写在前面

• 特征间的单位（尺度）可能不同，比如身高和体重，比如摄氏度和华氏度，比如房屋面积和房间数，一个特征的变化范围可能是[1000, 10000]，另一个特征的变化范围可能是[−0.1,0.2]，在进行距离有关的计算时，单位的不同会导致计算结果的不同，尺度大的特征会起决定性作用，而尺度小的特征其作用可能会被忽略，为了消除特征间单位和尺度差异的影响，以对每维特征同等看待，需要对特征进行归一化。

• 原始特征下，因尺度差异，其损失函数的等高线图可能是椭圆形，梯度方向垂直于等高线，下降会走zigzag路线，而不是指向local minimum。通过对特征进行zero-mean and unit-variance变换后，其损失函数的等高线图更接近圆形，梯度下降的方向震荡更小，收敛更快，如下图所示，图片来自Andrew Ng。

• 常用的feature scaling方法都有哪些？
• 什么情况下该使用什么feature scaling方法？有没有一些指导思想？
• 所有的机器学习算法都需要feature scaling吗？有没有例外？
• 损失函数的等高线图都是椭圆或同心圆吗？能用椭圆和圆来简单解释feature scaling的作用吗？
• 如果损失函数的等高线图很复杂，feature scaling还有其他直观解释吗？

常用feature scaling方法

• Rescaling (min-max normalization、range scaling)：
  

• Mean normalization：
  

• Standardization (Z-score Normalization)：

• Scaling to unit length：
  

计算方式上对比分析

• 减一个统计量可以看成选哪个值作为原点，是最小值还是均值，并将整个数据集平移到这个新的原点位置。如果特征间偏置不同对后续过程有负面影响，则该操作是有益的，可以看成是某种偏置无关操作；如果原始特征值有特殊意义，比如稀疏性，该操作可能会破坏其稀疏性。
• 除以一个统计量可以看成在坐标轴方向上对特征进行缩放，用于降低特征尺度的影响，可以看成是某种尺度无关操作。缩放可以使用最大值最小值间的跨度，也可以使用标准差（到中心点的平均距离），前者对outliers敏感，outliers对后者影响与outliers数量和数据集大小有关，outliers越少数据集越大影响越小。
• 除以长度相当于把长度归一化，把所有样本映射到单位球上，可以看成是某种长度无关操作，比如，词频特征要移除文章长度的影响，图像处理中某些特征要移除光照强度的影响，以及方便计算余弦距离或内积相似度等。

feature scaling 需要还是不需要

什么时候需要feature scaling？

• 涉及或隐含距离计算的算法，比如K-means、KNN、PCA、SVM等，一般需要feature scaling，因为：

• 损失函数中含有正则项时，一般需要feature scaling：对于线性模型y=wx+b而言，x的任何线性变换（平移、放缩），都可以被w和b“吸收”掉，理论上，不会影响模型的拟合能力。但是，如果损失函数中含有正则项，如λ∣∣w∣∣^2，λ为超参数，其对w的每一个参数施加同样的惩罚，但对于某一维特征xi而言，其scale越大，系数wi越小，其在正则项中的比重就会变小，相当于对wi惩罚变小，即损失函数会相对忽视那些scale增大的特征，这并不合理，所以需要feature scaling，使损失函数平等看待每一维特征。

• 梯度下降算法，需要feature scaling。梯度下降的参数更新公式如下，
  

• zero center与参数初始化相配合，缩短初始参数位置与local minimum间的距离，加快收敛。模型的最终参数是未知的，所以一般随机初始化，比如从0均值的均匀分布或高斯分布中采样得到，对线性模型而言，其分界面初始位置大致在原点附近，bias经常初始化为0，则分界面直接通过原点。同时，为了收敛，学习率不会很大。而每个数据集的特征分布是不一样的，如果其分布集中且距离原点较远，比如位于第一象限遥远的右上角，分界面可能需要花费很多步骤才能“爬到”数据集所在的位置。所以，无论什么数据集，先平移到原点，再配合参数初始化，可以保证分界面一定会穿过数据集。此外，outliers常分布在数据集的外围，与分界面从外部向内挪动相比，从中心区域开始挪动可能受outliers的影响更小。

• 对于采用均方误差损失LMS的线性模型，损失函数恰为二阶，如下图所示
  

不同方向上的下降速度变化不同（二阶导不同，曲率不同），恰由输入的协方差矩阵决定，通过scaling改变了损失函数的形状，减小不同方向上的曲率差异。将每个维度上的下降分解来看，给定一个下降步长，如果不够小，有的维度下降的多，有的下降的少，有的还可能在上升，损失函数的整体表现可能是上升也可能是下降，就会不稳定。scaling后不同方向上的曲率相对更接近，更容易选择到合适的学习率，使下降过程相对更稳定。


• 另有从Hessian矩阵特征值以及condition number角度的理解，详见Lecun paper-Efficient BackProp中的Convergence of Gradient Descent一节，有清晰的数学描述，同时还介绍了白化的作用——解除特征间的线性相关性，使每个维度上的梯度下降可独立看待。

• 文章开篇的椭圆形和圆形等高线图，仅在采用均方误差的线性模型上适用，其他损失函数或更复杂的模型，如深度神经网络，损失函数的error surface可能很复杂，并不能简单地用椭圆和圆来刻画，所以用它来解释feature scaling对所有损失函数的梯度下降的作用，似乎过于简化，见Hinton vedio-3.2 The error surface for a linear neuron。

• 对于损失函数不是均方误差的情况，只要权重w与输入特征x间是相乘关系，损失函数对w的偏导必然含有因子x，w的梯度下降速度就会受到特征x尺度的影响。理论上为每个参数都设置上自适应的学习率，可以吸收掉x尺度的影响，但在实践中出于计算量的考虑，往往还是所有参数共用一个学习率，此时x尺度不同可能会导致不同方向上的下降速度悬殊较大，学习率不容易选择，下降过程也可能不稳定，通过scaling可对不同方向上的下降速度有所控制，使下降过程相对更稳定。

• 对于传统的神经网络，对输入做feature scaling也很重要，因为采用sigmoid等有饱和区的激活函数，如果输入分布范围很广，参数初始化时没有适配好，很容易直接陷入饱和区，导致梯度消失，所以，需要对输入做Standardization或映射到[0,1]、[−1,1]，配合精心设计的参数初始化方法，对值域进行控制。但自从有了Batch Normalization，每次线性变换改变特征分布后，都会重新进行Normalization，似乎可以不太需要对网络的输入进行feature scaling了？但习惯上还是会做feature scaling。

什么时候不需要Feature Scaling？

小结