都是指旋转较强的情况，如果是弱旋转，影响非常小，可以近似按照不转球来处理。

图1：乒乓球运动中的上旋球和下旋球。其中蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，矢量   表示乒乓球的质心运动速度在水平台面上的分速度。

2  旋转乒乓球与球台面、球拍面的作用——前冲、不走球、冒高、沉
我们首先分析旋转乒乓球与台面的相互作用[1,2]。考虑图2中 (a，b，c) 三种情况下的受力，其中 (a) 代表不转球、(b) 和 (c) 具有相应的旋转。根据之前的定义可知，在图2 (d，e) 所示的质心速度下，(b) 和 (c) 分别为下旋和上旋。对于没有旋转的情况 (a) ，在弹性碰撞近似下，以    入射的乒乓球的出射速度将为   （即平行台面的分速度    不变，垂直台面的分速度   反向），如图2中 (d)所示；一旦乒乓球具有旋转，就会产生额外的摩檫力，由于摩檫力总是阻碍相对运动（和相对运动趋势），因此 (b) 和 (c) 中乒乓球所受的摩檫力方向相反。根据牛顿第二定律
可知，受到相应的力  就会在相应的方向产生动量（速度）的变化。因此可以判断出，由于摩檫力的影响(实际情况必须要考虑形变，否则这里的摩檫力  将只影响绕质心的旋转，并不会改变质心速度。)，(b) 和 (c) 的出射速度在水平台面上的分速度大小就会分别比    小和大，也就是图2(d) 中所示的    和   。考虑到速度的方向就是相应轨迹切线的方向，且忽略空气阻力之后就是一个简单的平抛运动，故而不难判断出与图2中 (a)、(b) 和 (c) 三种旋转情况相对应的运动轨迹即为图2 (e)中的 a 、b 和 c 三条虚线。显然，相对于不转球的出射弧线 a，上旋球（弧线 c）表现为更往前“冲”，下旋球（弧线 b）表现为“不往前走球”。甚至如果乒乓球的下旋足够强，那么出射弧线 b 可能直接“向后跳”。乒乓球技术中有一种会自动往回跳的发球——零式发球——就是来源于此，它是奥运冠军马琳的绝技，当然，普通人通过一定练习也可以熟练掌握。

我们可以采用类似的方法分析旋转乒乓球与球拍面的相互作用[1-4]。此时的受力分析和运动学分析见图3。从图3 (e) 可以明显看出，相对于不转球的出射弧线 a，上旋球会表现出明显的“冒高”（弧线 c），这会导致球容易出界；而下旋球的弧线更低（弧线 b），因此更容易下网。如果下旋足够强，甚至可能直接向下运动，接起来会感觉球非常“沉”。

图2：乒乓球与球台面的相互作用示意图。(a, b, c) 为受力分析图，其中    为台面提供的支持力，   为重力，   和    为旋转所带来的摩檫力。此外，蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，(a) 中的球没有旋转；(d, e) 为运动学分析图，其中 (d) 表示乒乓球以入射速度    与台面碰撞后的出射速度为   ，上标 a、b 和 c 分别对应上图 (a, b, c) 的旋转情况；(e) 中的虚线表示乒乓球的运动轨迹，乒乓球与台面碰撞后的起跳轨迹 a、b 和 c 分别对应上图 (a, b, c) 的旋转情况，分别为不转、下旋和上旋。

图3：乒乓球与球拍面的相互作用示意图。具体的符号和标记说明见图2。需要注意，这里 (e) 中的“不转”、“上旋”和“下旋”表示的是从 A 点到 B 点这个过程中具有该种旋转的球在与拍面碰撞后的出射轨迹。

3  旋转乒乓球的运动弧线——快攻、弧圈与削球
下面我们来分析上下旋对乒乓球弧线的影响[1-4]。我们考虑图4中的 (a) 和 (b) 两种情况。为了便于分析，我们将这两个乒乓球的北极点和南极点分别记为  、  和  、  ，（相对于地面静止系）质心速度的大小记为  ，绕质心转动角速度的大小记为  ，乒乓球的半径记为  。容易知道，对于下旋球而言，  和  处速度的大小不同，具体为
由于流体的黏滞性，因此对于图4 (a) 中的下旋球，其上半球面附近的空气流速大小将明显小于下半球面。根据流体力学中的伯努利方程可知，流速快的地方压强小，流速小的地方压强大，因此会导致整体上上半球面的压强大于下半球面的压强，相应的会产生一个向下的力，这个力通常被称为马格努斯力[5]，记为   。上旋球的情况如图4(b)所示，此时的马格努斯力的方向是竖直向上。这两个马格努斯力都会导致乒乓球在竖直方向的加速度大小偏离重力加速度  ，即
同时，上下旋球在竖直方向的加速度与  的偏离程度显然和角速度   相关，随着空气阻力导致角速度的不断减小，最终 和都会趋近于  。

图4：下旋球和上旋球在空气中的受力分析。其中蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，  为角速度的大小，  为质心运动速度，  为重力，  为乒乓球在空气流体中运动时因为旋转而受到的马格努斯力。

我们现在来分析在这种马格努斯力的作用下乒乓球的运动学。考虑图3(e) 所示的以   为初速度的乒乓球。将它的运动分为竖直方向和水平方向两部分，容易知道，水平方向就是一个简单的匀速直线运动，速度为  ；竖直方向初速度为  （大小记为   ），对于上旋、不转和下旋，相应的加速度大小分别为  、   和   ，它们满足方程(3)。同时，随着时间增加，  不断增加趋于  ，  不断减小也趋于  。(真实的物理情况会更加复杂，一般乒乓球在刚离开球拍和台面时  会先迅速增加，随后才开始降低，我们这里讨论的是简化的情况。)为了便于分析，我们将竖直方向的运动分为上升期和下降期，分别对应从A点出发到达最高点和从最高点开始下落回到和A同一水平高度，并且认为在这两个时期竖直方向的加速度是近似恒定的，分别记为    和   。考虑到马格努斯力随着时间而减小，自然有
相应的  关系如图4所示。考虑到加速度关系(4)可得

由此出发，鉴于水平方向是匀速直线运动，可以得到相应的运动轨迹（如图6所示）。不难发现，因为  ，所以下旋球在下降期的弧线（橙色点线）比起上升期弧线（橙色虚线）更加低平；因为   ，所以上旋球的下降期弧线（绿色点线）比上升期弧线（绿色虚线）更陡，整体表现出明显的“下扎”；而不转球则是完美的抛物线（黑色虚线和黑色点线）。

这三种弧线对应了乒乓球运动中的三种主要打法——以快速和低弧线为特点的“快攻”（一般旋转比较弱），以强烈上旋和诡异弧线为特点的“弧圈”，以及以防守和强烈下旋为特点的“削球”。在乒乓球运动的历史上，这三种打法各自涌现出了一大批优秀的运动员。尽管快攻打法在保证球过网的情况下能够最快速地将球从己方台面打到对方台面，但由于乒乓球材质和大小的改革，比赛中的回合数有所增加。因此，上旋球的“易过网”、“弧线下扎不容易出界”以及“落台起跳后球会前冲更具突然性”等特性，自20世纪70年代以来，逐渐成为世界乒坛的主流打法。

图5：不同旋转球的  图。此过程为竖直方向上以  向上出射然后下落到该位置，黑色实线代表不转球，橙色实线为下旋球，绿色实线为上旋球。相应的   代表该段直线斜率的相反数，它们的大小关系满足方程（4）

图6：以相同初速度出射的不同旋转球的运动轨迹。其中    为出射速度，  为水平面上的分速度，  为竖直方向上的分速度。黑色、橙色和绿色线分别对应不转、下旋和上旋，其中虚线为上升期弧线，点线为下降期弧线。 

4  如何去接下旋球——搓球与起下旋

在第2部分我们介绍了上下旋球与球拍面的相互作用，会发现如果采用接不转球的方式来接上旋球，出球的弧线会明显冒高，更容易出界；对于下旋球则出球的弧线会更低（甚至直接向下），更容易下网。那么应该如何来接呢？以下旋球为例，大体上我们有两种接法。第一种接法如图7(a)所示——改变拍面倾角[4]。原本接下旋球时出球弧线低，那么我们就拍面后仰，接触球中下部（这样接不转球会冒高），这样相当于将弧线抬高，从而避免下网。选择这种接法时，我们通常也会给球拍施加与旋转方向相反的切向速度（即图7(a)中的  ）去摩擦球，从而使得回球仍然是下旋，这就是搓球。搓球是乒乓球技术里非常关键的一部分，也是公园、小区大爷们取胜的不二法门，业余圈通常将以搓球为主的打法称为——铁搓；第二种接法如图7(b)所示——给球拍加上向上的切向速度  。因为摩檫力来源于球和球拍接触点  的相对速度，如果我们增加挥拍速度，使得球拍和球在接触点  几乎没有相对速度，这样球相对球拍就几乎没有旋转，因此可以大大减小摩檫力，甚至让原来的下旋球在与球拍相互作用时效果相当于上旋球。这种接球方式在乒乓球技术中被称为——起下旋。因为它要求我们在球拍触球时有合适的沿着拍面的切向速度，而且切向速度不能过大——过大的时候来球就相当于一个强上旋，会容易出界。因此，起下旋是乒乓球里的高级技术，如果能够非常稳定的起下旋，那么可以不夸张地说，你能打赢我们这个乒乓球大国里至少百分之九十的业余球手。上旋球的接法也可以通过类似分析得到。

要接好这些旋转球有一个非常重要的前提——首先要判断好来球的旋转以及旋转的强度。如果你判断错了，比如用接下旋球的方式去接上旋球或者不转球，那么等着你的不是出界就是对面的雷霆一击。因此，国际比赛上，为了减轻选手在接对方发球时的压力，要求大家不能遮挡，且发球时必须垂直向上抛起（抛起的角度偏离垂直线不能超过15度）至少16厘米且等球从最高点下降后才能击球。

图7：两种接下旋球的方式。其中蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，   为角速度的大小，  为质心运动速度。  和  代表球拍的速度。

5  如何最大程度地发力——必杀技之爆冲
从图7(b) 可知，起下旋要求挥拍速度  的大小必须接近下旋球在  点的线速度，这意味着如果来球下旋特别强，我们就需要非常快的挥拍速度。由此出发，我们自然会想到一个关键问题——如何最快地挥拍？或者说怎样做才能最大程度地发力？我们通过一个简单的前臂和手腕运动来说明这个问题。如图8(a) 所示，我们将前臂和手腕简化为两条线，分别为   和  ，点  和  分别对应肘关节和腕关节。假设身体的其他部位相对地面静止，也就是说我们只能控制   和  ，且肘关节  相对地面也是静止的。现在我们考虑如何才能使挥拍速度最大？或者说如何使得  点达到最大速度？由
上式两边同时对时间求导，可得
其中  即为此时的挥拍速度，  和  分别为前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度（它们的大小记为   和   ），  、  和  为相应点之间的位矢。对于前臂绕轴关节旋转和手腕绕腕关节旋转，相应角速度的大小一般存在一个上限，这里分别记为  和  。  和  的大小对应前臂和手腕的长度，是确定的。因此，显然有
此方程的物理含义是：如果我们想要挥拍速度达到最大值，那么就需要让前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度同时达到最大值，且这个时候前臂和手腕处在同一条直线上！

我们如何才能使得 (8) 式中的等号成立（挥拍速度达到最大值）呢？一个简单的方案是——  时刻，前臂和手腕都处在静止状态，相应的位于图8(b) 中的  和  位置，且   ；在  期间，我们开始挥动前臂，即前臂  绕肘关节   旋转至  、角速度的大小不断增加至   ，整个过程中手腕处在一种完全放松状态（  ）。因为惯性，手腕将被甩在前臂的后面，相应的位于图8(b) 中的  位置。当然，此过程中前臂的角速度并没有加速达到最大值，即  ；之后  期间，在保持前臂旋转速度大小  增加的情况下开始挥动手腕，即角速度的大小  不断增加；最后在  时刻，也就是前臂和手腕处在同一条直线时（即图8(b) 中的  和  位置处），前臂相对肘关节的角速度和手腕相对腕关节的角速度同时达到最大值，即  和  。因此，通过上述过程，理论上我们就达到了生理上的最大挥拍速度。

上述是在假设肘关节  静止的情况下得到的，而人体本身是一个多关节的结合体，我们想要达到最大挥拍速度对应就是需要各个关节的线速度在同一方向上同时达到最大值。这可以粗略表示为
由于单个关节的最大角速度和长度都是可以测量的，因此理论上说，我们可以估算出一个人挥拍速度的上限。可以看出，当你想要接近甚至是达到个人挥拍速度的上限时，就需要将全身的力量都使出来，此时你就有机会打出乒乓球的必杀技——爆冲。当然，实际操作中还有非常多的注意事项，比如需要控制好撞击（质心速度）和摩擦（绕质心旋转角速度）的比例，才能保证在发全力的情况下仍然不下网和不出界。并且实际比赛中还需要配合非常灵活的步伐，根据来球调整位置，这些都需要后天大量的练习。

图8(b) 所示的挥拍过程有非常重要的两点——刚开始手腕要完全放松，前臂带着手腕运动；前臂在从  到  过程中仍然要保持角速度不断增加。如果考虑整个人体，这两点也就对应了几乎所有乒乓球教练在反复强调的——挥拍时一开始胳膊要放松、要先蹬腿转腰顶跨，腰腿核心带动手臂挥拍；不能一开始就“紧”，动作要舒展，像甩鞭子一样，不能突然泻力。这就是“鞭打发力”。

6  乒乓球运动的现状
旋转是乒乓球的魅力所在，但也正因为旋转，使得乒乓球对新手极不友好，入门门槛较高。此外，乒乓球台虽然不大，但球速却很快，这导致了一个问题——回合数太少。如果一项运动的大部分时间都浪费在捡球上，那么确实会劝退很多人。因此，乒乓球正在逐渐走向小众化。即使在我们这样一个乒乓球大国，年轻一代也更倾向于选择羽毛球和篮球。我曾听过一些关于乒乓球的改革建议，比如使用可以大幅度降低旋转和速度的砂板、进一步增大乒乓球的半径以降低速度、适当增加球台的宽度等等。这些都是乒乓球运动为了继续生存和发展可能需要做出的变革。